圆的证明与计算重难点突破 2024-2025学年人教版九年级数学上册

突破19 圆的证明与计算(一) 垂径图 类型一 知垂径 1.(2024洪山)如图,在⊙O中,A,B,C,D 是⊙O 上的点,( 垂足为M. (1)求证: (2)若 求⊙O 的半径. 类型二 构垂径 2.(2024原创题)如图,在 中， ,以 AB 为直径的⊙O 交BC 于点 D,E 是BD 上的点, ,延长AE 交⊙O 于点F,连接AD,BF. (1)求证:D 是 的中点； (2)若 求⊙O 的半径. 类型三 单切+垂径 3.(2023外校)如图,在⊙O 中,弦 BC⊥半径OA 于点D,F 是CD 上一点,AF 的延长线交⊙O于点E，P为BC 延长线上一点，且 (1)求证:PE 是⊙O 的切线; (2)若 ,求 PE 的长. 类型四 双切+垂径 4.(2023硚口)如图,AB 为⊙O 的一条弦,PB 切⊙O于点B, 直线 PO 交AB 于点E,交⊙O 于点C. (1)求证:PA 是⊙O 的切线; (2)若 CD 交直线AB 于点 D,交⊙O 于另一点 F. ①求证： ②若 ,求⊙O 的半径. 突破20 圆的证明与计算(二) 折弦图 类型一 截等线段 1.(2023武汉四调)如图,AB 是半圆O的直径,C 是 的中点，过点 C 作弦 BD 的垂线，垂足为 E. (1)求证:CE=DE; (2)若AD=DE=1,求AB 的长. 2.(2024汉阳期末)古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点.如图1，弦AB，BC 是⊙O 的一条折弦(BC>AB),D 是 的中点,过点 D 作DE⊥BC于点E,则CE=AB+BE.根据这个定理解决问题： 如图2，边长为 的等边△MNQ 内接于⊙R,P 为优弧MQN 上的一点.∠PMN=15°,则△PMN 的周长是 . 类型二 连弧的中点与圆心 3.(2024江岸)如图,AB 是⊙O 的直径,D 为AB 下方⊙O上一点,C 为ABD 的中点,连接AC,CD,BD. (1)∠ACD 与∠BDC 的数量关系为 ,请证明你的结论; (2)CE⊥AB 于点E,若BE=3,BD=4,求⊙O 的半径. 4.(2023七一华源)如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C,E 在⊙O 上,且 C 是优弧. 的中点，过点C 作 于点D. (1)求证: (2)连接BE,若 求 BD 的长. 类型三 连弧的中点与折点 5.(2024外校)如图,⊙O 是 的外接圆，E是 的中点,连接AE,BE,. 交CA的延长线于点F. (1)求证:AE平分 (2)若 ,求⊙O 的半径. 突破21 圆的证明与计算(三) 垂弦图 类型一 构直径 1.如图,⊙O 的两条弦AC 与BD 互相垂直, 于点E. (1)求证: (2)设⊙O 的半径为R,求证: 类型二 构垂径 2.(2024青山)在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”. (1)如图1,AB 是⊙O 的弦,作 分别交⊙O 于点C,D,连接 CD 交AB 于点E.求证:AB,CD 是⊙O 的等垂弦; (2)如图2,⊙O 的半径为5,AB,CD 是⊙O 的等垂弦,AB 与 CD 交于点 E, 求 AB的长. 突破22 圆的证明与计算(四) 角分图 类型一 平分直角 1.(2024汉阳期末)如图, 是⊙O 的内接三角形,点 E 在弦AD 上,BE 平分 且 (1)求证:AD 平分 (2)若 BC 为直径,且 求AD 的长. 2.(2024烟台中考)如图,AB 是⊙O 的直径, 内接于⊙O，点I为 的内心，连接CI并延长,交⊙O 于点D,连接AD,BD. (1)找出图中所有与 DI 相等的线段，并证明； (2)若 求 的周长. 类型二 平分 3.(2024洪山)如图,等边 内接于⊙O，D为圆周上一点. (1)求证:BD 平分 (2)若 求 BD 的长. 类型三 平分锐角 4.(2022武汉中考)如图,以 AB 为直径的⊙O 经过 的顶点C,AE,BE 分别平分 和 ,AE 的延长线交⊙O 于点 D,连接 BD. (1)判断 的形状，并证明你的结论； (2)若 求 BC 的长. 突破23 圆的证明与计算(五) 等腰图 类型一 圆心在腰上 1.(2023光谷实验)如图,在 中， ,以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC,AC 边于点D,F.