2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟卷（一）（人教版）

高二上学期期中考试模拟卷（一）（人教版） 一、单选题 1．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则（     ） A． B． C． D． 2．已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，若上的点满足轴，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．将直线绕着原点逆时针旋转，得到的新直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 5．若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 6．已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（    ） A． B． C． D． 8．已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中，正确的有（    ） A．直线在y轴上的截距是2 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 10．设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（    ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．当最小时，直线方程为 D．直线恒过定点 三、填空题 12．已知点，椭圆的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为 ． 13．若双曲线的左、右焦点为，若在其渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为 . 14．设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是 ． 四、解答题 15．如图所示，在正方体中，化简向量表达式： (1)； (2)； (3). 16．如图，在正方体中，分别是的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 17．如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体. (1)化简 ++,并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设=α,试求α，β，γ的值. 18．如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 19．已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的最大值． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B B B A C BC ABC 题号 11 答案 AC 1．A 【难度】0.94 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】直接根据椭圆定义得到答案. 【详解】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则. 故选：A. 2．D 【难度】0.94 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得. 【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且， 对于A，由，得，点不共面，A不是； 对于B，由，得，点不共面，B不是； 对于C，由，得，点不共面，C不是； 对于D，由，得，点共面，D是. 故选：D 3．C 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意构建方程，进而转化为的齐次式，从而得到结果. 【详解】∵， ∴ ∴，即 ∴. 故选：C 4．B 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】首先求出直线的倾斜角，然后旋转后可得到新直线的倾斜角，进而求出新直线的斜率. 【详解】由题意可知，直线方程可转化为， 从而，则直线的倾斜角， 则直线逆时针旋转后倾斜角为， 即所得新直线的斜率为． 故选：B. 5．B 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量数量积的应用 【分析】根据题意，分析可得，由直线与平面的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，直线的方向向量为， 平面的法向量为，易得， 又直线在平面外，则有． 故选：B． 6．B 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】不妨设在第一象限，根据，可设.把点的坐标代入双曲线方程可得出，利用求根公式即可解出.结合，可求出，从而可求出答案. 【详解】不妨设在第一象限，因为，所以设，为锐角， 代入双曲线方程可得：，即， 化简可得，即， 因为，所以解得， 因为直线，，所以，即， 所以，所以，所以． 故选：． 7．A 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——直线、相交圆的公共弦方程 【分析】设出点坐标，求解出以为直径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差可得公共弦的方程，结合点在上可得点P的坐标满足的方程. 【详解】设，则以为直径的圆，即① 因为是圆O的切线，所以，所以A，B在圆M上， 所以是圆O与圆M的公共弦，又因为圆②， 所以由①②得直线的方程为：， 又点满足直线方程，所以，即. 故选：A. 8．C 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】设直线l为，取圆的弦PQ的中点为E，求出其轨迹方程，求出E到直线l距离的最小值，过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，将转化为，即可求其最小值． 【详解】由题可知A为，且P、A、Q三点共线， 设弦PQ的中点为，连接OE，则，即， ∴，即， 所以点E的轨迹方程为， 即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为， 则E到l的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N， 则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线， ∴， 即， 即， 所以的最小值为. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：问题的关键是求出PQ的中点的轨迹，将要求最小值的式子与点到直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值. 9．BC 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、直线截距式方程及辨析 【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。 