17.3-勾股定理 专题讲义2024-2025学年冀教版数学八年级上册

勾股定理 1、 内容框架 二、知识梳理及题型梳理 知识点 题型/难度 知识点1、 勾股定理概念： （1）如果直角三角形的两直角边长分别为、，斜边长为，那么 ；这一定理在我国被称为勾股定理。 （2）常见勾股数：满足的三个正整数a，b，c，称为勾股数。如果a，b，c是一组勾股数，那么、、也是一组勾股数． （6、8、10）；（7、24、25）；（8、15、17）； （9、40、41）；（10、24、26）；（11、60、61）； （12、16、20）；（12、35、37）；（13、84、85）； （15、20、25）；（15、112、113）；（17、144、145）； （18、24、30）；（19、180、181）；（20、21、29）； （20、99、101）；（48、55、73） 题型3、勾股数探究（中） 知识点2、 （1）勾股定理求边长： 在中，，已知其中两边边长，求第三边边长。 ，，， （2）勾股定理求高 ， ， （3）勾股树： （4）特殊直角三角形： 常见直角三角形三边比：1：1：； 1：：2； 题型1、勾股定理求边长（中） 题型2、勾股定理作图计算（中） 题型4、直角三角形高与面积（中） 题型5、勾股树与面积（中） 题型6、特殊直角三角形（中） 知识点3、赵爽弦图（西方：毕达哥拉斯定理） 证法1：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等.  证法2：以斜边为边长的正方形的面积+4个三角形的面积=外正方形的面积.  证法3：3个三角形的面积之和=梯形的面积. 题型7、赵爽弦图 知识点4、勾股定理实际应用 在已知的直角三角形中，将未知的线段设为x，利用勾股定理求出未知线段。 题型8、翻折问题（高） 题型9、路径最短问题（高） 题型10、勾股定理实际应用（高） 知识点5、勾股定理逆定理 如果三角形中的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理． 题型11、逆定理判定直角三角形 （低） 题型12、逆定理综合计算（中） 题型13、代数式变形判定直角三角形（中） 知识点6、半角模型 已知：Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，∠DCE=45° 结论：BD+EC＞DE DE2 =AD2 +BE2 题型14、几何综合运用（高） 题型15、结合中点模型综合运用（高） 题型16、探究型问题（高） 题型1、勾股定理求边长（中） 【例题】 1、一个直角三角形的三边为三个连续自然数，则它的三边长分别为 ． 2、 已知直角三角形两边，的长满足，则第三边长为______________． 3、△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为． （1）若，求 （2）若求 【练习】 1、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能是 ． 3、若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为 A．3 B． C．3或 D．不确定 4、直角三角形两边长分别为3和4，那么该直角三角形第三边长为 ． 5、一个直角三角形的两条直角边分别是，则斜边为 ． 6、如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；在以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；…，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是　　． 题型2、勾股定理作图计算（中） 【例题】 1、 如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴上原点右边于一点，则这个点表示实数是_________ ． 2、如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明延图中所示的折线从A B C A所走的路程为 【练习】1、如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是 A．-1 B．-+1 C．+1 D． 2、如下图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是____________． 3、利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹： 第一步：（计算）尝试满足，使其中a，b都为正整数．你取的正整数a=____，b= ； 第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，，则斜边OF的长即为． 请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法） 第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤： ． 4．如图，矩形网格由小正方形构成，每一个小正方形的边长都为1，点A和点B是小正方形的顶点，则点A和点B之间的距离为 ． 4、如图建立了一个由小正方形组成的网格（每个小正方形的边长为1）． （1）在图1中，画出△ABC关于直线对称的△； （2）在图2中，点D，E为格点（小正方形的顶点），则线段DE= ；若点F也是格点且使得△DEF是等腰三角形，标出所有的点F． 图1 图2 5、如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C； （2）请直接写出四边形ABCD的周长． 6、根据题意作出图形，并回答相关问题： （1）现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形．（标上相应的序号） （2）在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90，D是BC边上的中点，E是AB边上一动点，在右图中作出点E，使EC+ED的值最小 （不写作法，保留作图痕迹） ， 此时EC+ED的值是________． 7、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（3，4），BA⊥x轴于A． （1）画出将△OAB绕原点O逆时针旋转90°后所得的的△OA1B1，并写出点B的对应点B1的坐标为 ； （2）在（1）的条件下，连接BB1，则线段BB1的长度为 ． 8、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AC的两个端点均在格点上． （1）如图，点P在格点上，在图中画出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ，QC，CP，PA，并直接写出四边形AQCP的周长； （2）判断∠QAP的度数，并写出求∠QAP度数的思路． 9、阅读下列材料： 小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答： （1）图1中△ABC的面积为 ； （2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1） ． ①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF； ②计算△DEF的面积为 ． （3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若，则六边形AQRDEF的面积为__________． 图1 图2 图3 题型3、勾股数探究（中） 【例题】 1、古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，，，．那么a,b,c为勾股数，请你根据柏拉图的发现，写出一组满足条件的勾股数________． 2、观察一下几组勾股数，并寻找规律： ① ② ③ ④…… （1）请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： （2）请你写出第m组勾股数： 【练习】 1、观察下面几组勾股数，并寻找规律： ① ② ③ ④ 请你根据规律写出第⑤组勾股数是： 题型4、直角三角形高与面积（中） 【例题】 1、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它的斜边上的高为 ． 2、如图，在正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（　　） A． B． C．4 D．3 3、若三角形的三边长分别为则此三角形的面积为 A． B． C． D． 【练习】 1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=3，BC=4，则CD=__________． 2、如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积． 3、直角三角形两直角边的长度分别为6和8，则斜边上的高为 A．10 B．5 C．9．6 D．4．8 4、如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为_______． 5、直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为 A．cm B．13cm C．cm D．cm 6、如果直角三角形两直角边为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为 A．60∶13 B．5∶12 C．12∶13 D．60∶169 7、△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的长为 A．25 B．7 C．25或7 D．14或4 8、如图，在正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（　　） A． B． C．4 D．3 题型5、勾股树与面积（中） 【例题】 1、 在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 2、如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，，则 ． 【练习】 1、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 2、如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为 A、 B、 C、 D、无法计算 题型6、特殊直角三角形（中） 【例题】 1、如图， 已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证： 2、 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A．90°　　　 B．60°　　　 C．45°　　　 D．30° 　　 【练习】 1、已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，△ABD是等边三角形，求CD的长度． 2、如图，把两块相同的含角的三角尺如图放置，若cm，则三角尺的最长边长为__________． 3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需　　米． 4、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=．求CD、AC的长． 5、如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=45，∠ADC=120 ，AD=DC，AB=，求BC的长． 6、如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从地到地须经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走多少千米？（结果精确到）（参考数据：） 题型7、赵爽弦图（高） 【例题】 1、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=144，则S2的值是（ ） A．48 B．36 C．24 D．25 【练习】 1、我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且尝试对勾股定理做出证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图，就是著名的“赵爽弦图”．△ABE，△BCF，△CDG和△DAH是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．已知AB=5，AH＝3，求EF的长．小敏的思路是设EF=x，根据题意，小敏所列的方程是_________________． 2、如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 A．76 B．72 C．68 D．52 3．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是　　． 4、中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为 ；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为 （用含n的式子表示，n为正整数）． 5、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证： 证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a． ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab． 又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a） ∴b2+ab=c2+a（b﹣a） ∴ 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证： 题型8、翻折问题（高） 【例题】 1、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为 A．3 B．4 C．5 D．6 2、如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长是 A．3 B．4 C．5 D．6 3、把一张矩形纸片ABCD按如右图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若∠DEF=60°，FC=2，则BF的长为 ． 【练习】 1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边 与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为 ． 2、已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=4，AB=3，则线段CE的长度是 A． B． C．3 D．2．8 3、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5 cm，BC=10 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( ) A． cm B． cm C． cm D． cm 4、如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且⊿ABF的面积为24，则EC的长为 ． 