天津市第二南开学校2024-2025学年高三上学期期中质量调查数学试卷

高三数学 1 / 17 第二南开学校 2024-2025学年度第一学期高三年级 数学学科期中质量调查（解析版） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合  2 1,A x x k k= = − N ，  1,0,1,2,3B = − ，则 A B =（ ） A.  1,3 B.  0,1,3 C.  1,1,3− D.  1,0,1,2,3− 【答案】C 【解析】 【分析】利用自然数集的含义描述集合A ，根据集合交集运算求解. 【详解】根据题意，集合A 表示从 1− 开始的奇数的集合，即 1,1,3,5,− ，  1,1,3A B  = − . 故选：C. 2. 若 ,x yR ，则 x y 的一个充分不必要条件是 A. x y B. 2 2x y C. x y D. 3 3x y 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由 x y ， 2 2x y 推不出 x y ，排除 AD； 3 3x y 是 x y 的充要条件，排除 B； x y x y   ，反之不成立，C正确； 故选 C． 【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件，熟记概念即可，属于常考题型. 高三数学 2 / 17 3.下列函数中，既是奇函数又在区间 ( )0,1 上单调递增的是（ ） A. siny x= B. y x= C. 3y x= − D. lgy x= 【答案】A 【解析】 【分析】 根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案. 【详解】对 A，根据正弦函数的性质可得 siny x= 是奇函数，在 ( )0,1 单调递增，故 A 正确； 对 B， y x= 的定义域为 )0, + ，不关于原点对称，故不是奇函数，故 B 错误； 对 C， 3y x= − 在 ( )0,1 单调递递减，故 C 错误； 对 D， lgy x= 的定义域为 ( )0, + ，不关于原点对称，故不是奇函数，故 D 错误. 故选：A. 4. 已知 1a b= = ， 3a b+ = ，则a 在b 上的投影向量为（ ） A. 3 2 a B. 1 2 a C. 3 2 b D. 1 2 b 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据向量数量积公式，求a b ，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】 ( ) 2 2 2 2 3a b a b a b+ = + +  = ，由 1a b= = ， 得 1 2 a b = ， 所以向量a 在b 上的投影向量为 2 1 2 a b b b b   = . 高三数学 3 / 17 故选：D 5. 设 1 28a = ， 3log 2b = ， 2log 3c = ，则a，b ，c的大小关系为（ ） A. a b c  B . b<c<a C. b a c  D. c<a<b 【答案】B 【解析】 【分析】利用中间数和对数函数的单调性可判断三者之间的大小，从而可得正确的选项. 【详解】因为 3 3log 2 log 3 1b =  = ， 2 2log 3 log 2 1c =  = ，故c b . 因为 1 1 2 2 2 28 4 2 log 4 log 3a c=  = =  = ，故a c b  ， 故选：B. 6. 6 2 1( 1)x x x   + −    的 展开式中含 3x 项的系数为（ ） A. 30 B. 20 C. -20 D. -30 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式结合多项式乘法可求 3x 项的系数. 【详解】 6 6 2 21 1( 1) ( 2 1)x x x x x x x     + − + + −     =    ， 又 6 1 x x   −    的二项展开式的通项公式为 ( )6 6 21 6 6 1 C 1 C r rr r r r rT x x x − − +   = − = −    ， 故 6 1 x x   −    的二项展开式中 x、 3x 的系数为 0， 2x 的系数为 ( ) 2 2 61 C 15− = ， 故 6 2 1( 1)x x x   + −    的展开式中含 3x 项的系数为 2 15 30 = ， 故选：A. 高三数学 4 / 17 7. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21 21 大小的，即 441 个点，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有 4412 种不同的码.假设我们 1 秒钟用掉 1 万个二维码，1 万年约 为 113 10 秒，那么大约可以用（ ）（参考数据： lg2 0.3,lg3 0.5  ） A. 11710 万年 B. 117 万年 C. 20510 万年 D. 205 万年 【答案】A 【解析】 【分析】估算出可用的年限，然后取常用对数计算即可. 【详解】由题意大约可以用 441 11 4 2 3 10 10  万年， 则 441 441 441 15 11 4 15 2 2 lg lg lg 2 lg3 10 441lg 2 lg3 15 3 10 10 3 10 = = −  = − −    441 0.3 0.5 15 117  − − = ， 所以 441 117 11 8 2 10 3 10 10    ，即大约可以用 11710 万年. 故选：A 8.已知函数 ( ) sin ( 0)f x x =  的图象的一部分如图 1，则图 2 中的函数图像对应的函数 是（ ） A. 1 2 2 y f x   = −    B. 1 2 2 x y f   = −    C. 1 2 x y f   = −    D. ( )2 1y f x= − 高三数学 5 / 17 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的平移伸缩可以得出函数关系. 【详解】 ( ) sin ( 0)f x x =  过点 1 ,1 2       得1 sin =π 2  = ， , ( ) sinπf x x = , 由图 1 和图 2 可知：函数 的 周期减半，就是 ( ) ( )2f x f x→ , 图 1→图 2 说明图象向右平移 1 2 单位， 得到 ( )2 1y f x= − 的图象． 故选:D. 9. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数 ( )f x 在闭区间  ,a b 上的图象连续不间断，在开区间 ( ),a b 内的导数为 ( )f x ，那么在区间 ( ),a b 内至少 存在一点 c，使得 ( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a− = − 成立，其中 c 叫做 ( )f x 在 ,a b 上的“拉 格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 ( ) ( )1 lnf x x x= − 在  1, 2 上的“拉格朗日中值 点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【 分 析 】 ( ) ( )1 lnf x x x= − 求 导 ， 设 0x 为 “ 拉 格 朗 日 中 值 点 ” ， 由 题 意 得 到 ( ) ( ) 0 0 2 11 1 ln ln 2 2 1 f f x x − + − = = − ，构造 ( ) 1 1 ln ln 2g x x x = + − − ，研究其单调性，结合 零点存在性定理得到答案. 【详解】 ( ) 1 1 lnf x x x  = + − ，令 0x 为函数 ( ) ( )1 lnf x x x= − 在  1, 2 上的“拉格朗日中值 点”， 高三数学 6 / 17 则 ( ) ( ) 0 0 2 11 1 ln ln 2 2 1 f f x x − + − = = − ， 令 ( ) 1 1 ln ln 2g x x x = + − − ，则 ( ) 2 1 1 0g x x x  = +  在  1, 2 上恒成立， 故 ( ) 1 1 ln ln 2g x x x = + − − 在  1, 2 上单调递增， 又 ( )1 ln 2 0g = −  ， ( ) 1 1 2 1 0 2 2 g = − =  ， 由零点存在性定理可得：存在唯一的  0 1,2x  ，使得 ( )0 0g x = . 故选：B. 二、填空题（本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分） 10. 若复数 i 1 2i z = − ，则 z = __________. 【答案】 5 5 【解析】 【分析】利用复数的除法法则，化解复数 z ，再代入模的公式，即可求解. 【 详解】 ( ) ( )( ) i 1 2ii 2 i 2 1 Z i 1 2i 1 2i 1 2i 5 5 5 + − + = = = = − + − − + ，所以 4 1 5 25 25 5 z = + = . 故答案为： 5 5 11. 若曲线 lny x x P= 上点 处的切线平行于直线2 1 0,x y P− + = 则点 的坐标是_______. 【答案】 ( , )e e 【解析】 【详解】试题分析：因为 ln 1y x = + ，设切点 ( , )a b ，则 ln 1 2, ,k a a e= + = = 又 ln ,b a a e= = ( , ).P e e 考点：利用导数求切点 高三数学 7 / 17 12. 从 1 4 ， 1 3 ， 1 2 ，2，3，4，6，9 中任取两个不同的数，分别记为m，n，记 A =“ log 0m n  ”， 则 ( )P A = ______. 【答案】 15 28 【解析】 【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果. 【详解】因为 log 0m n  ，所以0 1, 1m n   或 1,0 1m n   ， 从 1 1 1 , , ,2,3,4,6,9 4 3 2 中任取两个不同的数，共可得到 2 8A 56= 取法， 其中对数值为负数的有 1 1 1 1 3 5 5 3A A A A 30+ = 个， 所以 ( ) 30 15 56 28 P A = = . 故答案 为 ： 15 28 . 13. 已知矩形 ABCD中 2 3 2AB BC= =， ，以 AC 所在直线为旋转轴，将矩形 ABCD旋 转一周形成的面所围成的几何体的体积为______． 【答案】 56π 9 【解析】 【分析】以 AC 所在直线为旋转轴， ABC 旋转一周形成两个共底面的圆锥， ADC△ 旋 转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为 1V ，这两个几何体重叠部分是以圆O 为 底面， ,A C 为顶点的两个小圆锥，其体积记为 2V ，计算可求矩形 ABCD旋转一周形成的 面所围成的几何体的体积. 【详解】如图，以 AC 所在直线为旋转轴， ABC 旋转一周形成两个共底面的圆锥， 高三数学 8 / 17 ADC△ 旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为 1V ， 这两个几何体重叠部分是以圆O 为底面， ,A C 为顶点的两个小圆锥，其体积记为 2V ， 则所求几何体体积 2 2 1 2 1 1 2 3 56 2 2 π( 3) 4 π 4 π 3 3 3 9 V V V   = − =   −  =     . 故答案为： 56 π 9 . 14. 已知1 4a  ，则 1 4 1 a a a + − − 的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】变形条件等式得 ( ) 1 1 4 1 4 1 1 4 1 3 4 1 a a a a a a a   + = + − + − −  − − − −  ，然后展开，利用基 本不等式求最小值. 【详解】 1 4a  ， 4 0, 1 0a a −  −  ， ( ) 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 4 1 3 4 1 a a a a a a a a a    + = + − = + − + − −  − − − − − −  ( ) ( )4 1 4 11 4 1 4 5 1 5 2 1 2 3 4 1 3 4 1 a aa a a a a a   − −− −  = + + −  +  − =   − − − −    ， 当且仅当 ( )4 1 4 4 1 a a a a − − = − − ，即 2a = 时等号成立， 1 4 1 a a a  + − − 的最小值是2 . 高三数学 9 / 17 故答案为：2 . 15. 在 ABC 中， 3, 4, 90AC BC C= =  = ．P 为 ABC 所在平面内的动点，且 1PC = ， 则 PA PB 的取值范围是______． 【答案】 [ 4,6]− 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ( )cos ,sinP θ θ ，表示出PA，PB，根据数量积 的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【 详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ( )0,0C ， ( )3,0A ， ( )0,4B ， 因为 1PC = ，所以 P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设 ( )cos ,sinP θ θ ，  0,2  ， 所以 ( )3 cos , sinPA  = − − ， ( )cos ,4 sinPB  = − − ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( )cos 3 cos 4 sin sinPA PB     = −  − + −  − 2 2cos 3cos 4sin sin   = − − + 1 3cos 4sin = − − ( )1 5sin  = − + ，其中 3 sin 5  = ， 4 cos 5  = ， 因为 ( )1 sin 1 −  +  ，所以 ( )4 1 5sin 6 −  − +  ，即  4,6PA PB  − ； 高三数学 10 / 17 三、解答题(本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 14 分) 学校组织一场知识竞赛，规则如下：有 A，B 两类问题，每位参加比赛的选手先在两类问题 中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束，若回答正确则 从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.A 类问题 中的每个问题回答正确得 30 分，否则得 0 分：B 类问题中的每个问题回答正确得 70 分，否 则得 0 分.小明参加了本次知识竞赛，已知他能正确回答 A 类问题的概率为 0.7，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明选择先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）答案见详解； （2）应选择先回答 B 类问题，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可． （2）与（1）类似，找出先回答 B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【小问 1 详解】 由题可知， X 的所有可能取值为 0 ，30，100． ( )0 1 0.7 0.3P X = = − = ； ( ) ( )30 0.7 1 0.6 0.28P X = =  − = ； ( )100 0.7 0.6 0.42P X = =  = ． 所以 X 的 分布列为 X 0 30 100 P 0.3 0.28 0.42 高三数学 11 / 17 【小问 2 详解】由（1）知， ( ) 0 0.3 30 0.28 100 0.42 50.4E X =  +  +  = ． 若小明先回答 B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为 0 ，70 ，100． ( )0 1 0.6 0.4P Y = = − = ； ( ) ( )70 0.6 1 0.7 0.18P Y = =  − = ； ( )100 0.7 0.6 0.42P X = =  = ． 所以 ( ) 0 0.4 70 0.18 100 0.42 54.6E Y =  +  +  = ． 因为50.4 54.6 ，所以小明应选择先回答 B 类问题． 17. (本小题满分 15 分) 已知函数 ( ) sin( )f x A x = + 的最大值为 2，且 π 2 6 f   =    ， (0) 1f = ．若 π 2   ，且 0 π  ． （1）求 ( )f x 的解析式； （2）求 ( )f x 的单调递增区间； （3）求 ( )f x 的零点． 【详解】（1）由已知 2A = ， 由 (0) 1f = 得 π 2 π, 6 k k = + Z或 5π 2 π, 6 k k = + Z，又 π 2   ， 所以 π 6  = ， 又由 π 2 6 f   =    得 π π 2 π, 6 2 k k + = + Z，即 6 3 12 , π k k   = − + + Z， 当 π 6  = 时， 2 12 ,k k = + Z ， 此时 ( ) π 0 2 12 π 6 k = +  ，得 1 1 6 3 k−   ，则 2 = ； 高三数学 12 / 17 所以 π ( ) 2sin 2 6 f x x   = +    ； （2）令 π π π 2 π 2 2 π, 2 6 2 k x k k− +  +  + Z， 解得 π π π π, 3 6 k x k k− +   + Z， 即 ( )f x 的单调递增区间是 π π π , π , 3 6 k k k   − +     Z； （3）令 π 2 π, 6 x k k+ = Z , 解得 π π , 12 2 k x k= − + Z . 18.（本小题满分 15 分） 已知在 ABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为a，b ，c，且 sin sin 2 B C c a C + = . （1）求A ； （2）若 3a = ， D 为BC 边上一点， 2AD = ，2DB DC= ，求 ABC 的面积. 【答案】（1） 3  （2） 3 3 2 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式求解即可. （2）在 ABC 中根据余弦定理列方程，再把 AD用 AB 和 AC 表示，两边平方列方程，解 方程组求出边长即可求出三角形的面积. 【小问 1 详解】 因为 sin sin 2 B C c a C + = ， 由正弦定理得sin sin sin sin 2 B C C A C + = ， 高三数学 13 / 17 因为C 为三角形的内角，sin 0C  ，所以sin sin 2 B C A + = ， 又 B C A+ = − ， 所以sin sin sin( ) cos 2 2 2 2 2 B C A A A+ −  = = − = ， 因此cos sin 2sin cos 2 2 2 A A A A= = ， 因为0 2 2 A    ， cos 0 2 A  ，所以 1 sin 2 2 A = ， 即 , 2 6 3 A A   = = ，故A 的值为 3  . 【小问 2 详解】 由（1）知 3 A  = ，且 3a = ， 在△ ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc BAC= + −  ， 即 2 2 9b c bc+ − = ① 由于2DB DC= ， 所以 1 1 2 1 ( ) 3 3 3 3 AD AB BC AB AC AB AB AC= + = + − = + ， 平方得 2 2 24 4 1| | | | | || | cos | | 9 9 9 AD AB AB AC BAC AC= + +∠ ， 即 2 24 2 36b c bc+ + = ② 由①②得： 2 3, 3b c= = ， 所以△ ABC 的面积为 1 1 3 3 sin 2 3 3 3 2 2 2 2 bc A =    = ， 即所求面积为 3 3 2 . 高三数学 14 / 17 19. (本小题满分 15 分) 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 2AB BC= = ， 1 3AA = ，点D ，E 分别在棱 1AA ， 1CC 上， 12AD DA= ， 1 2C E EC= ，F 为 1 1B C 的中点. （1）求证： 1AB ∥平面DEF ； （2）当三棱柱 1 1 1ABC A B C− 的体积最大时， 求平面DEF 与平面 ABC 夹角的余弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 2 29 29 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作出辅助线，即可证明； （2）由三棱柱体积最大，转化为 AB BC⊥ ，再建立空间直角坐标系，利用二面角的向量 法，即可求解. 【小问 1 详解】 连结 1AC ，交DE 于点M ，连结MF ， 因为 12AD DA= ， 1 2C E EC= ，所以 1AD C E ，且 1/ /AD C E ， 则 1DAM EC M =  ， 1DMA EMC = ，所以 1ADM C EM ， 所以 1AM MC= ，又点F 是 1 1B C 的中点，所以 1 / /AB MF ， 1AB 平面DEF ，MF 平面DEF ， 所以 1 / /AB 平面DEF ； 【小问 2 详解】 由已知 2AB BC= = ， 1 3AA = ， 当 AB BC⊥ 时， ABC 的面积最大，此时三棱柱 1 1 1ABC A B C− 的体积最大， 高三数学 15 / 17 如图，以点 B 为原点建立空间直角坐标系，以 1, ,BA BC BB 为 , ,x y z轴的正方向建立空间 直角坐标系， ( )2,0,2D ， ( )0,2,1E ， ( )0,1,3F ， ( )2,2, 1DE = − − ， ( )2,1,1DF = − ， 设平面DEF 的法向量为 ( ), ,m x y z= ， 则 0 0 DE m DF m   =   = ，即 2 2 0 2 0 x y z x y z − + − =  − + + = ，令 3x = ，则 4, 2y z= = ， 即平面DEF 的法向量为 ( )3,4,2m = ， 平面 ABC 的法向量为 ( )0,0,1n = , 2 2 29 cos , 2929 m n m n m n  = = = ， 所以平面DEF 与平面 ABC 夹角的余弦值为 2 29 29 . 20.（本小题满分 16 分） 设函数 ( ) 2ln p f x px x x = − − ，其中 e 是自然对数的底数. （1）当 3 2 p = 时，求函数 ( )f x 的极值. （2）若 ( )f x 在其定义域内为单调函数，求实数 p 的取值范围. （3）设 ( ) 2e g x x = ，若在 1,e 上至少存在一点 0x ，使得 ( ) ( )0 0f x g x 成立，求实数 p 的 取值范围. 【答案】（1）函数的极大值为 2ln 3 1− ，极小值为1 2ln 3− ； （2） 1p 或 0p ； 高三数学 16 / 17 （3） 2 4e e 1 p  − . 【解析】 【分析】（1）利用导数来判断函数的单调区间，即可求函数 ( )f x 的极值； （2）求导得 2 2 2 ( ) px x p f x x − +  = ，令 2( ) 2h x px x p= − + ，等价于 ( )h x 在 (0, )+ 内满 足 ( ) 0h x 或 ( ) 0h x 恒成立，因为 2 1 0x ，所以当且仅当 2 2 1 x p x + 时， ( ) 0h x ， 2 2 1 x p x + 时， ( ) 0h x ,进而得 p 的取值范围． （3）先假设存在，因为 2e ( )g x x = ，若在[1， e]上存在实数 x，使得 ( ) ( )f x g x ，在区 间[1， e]上分别求出 ( )f x 和 ( )g x 的最大值和最小值，然后讨论求解． 【小问 1 详解】 解：由已知 ( ) 2ln p f x px x x = − − ，得 2 2 2 ( ) px x p f x x − +  = ， 3 2 p = 时， 2 ( 3)( 3 1) ( ) 2 x x f x x − −  = ．令 ( ) 0f x = ，可得 3x = 或 3 3 ， 函数在 3 (0, ) 3 ， ( 3 ， )+ 上为单调增函数，在 3 ( 3 ， 3) 上为单调减函数， 所以函数的极大值为 3 3 3 3 3 ( ) 3 2ln =2ln 3 1 3 2 3 2 3 f =  −  − − ，极小值为 3 3 3 ( 3) 3 2ln 3=1 2ln 3 2 2 3 f =  −  − − . 函数的极大值为 2ln 3 1− ，极小值为1 2ln 3− . 【小问 2 详解】 解： 2 2 2 2 2 ( ) p px x p f x p x x x − +  = + − = ， 令 2( ) 2h x px x p= − + ，要使 ( )f x 在定义域 (0, )+ 内是单调函数，只需 ( )h x 在 (0, )+ 内， 高三数学 17 / 17 满足 ( ) 0h x 或 ( ) 0h x 恒成立， 当且仅当 2( 1) 2p x x+ 时， ( ) 0h x ， 2( 1) 2p x x+ 时， ( ) 0h x ， 因为 2 1 0x ，所以当且仅当 2 2 1 x p x + 时， ( ) 0h x ， 2 2 1 x p x + 时， ( ) 0h x ， 因为在 (0, )+ 内有 22 2 2 2 0 1 111 x xx x xx  = = ++ + ，当且仅当 1 x x = 即 1x = 时取等号， 所以当 1p 时， ( ) 0h x ， ( ) 0f x ，此时 ( )f x 在 (0, )+ 单调递增， 当 0p 时， ( ) 0h x ， ( ) 0f x ，此时 ( )f x 在 (0, )+ 单调递减， 综上， p 的取值范围为 1p 或 0p ． 【小问 3 详解】 解： 2e ( )g x x = ，在[1， e]上是减函数， ex = 时， ( ) 2ming x = ； 1x = 时， ( ) 2emaxg x = ，即 ( ) [2g x  ， 2e] . ① 0p 时，由（2）知 ( )f x 在[1， e]递减 ( )maxf x f = （1） 0 2=  ，不合题意. ② 0 1p  时，由 [1x ， 1 e] [0x x  −  ， 1 e ] e − 1 1 1 1 ( ) ( ) 2ln 2ln e 2lne e 2 2 e e f x p x x x x x x  = − −  − −  − − = − −  不合题意 ③ 1p 时，由（1）知 ( )f x 在[1， e]上是增函数，故只需 ( ) ( ) 2max minf x g x = ， [1x ， e]，而 ( )maxf x f= （e） 1 (e ) 2 e p= − − ， ( ) 2ming x = ，  1 (e ) 2 2 e 1 p p  − −     ，解得 2 4e e 1 p  − ． 故 p 的取值范围为 2 4e ( e 1− ， )+ ． 高三年级数学 第 1 页（共 4 页） 高三年级数学 第 2 页（共 4 页） 班 级 __ _ __ _ __ _ __ _ 姓 名 __ _ __ _ __ _ __ 考 号 _ __ _ __ _ __ __ _ _ 第 二 南 开 学 校 2 0 2 4— 2 0 2 5 学 年 度 第 一 学 期 高 三 年 级 数 学 学 科 期 中 质 量 调 查 命 题 人 ： L Z 复 核 人 ： W F … … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分. 考试时间 120 分钟.祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷 （选择题 共 45 分） 注意事项: 1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3．本卷共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分. 1. 已知集合  2 1,A x x k k= = − N ，  1,0,1,2,3B = − ，则 A B =（ ） A.  1,3 B.  0,1,3 C.  1,1,3− D.  1,0,1,2,3− 2. 若 ,x yR ，则 x y 的一个充分不必要条件是（ ） A. x y B. 2 2x y C. x y D. 3 3x y 3.下列函数中，既是奇函数又在区间 ( )0,1 上单调递增的是（ ） A. siny x= B. y x= C. 3y x= − D. lgy x= 4. 已知 1a b= = ， 3a b+ = ，则a 在b 上的投影向量为（ ） A. 3 2 a B. 1 2 a C. 3 2 b D. 1 2 b 5. 设 1 28a = ， 3log 2b = ， 2log 3c = ，则a，b ，c的大小关系为（ ） A. a b c  B . b<c<a C. b a c  D. c<a<b 6. 6 2 1( 1)x x x   + −    的 展开式中含 3x 项的系数为（ ） A. 30 B. 20 C. -20 D. -30 7. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21 21 大小的，即 441 个点，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有 4412 种不同的码.假设我们 1 秒钟用掉 1 万个二维码，1 万年 约为 113 10 秒，那么大约可以用（ ）（参考数据： lg2 0.3,lg3 0.5  ） A. 11710 万年 B. 117 万年 C. 20510 万年 D. 205 万年 8.已知函数 ( ) sin ( 0)f x x =  的图象的一部分如图 1，则图 2 中的函数图像对应的 函数是（ ） A. 1 2 2 y f x   = −    B. 1 2 2 x y f   = −    C. 1 2 x y f   = −    D. ( )2 1y f x= − 9. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数 ( )f x 在闭区间  ,a b 上的图象连续不断，在开区间 ( ),a b 内的导数为 ( )f x ，那么在区间 ( ),a b 内至少 存在一点 c，使得 ( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a− = − 成立，其中 c叫做 ( )f x 在 ,a b 上的“拉 格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 ( ) ( )1 lnf x x x= − 在  1, 2 上的“拉格朗日中值 点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第 II 卷（非选择题 共 105 分） 注意事项: 1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上,答在本试卷上的无效. 2．本卷共 11 题,共 105 分. 二、填空题（本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分） 10. 若复数 i 1 2i z = − ，则 z = __________. 11. 若曲线 lny x x= 上点P 处的切线平行于直线2 1 0x y− + = ，则点P 的坐标是_______. 高三年级数学 第 3 页（共 4 页） 高三年级数学 第 4 页（共 4 页） 12. 从 1 4 ， 1 3 ， 1 2 ，2，3，4，6，9 中任取两个不同的数，分别记为m，n，记 A =“ log 0m n  ”，则 ( )P A = ______． 13. 已知矩形 ABCD中 2 3 2AB BC= =， ，以 AC 所在直线为旋转轴，将矩形 ABCD旋转 一周形成的面所围成的几何体的体积为______． 14. 已知1 4a  ，则 1 4 1 a a a + − − 的最小值是______． 15. 在△ ABC 中， 3, 4, 90AC BC C= =  = ．P 为△ ABC 所在平面内的动点，且 1PC = ，则PA PB 的取值范围是______． 三、解答题(本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.（本小题满分 14 分） 学校组织一场知识竞赛，规则如下：有 A，B 两类问题，每位参加比赛的选手先在两类 问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束，若回答 正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束． A 类问题中的每个问题回答正确得 30 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 70 分，否则得 0 分．小明参加了本次知识竞赛，已知他能正确回答 A 类问题的概率为 0.7， 能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （Ⅰ）若小明选择先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； (Ⅱ)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 17. (本小题满分 15 分) 已知函数 ( ) sin( )f x A x = + 的最大值为 2，且 π 2 6 f   =    ， (0) 1f = ．若 π 2   ，且0 π  ． （Ⅰ）求 ( )f x 的解析式； (Ⅱ)求 ( )f x 的单调递增区间； (Ⅲ)求 ( )f x 的零点． 18. (本小题满分 15 分) 已知在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为a，b ，c，且 sin sin 2 B C c a C + = . （Ⅰ）求 A； (Ⅱ)若 3a = ，D 为 BC 边上一点， 2AD = ， 2DB DC= ，求△ ABC 的面积． 19. (本小题满分 15 分) 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 2AB BC= = ， 1 3AA = ，点D ，E 分别在棱 1AA ， 1CC 上， 12AD DA= ， 1 2C E EC= ，F 为 1 1B C 的中点． （Ⅰ）求证： 1AB ∥ 平面DEF ； (Ⅱ)当三棱柱 1 1 1ABC A B C− 的体积最大时，求平面DEF 与 平面 ABC 夹角的余弦值． 20.（本小题满分 16 分） 设函数 ( ) 2ln p f x px x x = − − ，其中 e 是自然对数的底数. （Ⅰ）当 3 2 p = 时，求函数 ( )f x 的极值； (Ⅱ)若 ( )f x 在其定义域内为单调函数，求实数 p 的取值范围； (Ⅲ)设 ( ) 2e g x x = ，若在 1,e 上至少存在一点 0x ，使得 ( ) ( )0 0f x g x 成立， 求实数 p 的取值范围．