过点 D 作 于点E. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若 ,求⊙O 的半径. 类型二 圆心在对称轴上 2.(2024武汉六中)如图,⊙O 是 的外接圆， AD 为⊙O 的直径, 于点F,交 AD 于点E,交⊙O 于点G,连接 DG. (1)求证: (2)若 求⊙O 的半径. 突破24 圆的证明与计算(六) 切割图 类型一 割线不过圆心 1.(2024武钢实验)如图,点 C 在以AB 为直径的⊙O 上. AD 与过点C 的切线垂直,垂足为 D,AD 交⊙O 于点 E,过点 B 作. 交⊙O 于点 F,连接CF. (1)求证: (2)已知 求 CD 和CF 的长. 类型二 割线经过圆心 2.(武昌七校联考)如图，在 中， 点O在BC 上,⊙O 过点A和点B. (1)求证:CA 是⊙O 的切线; (2)点 D 是⊙O 上一点, 求CD 的长. 突破25 圆的证明与计算(七) 径切图 类型一 直径+单切 1.(2024南充中考)如图,在⊙O 中,AB 是直径,AE 是弦,F 是 上的一点， AE,BF交于点C，D为BF 延长线上的一点，且. (1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)若 求⊙O 的半径长. 类型二 直径+双切 2.(2024湖北模拟)如图,在 中， ,以AB 为直径作⊙O,D 为⊙O上一点,且 连接 DO 并延长交CB 的延长线于点E. (1)求证:直线 CD 与⊙O 相切; (2)若 求AC 的长. 突破26 圆的证明与计算(八) 双切图 类型一 双切+垂切 1.(2023硚口)如图,点 O 在 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C. (1)求证:PB 是⊙O 的切线: (2)OP 与⊙O 相交于点D,直线 CD 交PB 于点E,若 求⊙O 的半径. 类型二 双切+直径 2.(2024汉阳三初)如图,AB 是⊙O 的直径, (1)求证:AT 是⊙O 的切线; (2)TC 与⊙O 相切于点C,TB 交⊙O 于点D,连接CD.若 求CD 的长. 类型三 双切+垂径 3.(2024武昌)如图,AB,AD 是⊙O 的弦,AO平分 .过点 B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C,连接CD.延长BO交⊙O于点E,交AD 于点F,连接AE,DE. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若 求AF 的长. 类型四 双切+平行 4.(2023经开外校)如图,BD 是⊙O 的直径,直线AC 切⊙O于点C, 于点F,连接CD,AO,AB,且 (1)求证:AB 是⊙O 的切线; (2)若 求 DF 的长. 突破27 圆的证明与计算(九) 多切图 类型一 三角形的内切圆 1.(2024滨州中考)刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，在 中，∠C=90°,AB,BC,CA 的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b 的式子表示出△ABC 的内切圆直径d，下列表达式错误的是( ) A. d=a+b-c 类型二 等腰三角形内切圆 2.(2023二调模拟)如图，在等腰 中， BA 平分 交EF 于点A，O为线段AB 上一点,以 AO 为半径的⊙O 与BE 相切于点C. (1)求证:BF 与⊙O 相切; (2)若⊙O 交AB 于点D, 求 AC 的长. 类型三 补形得三角形内切圆 3.在四边形ABCD 中, ⊙O 分别与AB,BC,CD 相切于点A,E,D. (1)如图1,若 求证： (2)如图2,若⊙O 的半径为2, 求AD 的长. 类型四 四边形内切圆 4.如图，⊙O 与四边形ABCD 的各边都相切.已知四边形的面积为S， ⊙O 的半径为r. (1)求r 的值(用相关的字母表示)； (2)若 则 (直接写出结果). 类型五 梯形的内切圆 5.(2024江岸)如图,⊙O 为四边形ABCD 的内切圆, ,求⊙O 的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $$