精品解析：四川省南充市高坪中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

四川省南充市高坪中学2024-2025学年高二10月月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若x是实数，则下列事件是不可能事件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，故对错误选项使用特殊值法即可，对正确选项则需要证明. 【详解】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，则 对于A，令，则，故选项A不是不可能事件，故A错误； 对于B，由于，故不存在实数x使得，即选项B是不可能事件，故B正确； 对于C，令，则，故选项C不是不可能事件，故C错误； 对于D，令，则，即，故选项D不是不可能事件，故D错误； 故选：B. 2. 对于空间向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据，知它们的坐标对应成比例，求出实数的值. 【详解】因为，所以，即，所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题. 3. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出. 【详解】. 故选：C 4. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 5. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，是独立事件，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C 6. 已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为，的斜率为b，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，D错误. 故选：B. 7. 已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图，是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径， 由正方体的特征可得其外接球半径为, 设外接球球心为，则， 则 , 由于点在正方体表面上运动， 故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为， 所以的最小值为， 故选：B. 8. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. ＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程 B. 在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 C. 直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b D. 过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】由直线方程的意义判断A．由直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D． 【详解】＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确； 在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误； 直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线 当时，直线方程为，变形为， 当时，直线方程为，也适合方程， 所以D正确． 故选：AD． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过两点，且其倾斜角为，则的值为 B. “”是“直线与直线互相平行”的必要不充分条件 C. 若，则直线不经过第二象限 D. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可判断；对于B，根据两直线平行求出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可；对于C，将直线方程变形为，即可判断；对于D，根据截距为0的情况判断即可. 【详解】对于A，由题意知直线斜率存在，经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得，故A正确； 对于B，直线与直线互相平行， 则，解得， 当时，直线与直线重合， 当时，直线与直线互相平行， 故“”是“直线与直线互相平行”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，若，则直线变形为， 直线斜率，与轴截距为， 所以直线经过一，三，四象限，不经过第二象限，故C正确； 对于D，因过点且在轴､轴上的截距相等的直线还有， 此时截距为0，也符合题意，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出直线的坐标然后利用点到直线距离的向量公式即可求解． 【详解】依题意得，则点到直线的距离为． 故答案为： 13. 已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为___________. 【答案】5 【解析】 【分析】由空间向量基本定理求解， 【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则， 得，解得 故答案为：5 14. 过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】可设直线方程为，由题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出，从而得出结果. 【详解】由题可设直线方程为，又直线过点， 得到，又三角形面积为， 又，得到，当且仅当，即时取等号， 又，得到，所以直线方程为，即， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求： （1）边AC所在直线的方程； （2）BC边上的中线AD所在直线的方程； （3）BC边上的高AE所在直线的方程. 【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0 【解析】 【分析】（1）利用直线方程的两点式，即可求解； （2）求出BC边上的中点D坐标，利用两点坐标，即可求出直线方程； （3）求出直线的斜率，即可得到高的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. 【详解】（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3）， 故边AC所在直线的方程为：， 即3x﹣y+9＝0， （2）BC边上的中点D（0，2）， 故BC边上的中线AD所在直线的方程为， 即2x﹣3y+6＝0， （3）BC边斜率k， 故BC边上的高AE的斜率k＝2， 故BC边上的高AE所在直线的方程为y＝2（x+3）， 即2x﹣y+6＝0. 【点睛】本题考查直线方程，熟练掌握直线方程的各种形式是解题的关键，属于基础题. 16. 如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE． （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用基底表示出向量，再根据向量数量积求长度的方法即可求出； （2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为的中心，即可求出． 【详解】（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体， ，而且，所以，即，所以DE的长为． （2）因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影为的中心， 的外接圆半径为，所以点O到平面ABC的距离为． 17. 已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，． （1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率； （2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； （3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】设事件A、B、C分别为“甲、乙、丙获得该高校综合评价录取资格”，根据独立事件概率计算方法可直接求出、、.由此可得(1)题答案，(2)题概率为，(3)题可先计算其对立事件概率从而求解． 【小问1详解】 设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”， 则； 【小问2详解】 设事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”， 则， 则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为： ； 【小问3详解】 设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”， 则， 三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格， 三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为： ． 18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，， 故二面角的正弦值为. 19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）若直线与都在平面内，求平面的方程； （2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3）体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）求出直线、的方向向量，进而可求得平面的法向量，结合题意可得出平面的方程； （2）根据题意，设点，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标； （3）求出多面体与各坐标轴的交点坐标，利用锥体的体积公式可求出多面体的体积，化简多面体两个相邻平面的方程，可得出这两个平面的法向量，利用空间向量可求得多面体相邻两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 解：由题意可知，直线的一个方向向量为， 直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则， 易知直线过点，所以，平面的方程为. 即. 【小问2详解】 解：根据题意，设点，则， 因为平面以为法向量，则，① 又因为点在平面内，则，② 联立①②可得，，故点的坐标为. 【小问3详解】 解：如下图所示： 易知多面体交各坐标轴于点、、、、 、， 正方形的边长为， 所以，正方形的面积为， 而正四棱锥的高为，则， 所以，多面体的体积为. 易知平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以，，， 因此，多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省南充市高坪中学2024-2025学年高二10月月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若x是实数，则下列事件是不可能事件的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于空间向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 5. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，是独立事件，，则 6. 已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（ ） A. B. C. D. 7. 已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 8. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. ＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程 B. 在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 C. 直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b D. 过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过两点，且其倾斜角为，则的值为 B. “”是“直线与直线互相平行”的必要不充分条件 C. 若，则直线不经过第二象限 D. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为______． 13. 已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为___________. 14. 过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求： （1）边AC所在直线的方程； （2）BC边上的中线AD所在直线的方程； （3）BC边上的高AE所在直线的方程. 16. 如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE． （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离． 17. 已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，． （1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率； （2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； （3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率． 18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）若直线与都在平面内，求平面的方程； （2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $