浙江省温州市2024-2025学年九年级上学期期中数学模拟试卷

浙江省温州市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学模拟试卷 一.选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（3分）二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 3．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．种豆得豆 C．水中捞月 D．水涨船高 4．（3分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式是（　　） A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2 5．（3分）如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（　　） A．158° B．58° C．64° D．116° 7．（3分）若二次函数y＝﹣5（x﹣2）2+m的图象经过A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＝y3 C．y3＝y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 8．（3分）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w＝（x﹣30）（﹣2x+80） B．w＝x（﹣2x+80） C．w＝30（﹣2x+80） D．w＝x（﹣2x+50） 9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象经过点P，点P的横坐标为m，当m≤x≤4时，总有﹣1≤y≤4m，则m的值为（　　） A． B． C． D． 二.填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）抛物线y＝ax2经过点（3，5），则a＝　 　． 12．（4分）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100 杯口朝上频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22 估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为 　 　（结果精确到0.1） 13．（4分）如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为 　 　． 14．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝　 　． 15．（4分）如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．跳起来最高可达1.7米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 　 　. 16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，以AB边上的动点O为圆心，OB为半径作圆，将△AOD沿OD翻折至△A′OD，若⊙O过△A′OD一边上的中点，则⊙O的半径为 　 　． 三.解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c经过点A（0，3），点B（1，2）． （1）求b，c的值； （2）求该二次函数的对称轴． 18．（6分）一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． （1）摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 19．（6分）△ABC的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB'C'（点B对应点B'），画出△AB'C'； （2）请找出过B，C，C′三点的圆的圆心，标明圆心O的位置． 20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F． （1）求证：点D为的中点； （2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径． 21．（8分）掷实心球是温州市体育中考考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据温州市体育中考考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.9m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD．延长AC，DB相交于点E． （1）求证：OC∥BE． （2）若，BD＝6，求⊙O的半径． 23．（10分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+3a﹣2（a≠0），经过点A（x1，y1），B（x2，y2）． （1）若此函数图象过点（2，4），求这个二次函数的表达式； （2）若x1＝3x2时，y1＝y2＝7时，求a的值； （3）若0＜a＜3，当x1＜x2，且x1+x2＝a﹣1时，求证：y1＞y2． 24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3． （1）求证：AD＝AF； （2）求△ABD的周长； （3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长． 浙江省温州市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（每小题3分，共30分）姓名______ 1．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由⊙O的半径及点P在⊙O外，可得出OP的长大于3，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外， ∴OP的长大于3． 故选：D． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r”是解题的关键． 2．（3分）二次函数y＝2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【分析】所给抛物线是顶点式，可直接得出抛物线的顶点坐标． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x+h）2+k的顶点坐标是（﹣h，k）， ∴抛物线y＝2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（2，﹣5）． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键． 3．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．种豆得豆 C．水中捞月 D．水涨船高 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件；事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【解答】解：守株待兔是随机事件，则A符合题意； 种豆得豆是必然事件，则B不符合题意； 水中捞月是不可能事件，则C不符合题意； 水涨船高是必然事件，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（3分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式是（　　） A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2 【分析】根据函数图象左加右减，可得答案． 【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线的平移原则：上加下减左加右减是解题的关键． 5．（3分）如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先确定在图中白色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在白色区域的概率． 【解答】解：∵圆被等分成4份，其中白色区域占3份， ∴指针落在白色区域的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查的是几何概率，首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（　　） A．158° B．58° C．64° D．116° 【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由补角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵∠D＝32°， ∴∠BOC＝2∠D＝64°， ∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°． 故选：D． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 7．（3分）若二次函数y＝﹣5（x﹣2）2+m的图象经过A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＝y3 C．y3＝y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【分析】根据二次函数图象的对称性和增减性求解即可． 【解答】解：由y＝﹣5（x﹣2）2+m得图象开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵二次函数y＝﹣5（x﹣2）2+m的图象经过A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）， ∴点A关于直线x＝2对称点是C，则y3＝y1， ∵由二次函数增减性可知，当x＜2时，y随x的增大而增大，且0＜1， ∴y1＜y2， ∴y3＝y1＜y2． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 8．（3分）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w＝（x﹣30）（﹣2x+80） B．w＝x（﹣2x+80） C．w＝30（﹣2x+80） D．w＝x（﹣2x+50） 【分析】利用这种产品每天的销售利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可找出w与x之间的函数表达式． 【解答】解：根据题意得：w＝（x﹣30）y， 即w＝（x﹣30）（﹣2x+80）． 故选：A． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【分析】先根据垂径定理和点C是弧BE的中点得出，从而得出CD＝BE＝8，再利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r， ∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径， ∴，CG＝DG， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴CD＝BE＝8， ∴， ∵OG＝r﹣3，OD＝r， ∴42+（r﹣3）2＝r2， 解得， ∴⊙O的半径为． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象经过点P，点P的横坐标为m，当m≤x≤4时，总有﹣1≤y≤4m，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】将二次函数的解析式配方成顶点式，可得出抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），对称轴是直线x＝2，当x＝2时，y取得最小值﹣1，由已知“当m≤x≤4时，总有﹣1≤y≤4m”根据抛物线的对称性和增减性分类讨论：若0＜m≤2时，若时，分别求出m的值，即可求出答案． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， a＝1＞0， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），对称轴是直线x＝2， ∴当x＝2时，y取得最小值﹣1， ∵当m≤x≤4时，总有﹣1≤y≤4m， ∴， 若0＜m≤2，则当x＝4时，y＝4m， 即有4m＝42﹣4×4+3， 解得：； 若，则当x＝m时，y＝4m， 即有4m＝m2﹣4m+3 解得：，不合题意， ∴这种情况不存在， 综上所述，当m≤x≤4时，总有﹣1≤y≤4m，则． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二.填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）抛物线y＝ax2经过点（3，5），则a＝　　． 【分析】此题考查了待定系数法，把点代入即可求得． 【解答】解：把点（3，5）代入y＝ax2中， 得：9a＝5， 解得a＝． 【点评】本题考查了点与函数的关系，考查了用待定系数法，难度不大． 12．（4分）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100 杯口朝上频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22 估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为 　0.2　（结果精确到0.1） 【分析】根据题意判断即可． 【解答】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.2左右， 故答案为：0.2 【点评】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率． 13．（4分）如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为 　6　． 【分析】连接OC，OB，根据圆周角定理得出∠COB＝2∠BAC＝60°，继而得出△OCB是等边三角形，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接OC，OB， ∵弧BC＝弧BC，∠BAC＝30°， ∴∠COB＝2∠BAC＝60°， 又∵OC＝OB＝6， ∴△OCB是等边三角形， ∴BC＝6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 14．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝　40°　． 【分析】首先证明∠ACC′＝∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′＝40°即可解决问题． 【解答】解：由题意得： AC＝AC′， ∴∠ACC′＝∠AC′C； ∵CC′∥AB，且∠BAC＝70°， ∴∠ACC′＝∠AC′C＝∠BAC＝70°， ∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°； 由题意知：∠BAB′＝∠CAC′＝40°， 故答案为：40°． 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，得出AC＝AC′，∠BAC＝∠ACC′＝70°是解题关键． 15．（4分）如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．跳起来最高可达1.7米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 　2＜m＜4　. 【分析】以AO所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，选定抛物线上两点C（3，1.8），A（0，0.9），代入抛物线解析式，求得y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，然后令y＝1.7即可求得m的取值范围． 【解答】解：如图， 由题意可知C（3，1.8）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1.8， 把A（0，0.9）代入y＝a（x﹣3）2+1.8，得： a＝﹣0.1， ∴所求的抛物线的解析式是y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8， 当y＝1.7时，﹣0.1（x﹣3）2+1.8＝1.7， 解得x1＝2，x2＝4， ∴则m的取值范围是2＜m＜4． 故答案为：2＜m＜4． 【点评】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力． 16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，以AB边上的动点O为圆心，OB为半径作圆，将△AOD沿OD翻折至△A′OD，若⊙O过△A′OD一边上的中点，则⊙O的半径为 　或或　． 【分析】分三种情况进行解答，即当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边OA′的中点，过△A′OD的边OD的中点，过△A′OD的边A′D的中点，分别画出相应的图形，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：如图1，当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边OA′的中点时， 由折叠可知OA＝OA′，而OA′＝2OB， ∴AB＝3OB， ∴OB＝AB＝； 如图2，当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边OD的中点时，则OD＝2OB， 设OB＝x，则OD＝2x，OA＝2﹣x， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， OA2+AD2＝OD2， 即（2﹣x）2+22＝（2x）2， 解得x＝或x＝＜0舍去， 即半径OB＝； 如图3，当以OB为半径的⊙O过△A′OD的边A′D的中点时，则A′E＝AD＝1， 设OB＝y，则OE＝y，OA′＝OA＝2﹣y， 在Rt△A′OE中，由勾股定理得， OA′2+A′E2＝OE2， 即（2﹣y）2+12＝y2， 解得y＝， 即半径OB＝， 综上所述，半径OB的长为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键． 三.解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c经过点A（0，3），点B（1，2）． （1）求b，c的值； （2）求该二次函数的对称轴． 【分析】（1）依据题意，将A（0，3），点B（1，2）代入二次函数解析式，进而计算可以得解； （2）依据题意，由（1）所得解析式进行计算可以得解． 【解答】解：（1）将A（0，3），点B（1，2）代入二次函数解析式， ∴c＝3，1+b+c＝2． ∴b＝﹣2． （2）由（1）可得二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+3． ∴二次函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，即x＝1． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 18．（6分）一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． （1）摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1））∵布袋里装有3个球，2个红球，1个白球，且被摸到的可能性相同， ∴摸出一个球是红球的概率为； （2）由题意，画出树状图如图： 共有9个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个， ∴两次都摸到红球的概率为． 【点评】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．（6分）△ABC的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB'C'（点B对应点B'），画出△AB'C'； （2）请找出过B，C，C′三点的圆的圆心，标明圆心O的位置． 【分析】（1）根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可画出图形； （2）作BC和CC'的垂直平分线，交点即为点O． 【解答】（1）解：如图，△AB′C′即为所求； （2）解：如图，点O即为所求． 作法提示：作BC和CC'的垂直平分线，交点即为点O． 【点评】本题考查画旋转图形、三角形的外接圆的圆心等内容，正确确定圆心是解答的关键． 20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F． （1）求证：点D为的中点； （2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得∠OFA＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答； （2）利用垂径定理可得AF＝AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD∥BC， ∴∠OFA＝∠C＝90°， ∴OF⊥AC， ∴＝， ∴点D为的中点； （2）解：∵OF⊥AC， ∴AF＝AC＝8， 在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2， ∴OA2＝64+（OD﹣DF）2， ∴OA2＝64+（OA﹣4）2， ∴OA＝10， ∴⊙O的直径为20． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键． 