2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟卷（三）（人教版）

高二上学期期中考试模拟卷（三）（人教版） 1．若双曲线的实轴长是离心率的倍，则等于(   ) A． B．2 C． D． 2．的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C．1 D． 3．已知双曲线的右焦点为，在右支上存在点，，使得为正方形（为坐标原点），设该双曲线离心率为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．9 B． C．3 D． 5．如图，在直三棱柱中，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．为与的交点，点为空间中一点，且满足，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 6．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆C：，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为： D．离心率为 10．已知点，，直线：，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点，到直线距离相等 B．当时，直线的斜率不存在 C．当时，直线在轴上的截距为 D．当时，直线与直线平行 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．线段的长度的最大值是1 C．当点与点重合时，多面体的体积为2 D．点到截面的距离的最大值是 12．抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 . 13．已知直线：和直线：.当 时，. 14．过点作斜率为的直线交圆于两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值为 . 15．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3). 16．已知动点满足：(其中). （1）指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； （2）当时，若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 17．在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)； (2). 18．已知是椭圆的右焦点，是上一点. (1)求的方程； (2)记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值. 19．设 分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆 短轴的一个顶点，已知 的面积为 . (1)求椭圆的方程； (2)如图， 是椭圆上不重合的三点，原点是的重心 （i）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线 的距离； （ii）求点 到直线 的距离的最大值. 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A C D D B CD CD 题号 11 答案 BD 1．A 【难度】0.94 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线实轴长是离心率的倍列方程，化简求得的值. 【详解】由于方程表示双曲线，所以， 依题意，双曲线实轴长是离心率的倍， 所以， 解得（负根舍去）. 故选：A 2．C 【难度】0.94 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果． 【详解】∵双曲线的方程为，， ∴焦点坐标为，渐近线方程为，即， ∴双曲线的焦点到渐近线的距离为 故选：C 3．B 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意得到点的坐标为，代入双曲线的方程，得到，进而得到离心率的方程，即可求解. 【详解】由题意，当为正方形时，点的坐标为， 代入可得，整理得， 即，整理得， 即，解得. 故选：B. 4．A 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由双曲线方程求出渐近线方程，再与比较可求出的值 【详解】由题可得， 由，得， 所以双曲线的渐近线方程， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，得， 故选：A 5．C 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】直接由，所以，化成方程组且求解即可. 【详解】由题意知：，设点， 则，，，， 因为，，所以， 且，则 解得：， 所以点． 故选：C. 6．D 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】直线的方程可得，所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即，因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 7．D 【难度】0.4 【知识点】椭圆的对称性、基本不等式求和的最小值 【分析】依题意可得直线的方程为，联立两椭圆方程整理得到，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】根据对称性及可得直线的方程为， 由，可得，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是得到直线的方程，从而得到，最后将变形为. 8．B 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，将表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围. 【详解】设上的切点分别为H､I､J， 则. 由，得， ∴，即. 设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则， 得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合. 同理可得的内心在直线上， 设直线的领斜角为，则， ， 当时，； 当时，由题知，， 因为A，B两点在双曲线的右支上， ∴，且，所以或， ∴且， ∴， 综上所述，. 故选：B. 9．CD 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【解析】先化简椭圆方程为标准方程，再求出椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标和离心率得解. 【详解】由椭圆方程化为标准方程可得， 所以 ， 所以长轴长为，焦距，焦点坐标为， 短轴长为，离心率. 故选：CD 10．CD 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、求点到直线的距离、由斜率判断两条直线平行 【分析】利用点线距离公式判断A，由直线方程得斜率判断B，取，则，从而判断C，计算得判断D，由此得解. 【详解】对于A：当时，直线为， 此时，，显然不满足题意，故A错误； 对于B：时，直线为，直线斜率为，故B错误； 对于C：时，直线为，取，则，故C正确； 对于D：时，直线为，，不过A点， 而，，所以直线与直线平行，故D正确； 故选：CD. 11．BD 【难度】0.4 【知识点】空间位置关系的向量证明、判断线面平行、锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量求解. 【详解】   以D为原点，DC为y轴，DA为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系如上图， 则有，设； 对于A，， 即H点不在线段BC上，错误； 对于B，平面平面，平面，平面与面ABCD、A'B'C'D'分别交于AH、GE， ，， ，即的最大值是1，正确； 过D点作平面的垂线，得垂足， 则有，即，由，解得…①； 又与共面，设，解得，， 将①式代入得…②， …③； 当F与C重合时，如下图：    此时，，， 梯形的高，梯形的面积， 四棱锥的体积，C正确； 由②③式可知，当时，最大，D错误； 故选：BD. 12． 【难度】0.94 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再借助抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设所求点的坐标为，依题意，，解得，而，则， 所以所求点的坐标为. 故答案为： 13．/1.5 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线的平行，利用系数关系列出等量关系求解即可． 【详解】当直线l1∥直线l2， 可得，解得，或， 当时，直线l1与直线l2重合，舍去， 故. 故答案为：. 14．2 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】首先确定与圆的位置关系，令且是内分比点，若为外分比点，由阿氏圆易知在以的中点为圆心的圆上，且最大值为圆的直径，讨论及数形结合判断的最大情况的最小值. 【详解】由题设，即在圆内， 令且，显然是内分比点，若为外分比点，    则，此时的中点为所在阿氏圆的圆心， 对于每一个确定的实数，最大值为，即重合时为对应圆直径， 根据圆的对称性，如上图，讨论的情况，而， 当为直径时，， 此时，可得， 故的最大值为； 当不为直径时，，且增减趋势相同， 由，得，显然接近于1时趋向无穷大， 此时的最大值为趋向无穷大. 综上，的最小值是2. 故答案为：2 15．(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】（1）根据，结合向量减法法则求解； （2）根据向量加法法则求解即可； （3）根据向量加法法求解即可. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 16．（1）答案见解析；（2）. 【难度】0.85 【知识点】利用椭圆定义求方程、由弦中点求弦方程或斜率、椭圆定义及辨析 【解析】（1）利用两点间的距离公式识别已知条件为M到定点的距离之和等于定值，结合椭圆的定义判定当时，M的轨迹为椭圆，并写出标准方程；当时，为线段,并写出方程；无轨迹. （2）根据椭圆的标准方程，利用点差法求得以为中点的直线的斜率，进而得到方程. 【详解】（1）当时，；当时，；当时无轨迹. （2）当时，轨迹的方程是：，设点则 作差得，除以得，代入中点坐标，则，直线的方程是. 【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，中点弦问题，识别已知条件，转化为动点到两定点的距离之和等于定值是关键，求解中点弦问题是，利用代点平方差方法求斜率是常用的方法. 17．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】（1）根据空间向量的运算法则运算即可； （2）根据空间向量的运算法则运算即可求解； 【详解】（1）根据空间向量的运算法则，可得 . （2）分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有 根据空间向量的运算法则，可得.    18．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）将P点带入椭圆方程，再根据椭圆中a、b、c的关系列式计算即可； （2）分类讨论的斜率存在与不存在两种情况，不存在根据对称性即可求出两点坐标，通过向量法即可证明是否垂直；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，运用韦达定理解出直线斜率，最后用弦长公式计算得出答案. 【详解】（1）由题可知，解得 则的方程为. （2）若的斜率不存在，根据对称性，不妨令，则，不符合条件. 若的斜率存在，设的方程为， 联立方程组整理得， 则. 因为，所以 ，解得， 则. 19．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、求点到直线的距离 【分析】（1）根据已知列出关于的方程组，结合解出椭圆方程. （2）（i）设出三点坐标根据重心坐标公式和已知条件列出方程得到的纵坐标为，从而解出横坐标，进而解出结果. （ii）讨论直线有无斜率两种情况，有斜率时设出直线的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点 到直线 的距离并化简，结合式子结构，综合两种情况解出结果. 【详解】（1）（1）由题意得整理得解得 所以椭圆得方程为. （2）（i）设,根据题意有. 因为原点是的重心，所以， 即，. 将，代入解得，所以. 所以到直线 的距离为. （ii）由（i）知当直线斜率不存在时到直线 的距离为. 当斜率存在时，设所在直线方程为，. 由得， 且，即. 所以. 因为原点是的重心，所以 所以，所以. 将点代入椭圆方程得并整理可得 所以点到直线的距离为 . 综上所述，当与轴垂直时点到直线的距离最大为 答案第14页，共15页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$