6 5、已知，如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm， BC=10cm．（1）求FC的长；（2）求EC的长． 6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为__________. 7、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB =4cm，BC=8cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2． A．5 B．7．5 C．10 D．15 10 8、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为____________． 9、如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为__________. 10、如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C’，BC’与AD交于点E，若AB=3，BC＝4，则DE的长为 ． 11、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为 A．3 B．3．5 C．2．5 D．2．8 12、如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN的长． 题型9、路径最短问题（高） 【例题】 1、如图一个圆柱，底面圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，最少要爬行 c 2、一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？ 3、 如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值． 4、如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD, ED⊥BD,连接AC、EC．已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=． （1）用含的代数式表示的长； （2）请问点满足什么条件时, 的值最小? （3）根据（2）中的规律和结论, 请构图求出代数式的最小值． 【练习】 1、如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是(　　) A．6 cm B．12 cm C．13 cm D．16 cm 2、如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01 m)． 3、如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__________cm. 4、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为10cm，母线长为10cm．在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离________cm． 5、已知：如图，为上一动点，分别过点、作于点，于点，联结、． （1）请问：点满足什么条件时，的值最小？ （2）若，，，设．用含的代数式表示的长（直接写出结果）． 拓展应用： 参考上述问题解决的方法，请构造图形， 并求出代数式的最小值． 6、如图，在△ABC中，AB=AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC.点D与点M在AC所在直线的两侧，AD⊥AB，AD= BC，点E在AC边上，CE=AM，连接MD、BE. (1) 补全图形； (2) 请判断MD与BE的数量关系，并进行证明； (3) 点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB =5，BC= 6，求出BM+BE的最小值. 7、A、B是数轴上两点,点A对应的数是-2，点B对应的数是2. △ABC是等边三角形，D是AB中点. 点M在AC边上，且AM=3CM. （1）求CD长. （2）点P是CD上的动点，确定点P使得PM+PA的值最小，并求出PM+PA的最小值. （3）过点M的直线与数轴交于点Q，且QM.点Q对应的数是t,结合图形直接写出t的取值范围. 题型10、勾股定理实际应用（高） 【例题】 1、由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前的高度是 A．18m B．16m C．10m D．8m ↑ ↓ ← → 2、印度数学家什迦罗（1141年－1225年）曾提出过“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？如图所示：荷花茎与湖面的交点为O，点O距荷花的底端A的距离为0．5尺；被强风吹一边后，荷花底端与湖面交于点B，点B到点O的距离为2尺，则湖水深度OC的长是 尺． 【练习】 1、如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为 m． 2、一旗杆从离地面、两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高度是 A． B． C． D． 3、如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了　　　　　. 4、《九章算术》中芦苇问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”译文：“有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边，它的顶端恰好到达池边的水面。水池的深度为 这根芦苇的长度为 ． 5、小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是 A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 6、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？” 译文：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）设长方形门的宽x尺，可列方程为 ． 7、我国传统数学重要著作《九章算术》内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？” 译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺） 答：原处的竹子还有 尺高． 8、如图所示，缉毒警方在基地处获知有贩毒分子分别在岛和岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东方向以每小时海里的速度前进，乙艇沿南偏东方向以每小时海里的速度前进，半小时后甲到岛，乙到岛，则岛与岛之间的距离是多少？（结果保留根号） 题型11、逆定理判定直角三角形（低） 【例题】 1、下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是 A． B． C． D． 2、由下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【练习】1、下列各组数中，以、、为边长的三角形不是直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2、五根小木棒，其长度分别为现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 3、下列各组数据中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．9，12，15 B．10，24，26 C．4，5，6 D．1，，2 4、 中、、的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是 A．若，则是直角三角形 B．若,则是直角三角形，且∠C=90° C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 5、正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 题型12、逆定理综合计算（中） 【例题】 1、如图，已知四边形中，求四边形的面积． 2．一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m．求这块试验田的面积． 【练习】1、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90º，AB=BC=2，AD＝1，CD＝3． 求∠DAB的度数． 2、在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时海里的速度前进，小时后，甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗? 题型13、代数式变形判定直角三角形（中） 【例题】 1、三角形的三边长分别为a、b、c，且满足等式：，则此三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C． 钝角三角形 D．等腰三角形 2、已知△ABC的三边长分别为a，b，c且a，b，c满足，试判断△ABC的形状． 【练习】1、若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a2+2ab=c2+2bc，则△ABC是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2、若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a2+2ab=c2+2bc，则△ABC是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3、对于任意两个正整数m、n（m＞n），下列各组三个数为勾股数的一组是 A． B． C． D． 4、在ABC中，∠A、∠B、∠C的对边的分别用a、b、c来表示，且其满足关系： ，试判断的形状． 5、已知中，三条边满足，试判定的形状，并说明你的理由． 6、若的边长a、b、c，满足，试判断的形状． 题型14、几何综合运用（高） 半角模型 【例题】1、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：线段AE,BF,EF之间的数量关系. 其他 【练习】 1、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：． 2、如图，已知，MN是AD的垂直平分线，点C在MN上，∠MCA=20°，∠ACB=90°，CA=CB=5， BD交MN于点E，交AC于点F，连接AE． （1）求∠CBE，∠CAE的度数； （2）求AE2+BE2的值． 3、已知：点D是AC延长线上一点，且，M是线时针旋转得到线段BQ，连接AQ． （1）依题意补全图形； （2）求证： （3）点N是射线AC上一点，且点N是点M关于点D的对称点，连接BN，如果 求线段AB的长． 4、如图，△ABC中，，AB=AC，P是线段BC上一点,且.作点B关于直线AP的对称点D, 连结BD，CD，AD. （1）补全图形. （2）设∠BAP的大小为α.求∠ADC的大小(用含α的代数式表示). （3）延长CD与AP交于点E,直接用等式表示线段BD与DE之间的数量关系. 5、如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B 作BD⊥AC于点D，延长BD至E使BE=AB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F． （1）补全图形； （2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明． 6、在正方形ABCD中，连接BD． （1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数． （2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB'E'，AB'与BD交于M，AE'的延长线与BD交于N． ① 依题意补全图1； ② 用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明． （3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程） 图1 图2 题型15、结合中点模型综合运用（高） 【例题】 直角三角形斜边1、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，求CH的长． 倍长中线2、如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF=3，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，连结DF，求DF的长． 中位线3、如图，在长方形ABCD中，AC是对角线，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°到长方形GBEF位置，H是EG的中点，若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（ ） A． B． C． D． 【练习】 1、有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm． ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD = _________ cm． A C B D 图1 图2 ②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 题型16、探究型问题（高） 【例题】 1、若、、是直角三角形的三条边长，斜边上的高的长是，给出下列结论： ①以的长为边的三条线段能组成一个三角形 ②以的长为边的三条线段能组成一个三角形 ③以的长为边的三条线段能组成直角三角形 ④的长为边的三条线段能组成直角三角形 其中所有正确结论的序号为 ． 2、如图，ABC中，∠C＝90°． (1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系； (2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系． 图① 图② 图③ 【练习】1、如图，在中，，点，分别在轴、轴上，当点在轴运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是________ 2、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'位置，AB'与CD交于点E． (1)求证：△AED≌△CEB'； (2) AB＝8，DE＝3，点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H．求PG＋PH的值，并说明理由． 3、在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． （1）当三边分别为时，为三角形；当三边分别为时，为三角形． （2）猜想，当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形． （3）判断当时，的形状，并求出对应的的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$