21．（8分）掷实心球是温州市体育中考考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据温州市体育中考考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.9m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可． 【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3． 把（0，）代入解析式，得2+3， 解得a＝﹣． ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3． （2）该女生在此项考试中是得满分． 理由：令y＝0，即， 解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）． ∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m，大于6.9m． ∴该女生在此项考试中是得满分． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． 22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD．延长AC，DB相交于点E． （1）求证：OC∥BE． （2）若，BD＝6，求⊙O的半径． 【分析】（1）延长CO交⊙O于F，连接BC，根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB＝90°，则BE⊥AD，再根据垂径定理得：CF⊥AD，由此可得出结论； （2）设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OC＝R，证明OC是△ABE的中位线，则AC＝CE＝，BE＝2OC＝2R，进而得AE＝，DE＝2R+6，在Rt△ABD和Rt△AED中利用勾股定理构造方程 （2R）2﹣62＝（）2﹣（2R+6）2，由此解出R即可． 【解答】（1）证明：延长CO交⊙O于F，连接BC，如图所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即BE⊥AD， ∵点C为的中点， ∴根据垂径定理得：CF⊥AD， ∴OC∥BE， （2）解：设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OC＝R， ∵OA＝OB，OC∥BE， ∴OC是△ABE的中位线， ∴AC＝CE＝，BE＝2OC＝2R， ∴AE＝，DE＝BD+BE＝2R+6， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2＝AE2﹣DE2， ∴AB2﹣BD2＝AE2﹣DE2， ∴（2R）2﹣62＝（）2﹣（2R+6）2， 整理得：R2+3R﹣40＝0， 解得：R1＝5，R2＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴⊙O的半径为5． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，理解圆周角定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 23．（10分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+3a﹣2（a≠0），经过点A（x1，y1），B（x2，y2）． （1）若此函数图象过点（2，4），求这个二次函数的表达式； （2）若x1＝3x2时，y1＝y2＝7时，求a的值； （3）若0＜a＜3，当x1＜x2，且x1+x2＝a﹣1时，求证：y1＞y2． 【分析】（1）将点（2，4）代入函数表达式中求解即可； （2）先求得函数图象的对称轴为直线x＝1，再根据对称性求得x2，进而代值求解即可； （3）求y2﹣y1，结合条件判断y2﹣y1与0的大小即可得出结论． 【解答】解：（1）将点（2，4）代入关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+3a﹣2（a≠0）中， 可得：4a﹣4a+3a﹣2＝4， ∴a＝2， ∴y＝2x2﹣4x+4； （2）由y＝ax2﹣2ax+3a﹣2＝a（x﹣1）2+2a﹣2得，该函数的图象的对称轴为直线x＝1， ∵若x1＝3x2时，y1＝y2＝7， ∴点A、B关于直线x＝1对称， ∴， ∴， 将代入函数表达式中，得， 解得a＝4； （3）证明：y2﹣y1＝ ＝ ＝a（x2﹣x1）（x2+x1﹣2）， ∵x1＜x2， ∴x2﹣x1＞0， ∵x1+x2＝a﹣1， ∴x1+x2﹣2＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴a﹣3＜0，则x1+x2﹣2＜0， ∴y2﹣y1＜0， ∴y1＞y2． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，理解函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3． （1）求证：AD＝AF； （2）求△ABD的周长； （3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长． 【分析】（1）证明出∠ADE＝∠F即可得出AD＝AF， （2）由等积法得AE＝，利用勾股定理求出BE＝，DE＝，可得BD＝，即可求解； （3）当△AEP为等腰三角形时，分三种情况：①当AP＝AE时，②当AE＝PE时，③当PA＝PE时，分别求解即可． 【解答】（1）证明：连接EA， ∵E为弧AC的中点， ∴∠EAC＝∠ABE， ∵AF⊥AB， ∴∠FAB＝90°， ∴∠B+∠F＝90°， ∴AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAC+∠ADE＝90° ∴∠ADE＝∠F， ∴AD＝AF． （2）解：连接EA， 在Rt△ABF 中，AF＝3，AB＝4， ∴FB＝＝5， ∵S△ABF＝AB•AF＝FB•AE， ∴AB•AF＝FB•AE， ∴3×4＝5AE， ∴AE＝， 在Rt△ABE中， BE＝＝＝， ∵AD＝AF＝3， 在Rt△AED 中， DE＝＝＝， ∴BD＝BE﹣DE＝， ∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝4+3+＝； （3）解：①当AP＝AE时， ∵AE＝， ∴AP＝AE＝； ②当AE＝PE时，连接OE交AC与M， ∵点E为弧AC的中点， ∴AE＝CE，OE⊥AC，AM＝CM， ∴点P与点C重合， 在Rt△AEM中，AM2＝AE2﹣EM2， 在Rt△AOM中，AM2＝AO2﹣OM2， ∴AE2﹣EM2＝AO2﹣OM2， ∴（）2﹣EM2＝22﹣（2﹣EM）2， ∴EM＝， ∴AM＝＝＝， ∴AP＝2AM＝； ③当PA＝PE时，连接OP交AE与N， ∴AN＝EN＝AE＝，OP⊥AE， 在Rt△AON中， ON＝＝＝， ∴PN＝OP﹣ON＝2﹣＝， 在Rt△APN中， AP＝＝＝； 延长PO交⊙O于P′，则P′E＝P′A， 在Rt△AP′N中，P′N＝ON+OP′＝， AP′＝＝＝； 综上所述，AP的长度为或或或． 【点评】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，第三问的解题关键是分类讨论，属于中考常考题型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$