【详解】对于A:令时，，故在y轴上的截距是2，A错. 对于B:直线的斜率为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代人直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代人直线得，直线方程为：，故D错. 故选：BC 10．ABC 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、空间位置关系的向量证明 【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，可以成立，本选项结论不正确； B：当时，若，此时成立，因此本选项结论不正确； C：当时，若，，此时成立，因此本选项结论不正确； D：因为，所以，，所以，而，， 所以，而，所以，因此，所以本选项结论正确， 故选：ABC 11．AC 【难度】0.4 【知识点】切线长、相交圆的公共弦方程、直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，可判断A选项，根据切线长的几何意义可判断B选项，再根据两圆公共弦方程求法可判断CD选项. 【详解】 由圆，得圆心，半径圆， A选项：点到直线的距离为，又，即， 所以圆上恰有两个点到直线的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，，所以，B选项错误； D选项：由切线的性质可知，在以为直径的圆上，设， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 圆的方程为，即， 又，在圆上，则， 得，则，解得， 所以恒过定点，D选项错误； C选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线方程为，即， 联立，解得，故，则， 所以，即，C选项正确； 故选：AC. 12．4 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】由线段的中点恰好在椭圆上，则为右顶点，由中点坐标公式即可得解. 【详解】由线段的中点恰好在椭圆上，即为右顶点， 可得， 解得，所以椭圆的长轴长为4． 故答案为：. 13． 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】不妨设点在第一象限，则，设线段交双曲线的右支于点，根据双曲线的定义得到，再结合离心率公式计算可得. 【详解】不妨设点在第一象限，则，设线段交双曲线的右支于点，    则， 即， 故. 故答案为：. 14． 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】依题意可得圆心到直线的距离小于等于，作，垂足为，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意知直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离小于等于，如图， 作，垂足为，在直角中，因为， 所以， 解得，因为点，所以，解得， 故的取值范围是，所以的最大值是. 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得. 【详解】（1） （2）由图知， 所以 （3）由图知， 所以由（2）可得 16．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据题目建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用线面夹角正弦值的计算公式求解即可； （2）由（1）得出平面的法向量和，然后利用向量直接求解点到面的距离即可. 【详解】（1）由题知，以为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设直线与平面所成角为， 平面的法向量为，， 则得，取，则， 得平面的一个法向量为，向量， 则. （2）由（1）知，平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为. 17．（1）答案见解析；（2）α=,β=,γ=. 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】(1)取DD1的中点G，过G作DC的平行线GH，使GH=DC，连接AH，由向量的运算法则可得++=; (2)由题意可得=.则α=,β=,γ=. 【详解】(1)取DD1的中点G，过G作DC的平行线GH，使GH=DC，连接AH， 则++=; 其结果如图所示. (2)====. ∴α=,β=,γ=. 【点睛】选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量． 18．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，结合面面垂直的性质可得平面，然后根据等腰三角形的性质结合条件可得. （2）作，垂足为，连接，由面面垂直的性质可得平面，再由三角形全等，得出，从而建立空间坐标系利用空间向量解决问题. 【详解】（1）证明：因为是等腰直角三角形，为的中点， 所以， 平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面 因为平面，所以，又为的中点， 所以是等腰三角形，故. （2）在平面上，作，垂足为，连接. 平面平面，平面平面， 又平面，所以平面. 由（1），又，则为等边三角形. 所以，， 所以，所以， ， 所以,在等腰直角三角形中，， 所以与全等，故，即， 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. . 设平面的法向量为， 则即取，可得. 设平面的法向量为， 则即取，可得. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 19．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）先根据已知条件得到之间的关系，再根据三角形的面积求得的值，进而得椭圆的标准方程； （2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程和的坐标，利用根与系数的关系求出两点坐标间的关系，接着根据得到直线过定点；当直线的斜率不存在时得直线也过点，最后根据圆的性质求得结果. 【详解】（1）在中， 令，得，令，得， 因为直线过的左顶点与上顶点，所以． 因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，所以， 得，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 由可得， 则，即， ， 则， ． 由可得， 故， 即， 即， 化简可得， 所以或． 若时，直线的方程为，直线过点，不符合题意； 若时，直线的方程为，直线过定点． 当直线的斜率不存在时，设其方程为， 则可令，， 由得， 即 ， 解得或（直线过点，舍去）， 此时直线的方程为，显然也过点． 由可得点在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径为， 故点在圆上， 则到直线的距离的最大值为． 答案第14页，共14页 答案第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$