精品解析：江苏省南京师范大学附属实验学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

南京师范大学附属实验学校 2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集的运算可得. 【详解】， 故选：A 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出一元二次不等式，写出解集即可. 【详解】因为，所以，所以解集为. 故选：D. 3. 已知函数由下表给出，则等于（ ） x 1 2 3 4 2 3 4 1 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对应关系，求得，再求，即可求得答案. 【详解】由已知，得， 所以. 故选：B. 4. 已知的解集为（），则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得为方程的根，代入计算可得； 【详解】解：因为的解集为（）， 所以为的根，所以. 故选：B 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由或，即可判断出结论. 【详解】当时，成立，当时，，故充分性不成立， 当时，若则，若，则，则必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D 6. 若，，则的值约为（ ） A. 2.301 B. 2.322 C. 2.507 D. 2.699 【答案】B 【解析】 【分析】借助指数与对数的关系及对数运算法则计算即可得. 【详解】由，则. 故选：B. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式以及条件，可得，代入即可求解. 【详解】因为，所以，即， . 故选：B 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，再使用特殊值进行判断. 【详解】解：的定义域为， ， 所以函数为偶函数，故正确答案在A、B中， 当时，， 故选：B 【点睛】判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对但不全的得2分，错选或不选得0分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 9. （多选）满足的集合可能是 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分析，集合中一定含有元素5，可能含有1、3，根据情况选出答案即可 【详解】由知，，且中至少有1个元素5，故选ABD. 【点睛】本题考查根据集合的并集结果求出某一集合的方法，抓住集合的互异性快速锁定元素5集合中必须含有元素是解题关键 10. 下面命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 函数的单调减区间是 C. 的最小值是 D. 与是同一函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：由不等式性质可得，，即可得；对B：由函数单调性定义即可得；对C：举出反例即可得；对D：分别计算两函数定义域即可得. 【详解】对A：若，，则，，故，故A正确； 对B：函数的单调减区间是、，故B错误； 对C：当时，，故C错误； 对D：的定义域为，的定义域为，故D错误. 故选：BCD. 11. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】令，求得，进而得到的解析式可判断B，C；进而可求得可判断A，D. 【详解】解析 由，令，可得，可得， 即，故B正确，C不正确； 可得，故A正确； 1，故D不正确. 故选：AB. 12. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. D. 若，则x的值是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式结合二次函数的性质，逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以的定义域为，所以A错误； 对于B，当时，，当时，， 所以的值域为，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以C错误； 对于D，当时，由，得，解得（舍去）， 当时，由，得，解得或（舍去）， 综上，，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知集合，集合，若，则实数_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据，可得，即可解得. 【详解】因为，集合，集合， 所以，即，解得， 故答案：. 14. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性求值域. 【详解】二次函数开口向上，对称轴为， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，故， 故的值域为. 故答案为： 15. 要制作一个容积为16立方米，高为1米的无盖长方体容器，已知容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，问如何设计才能使该容器的总造价最低，最低总造价是_________________元. 【答案】480 【解析】 【分析】根据题意，设出相应的变量，找出待求量与变量之间的等量关系，得出变量所满足的条件，根据题中的已知条件，应用两个正数的积为定值，和有最小值，注意基本不等式的条件. 【详解】由已知可得底面面积为平方米，设底面长为米，宽为米，总造价为元， 则， 因为，所以，当且仅当时取“”， 所以应把此容器底面设计成边长为4米的正方形，才能使该容器的总造价最低，最低总造价为元． 故答案为： 16. 若命题“都有”是假命题，则实数m的取值范围为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得“都有”是真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立，即可求得答案． 【详解】若命题“都有”是假命题， 则都有是真命题， 当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，要使得恒成立，则，解得； 综上，实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用指数幂运算及根式与有理数指数幂关系求值； （2）根据对数的运算性质及指对数关系求值. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式. 18. 已知的定义域为集合，不等式的解集为集合 （1）求集合和集合； （2）求 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据具体函数定义域的要求求解集合，通过解含绝对值不等式求解集合即可； （2）根据第一问的计算结果，通过交集和补集的运算进行求解. 【小问1详解】 由得， 所以的定义域， 由不等式，得:，解得:， 所以集合. 【小问2详解】 由（1）知，得或 所以. 19. （1）已知，求函数的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式即可求解， （2）直接利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由得， 则函数， 当且仅当，即时取等号 所以，函数的最小值为． （2） 由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时等号成立， ∴ 即， 所以，的最小值为36. 20. 已知集合：；集合（m为常数）． （1）定义且，当时，求； （2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)求出集合A，B再由定义求A-B即可； (2)由题意可解得，又由因为若p是q成立的必要不充分条件，得，求解即可. 【小问1详解】 解：因为，若，即时，即，解得；若，则，无解，所以的解集为． 故．由可得 即，解得， 故， 则． 【小问2详解】 由，即， 解得． 因为p是q成立的必要不充分条件，所以，所以或， 解得， 故m的取值范围为． 21. 已知 （1）将写出分段函数的形式； （2）画出的图象，写出的单调增区间； 【答案】（1） （2），单调增区间为和 【解析】 【分析】（1）根据绝对值函数去掉绝对值即可得分段函数解析式； （2）根据二次函数的图象作图即得分段函数的图象，利用函数图象写出单调增区间即可. 【小问1详解】 由，当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 略 22. 已知 是奇函数，且 . （1）求实数a，b的值； （2）判断函数在上的单调性，并利用定义证明． 【答案】（1）； （2） 由（1），知，在上单调递增． 证明如下： 设，则 = . 由，则. 所以，即，故在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）由奇函数有，进而得到恒等关系求b，由已知求参数a； （2）利用函数单调性定义证明函数单调性即可. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以，即 恒成立，解得， 又，所以 ，所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师范大学附属实验学校 2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数由下表给出，则等于（ ） x 1 2 3 4 2 3 4 1 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知的解集为（），则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，，则的值约为（ ） A. 2.301 B. 2.322 C. 2.507 D. 2.699 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对但不全的得2分，错选或不选得0分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 9. （多选）满足的集合可能是 A. B. C. D. 10. 下面命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 函数的单调减区间是 C. 的最小值是 D. 与是同一函数 11. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. D. 若，则x的值是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知集合，集合，若，则实数_______________． 14. 函数的值域为______． 15. 要制作一个容积为16立方米，高为1米的无盖长方体容器，已知容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，问如何设计才能使该容器的总造价最低，最低总造价是_________________元. 16. 若命题“都有”是假命题，则实数m的取值范围为_______________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 18. 已知的定义域为集合，不等式的解集为集合 （1）求集合和集合； （2）求 19. （1）已知，求函数的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值. 20. 已知集合：；集合（m为常数）． （1）定义且，当时，求； （2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 21. 已知 （1）将写出分段函数的形式； （2）画出的图象，写出的单调增区间； 22. 已知 是奇函数，且 . （1）求实数a，b的值； （2）判断函数在上的单调性，并利用定义证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $