2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟卷（二）（人教版）

高二上学期期中考试模拟卷（二）（人教版） 1．双曲线的一条渐近线方程为，则的右焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 3．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知椭圆=1的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．如图所示，点F是椭圆的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，若，则椭圆M的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过作截面交于点，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 10．已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离 C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为 11．设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（    ） A．P可能为中点 B．的最小值为3 C．若，则的方程为 D．的面积最大值为 12．若在圆的直径上,则直线的方程是 . 13．直线和直线垂直，则实数 ． 14．已知圆、均与轴相切，且均与过原点的直线相切于点，则两圆的半径之和为 ． 15．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 16．当，时，把化简成圆的标准方程的形式． 17．当时，把化简成圆的标准方程的形式 18．已知是椭圆的右焦点，是上一点. (1)求的方程； (2)记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值. 19．已知曲线上的点满足. (1)化简曲线的方程； (2)已知点，点，过点的直线（斜率存在）与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，证明：三点在同一圆上. 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A B A B A BC BD 题号 11 答案 AD 1．C 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由渐近线方程得，然后求焦点坐标 【详解】双曲线的渐近线为，故，. 故选：C 2．C 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】直接根据向量的运算法则计算即可. 【详解】，则. 故选：C 3．C 【难度】0.85 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程 【解析】将代入抛物线方程，再利用焦半径公式可得，联立求解. 【详解】因为，根据抛物线定义，又，可得. 故选：C. 4．A 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程、判断命题的充分不必要条件 【分析】首先根据公式求两直线平行时的值，再判断充分，必要条件. 【详解】当时，，解得：， 验证：当时，，，两直线平行， 当，，，两直线平行， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可. 【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则， 因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，， 在中，，所以， 由，得，整理，得，又， 所以. 故选：B 6．A 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的对称性 【分析】作为椭圆M的左焦点，连接．设，则，，则，根据题意可得从而可求出离心率 【详解】如图，作为椭圆M的左焦点，连接．设， 则，，， 因为A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，， 所以 所以可得． 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的定义的应用和椭圆离心率的求法，解题的关键是根据题意作为椭圆M的左焦点，连接，从而可由已知可得，然后在两个直角三角形和中利用勾股定理列方程可求出离心率，考查转化思想和计算能力，属于中档题 7．B 【难度】0.4 【知识点】点到平面距离的向量求法、点到直线距离的向量求法、锥体体积的有关计算 【分析】取的中点，连接，由题意可得平面建立空间直角坐标系，利用空间向量中点到直线距离公式计算出到直线的距离最小时的具体坐标，再用空间向量的方法计算出点到直线的距离和点到平面的距离即可. 【详解】 取的中点，连接， 因为是等腰直角三角形且，所以，，， 因为平面平面平面平面平面 所以平面所以以为原点，分别以，，的方向为，，轴的 建立空间直角坐标系，则 所以，， 因为动点在棱上，所以设，则 所以，， ，，，， 所以点到直线的距离为， 所以当时，点到直线的最小距离为，此时点是的中点即． 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，所以， 因为点是的中点，所以点是的中点，所以， ，， ，，，， 所以点到直线的距离为， 所以梯形的面积为， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 则点到平面的距离， 所以四棱锥的体积为． 故选：B 【点睛】方法点睛：针对于立体几何中角度范围和距离范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，熟练各种距离、各种角度的计算方式． 8．A 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】由两点间距离公式可得 ，根据题中条件，得到，结合双曲线的定义，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，，， 因为 都在椭圆上， 所以，， 故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支， 又，，即，，所以， 因此的轨迹方程是（）. 故选：A. 【点晴】方法点睛： 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将代入. 9．BC 【难度】0.94 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】结合基本不等式求得，结合椭圆的定义分类讨论，即可求解. 【详解】由题意知，定点，，可得， 因为，可得， 当且仅当，即时等号成立． 当时，可得的，此时点的轨迹是线段； 当时，可得，此时点的轨迹是椭圆． 故选：BC． 10．BD 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据圆心到直线l得距离，可知直线l与圆C相离； ∵P、M均为动点，对|PM|先固定点P可得，再看不难发现， 即． 【详解】圆C：得圆心,半径 ∵圆心到直线l：得距离 ∴直线l与圆C相离 A不正确，B正确； C不正确，D正确； 故选：BD． 11．AD 【难度】0.4 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、已知圆的弦长求方程或参数、基本不等式求积的最大值、判断点与圆的位置关系 【分析】判断点P在圆的内部，当直线时，P为中点，且此时最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D. 【详解】圆，圆心，半径 对于A，，即点P在圆的内部，当直线时，P为中点，故A正确； 对于B，当直线时，最小，，， 则直线的方程为，圆心到直线的距离，，故B错误； 对于C，当直线斜率不存在时，即，此时，符合； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得， 则圆心到直线的距离，解得，即，所以满足题意的直线为或，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，所以的面积最大值为，故D正确. 故选：AD 12．x-y-1=0 【难度】0.94 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】由圆的方程可得圆心坐标，从而得直线的斜率，由点斜式即可得解. 【详解】设圆心为C,则C(1,0),由直线AB经过圆心C(1,0)及点，可得直线AB斜率为， 所以直线AB方程为 , 即. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了圆的标准的方程及由两点坐标求直线方程，属于基础题. 13．0或1/1或0 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据给定条件，利用两直线垂直关系直接列式计算作答. 【详解】因直线和直线垂直， 则有，即，解得或， 所以或. 故答案为：0或1 14． 【难度】0.4 【知识点】二倍角的正切公式、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】作出图形，设圆心在第一象限，设，可得出，求出的值，再求出的值，利用圆的几何性质结合三角函数可求出、的值，即可得出两圆的半径之和. 【详解】如下图所示： 设圆心在第一象限，设，则，可得， 所以，， 又因为，整理可得， 因为，解得， 设圆切轴于点，圆切轴于点， 由圆的几何性质可知，，又因为，， 所以，，则，同理可知，， 所以，， 因为，则， 因为，则，， 因此，两圆半径之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于作出图形，充分利用圆的几何性质，结合三角函数来求解. 15．(1) (2)15 【难度】0.94 【知识点】直线两点式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. （2）B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 16． 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将原式移项并整理得到，进而化为圆的标准式，注意参数k的范围. 【详解】由题设，则， 又，，则. 17．答案见解析 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用完全平方公式与配方法化简运算可得，再检验半径即可得解. 【详解】因为， 所以， 故， 则， 故， 因为，则， 所以， 故， 即， 因为， 所以， 所以化简成圆的标准方程的形式为. 18．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）将P点带入椭圆方程，再根据椭圆中a、b、c的关系列式计算即可； （2）分类讨论的斜率存在与不存在两种情况，不存在根据对称性即可求出两点坐标，通过向量法即可证明是否垂直；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，运用韦达定理解出直线斜率，最后用弦长公式计算得出答案. 【详解】（1）由题可知，解得 则的方程为. （2）若的斜率不存在，根据对称性，不妨令，则，不符合条件. 若的斜率存在，设的方程为， 联立方程组整理得， 则. 因为，所以 ，解得， 则. 19．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求平面轨迹方程、判断点与圆的位置关系、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据已知曲线方程，进行移项平方，化简的方法，即可得曲线的方程； （2）设直线的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，进而表示点的坐标，从而可得以为直径的圆的方程，并化简，求出该圆与x轴交点坐标，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知曲线上的点满足， 则， 故， 即，故， 即，即化简曲线的方程为； （2）证明：由题意知直线斜率存在，故设，联立， 得，    由于直线l过点，而点在椭圆内，故必有， 设，则， 直线AM的方程为，直线AN的方程为， 令，可得， 故以为直径的圆的方程为， 即， 而 ， 即以为直径的圆的方程为， 令，则， 即在以为直径的圆上，故三点在同一圆上. 【点睛】难点点睛：本题考查了曲线方程的化简以及直线和椭圆的位置关系的应用，解答的难点在于证明三点，解答的思路时利用设直线方程并联立椭圆方程，表示相关点坐标，进而求出以为直径的圆的方程，从而求得该圆与x轴的交点，从而证明结论. 答案第14页，共14页 答案第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$