精品解析： 上海外国语大学闵行外国语初级中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024学年第一学期九年级数学期中考试试卷 （时间：90分钟 满分：150分） 考生注意： 1．答题时，请考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 下列函数中， 属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如（，其中、为常数）的函数是二次函数”是解题的关键． 【详解】解：A、当时，原函数化为：，则不是二次函数，故不符合题意； B、，是一次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、，，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 2. 在 Rt 中， ， 那么 的三角比值为 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的区别． 3. 如图，，若，则下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．已知，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得，故B不符合题意； C、根据已知条件得不出，故C符合题意； D、由，得，故D不符合题意． 故选：C． 4. 已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（　　） A. ， B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由，，可得，则与的方向相同或相反；由可知，与的方向相同或相反；由，可得，则与的方向相反，由，，可得，则与的方向相同，即可得出答案． 【详解】解：对于选项，由，，可得， 与的方向相同或相反， 故选项不符合题意； 对于选项，与的方向相同或相反， 故选项不符合题意； 对于选项，由，可得， 与的方向相反， 故选项不符合题意； 对于选项，由，，可得， 与的方向相同， 故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键． 5. 如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　） A. 2sinα B. 2cosα C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α， 过A作AE⊥BC于E，则AE＝1， 设BE＝x， ∵∠ABE＝α， ∴AB＝， ∴BC＝AB＝， ∴重叠部分的面积是：×1＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键． 6. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④方程的两根为．其中所有正确结论个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点，对称轴，判断①；由抛物线的对称性及经过点可判断②④；由对称轴为，得出，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为 ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，②错误； ∴方程的两根为，④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即，故③正确； 综上，①③④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 已知，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】设的公比为k，则，，代入求解即可得到答案； 【详解】解：设的公比为k，则，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是设出公比表示出x，y． 8. 计算：__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为． 【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键． 9. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离是______千米． 【答案】60 【解析】 【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为：. 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 10. 计算：_________________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案； 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值． 11. 已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是” ，理解黄金分割点的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义列可得答案． 【详解】点是线段的黄金分割点，且， ， ， ， 故答案为：． 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若此抛物线与轴的一个交点为，则抛物线与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出点(6,0)关于x=2的对称点即可. 【详解】解: (6,0)关于 x=2的对称点是(-2,0). 故答案是(-2,0). 【点睛】本题考查了二次函数的性质,理解二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称是关键. 13. 小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案． 【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100 ∴依题意，有 由①得 将③代入②，解得 故答案为：． 【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键． 14. 若一个圆的内接多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是______． 【答案】八##8 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据圆内接正多边形的中心角为求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵圆内接正多边形的中心角是， ∴这个正多边形的边数为， ∴这个正多边形是正八边形， 故答案为：八． 15. 已知的两直角边之比为3：4，若与相似，且最长的边长为20，则的周长为______． 【答案】48 【解析】 【分析】由直角三角形确定其三边长的比，然后根据相似三角形的性质可求得的三边比，再结合条件可分别求得的三边长，即可得出结果． 【详解】解：∵，的两直角边之比为， ∴由勾股定理可得：的三边之比为， ∴的三边之比为， 又∵的最大边长为20， ∴的另外两边分别为，， ∴的周长为， 故答案为：48． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理等，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题关键． 16. 若抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则称为“抛物三角形”，特别地，当时，称为“正抛物三角形”；当时，称为倒抛物三角形，那么，当为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件____． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键．根据m、n关于y轴对称，则，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， 点，，关于y轴对称． ． ， ，即抛物线与y轴的负半轴相交． ∵抛物线与x轴交于点，， ∴函数开口向上． ． 故答案是：，． 17. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，理解题意，在表格中作出相似三角形是解题关键．根据与相似且面积最大，即得出中边对应的边最长，且保证的每个顶点都在格点即可，据此画出图形，即可求解． 【详解】解：∵与相似且面积最大， ∴中边对应的边最长，且保证的每个顶点都在格点即可． 如图，在格点上取，，， ∴此时面积最大，且，即与相似比的值是． 故答案为：． 18. 如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵平分交于点， ∴, ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∴, 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵，，则， ∴ ∴，， ∵ 设，，则，则， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 即 解得： ∴， 则 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、简答题（本大题共7题，满分78分）： 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先将各角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 20. 如图，在梯形中，，且，过点作，分别交于点，若． （1）用表示和； （2）求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】（1）， （2） 解：如图所示，过点作交于点，交于点， 在、方向上的分向量如图所示，、即为所求； 【解析】 【分析】（1）利用向量的表示方法， 由即可求出，利用平行线分线段成比例，求出，即可求出； （2）过点作交于点，交于点，则、即为所求． 【小问1详解】 解： 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性计算解题的关键． 21. 已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： （1）线段的长； （2）的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质等知识点． （1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出∠C的正切值即求出了的值． 【小问1详解】 解：∵是边上的高，和是， 在中， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 22. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 23. 如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵，（公共角）， ， ∴， （2）证明：，， ， ， ， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质： （1）利用两个角相等证明，得，即可证明结论； （2）首先证明，得，，再证明，得，等量代换即可． 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标； （3）为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）由点、点的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式． （2）由抛物线解析式可求出顶点的坐标，进而求出和的面积，由面积可推出的边上的高，求出到距离等于的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点的坐标． （3）若是等腰三角形，通过作图画两圆一线来确定点的位置，再根据半径的长度及勾股定理求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点，点代入抛物线解析式，由对称轴， 得 解得， 抛物线解析式为：． 【小问2详解】 将代入抛物线解析式得：， 顶点 ， ， 设直线解析式为：， 将点，点代入， 得 解得， 直线的解析式为： 如图，设直线与对称轴的交点为，将代入 点， ， ， 设中边上的高为，则， 如图，设在直线下方的轴上有一点到的距离为，且， ，， 是等腰直角三角形 ， 点在过点与直线平行的直线上， 即将直线向下平移个单位长度即可得到直线， 直线的解析式为： 联立， 解得：或 点的坐标为，． 【小问3详解】 点与点关于对称轴对称，点， 点， ①如图，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形． 由图知：点位于点上方时，、、三点共线，所以此点舍去； 点位于点下方时，点与点重合，此时点的坐标为． ②如图，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时， 为等腰三角形． 在中，，， 此时点的坐标为或． ③如图，作线段的垂直平分线，与交于点，与轴交于点，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形． 连接， 为线段的垂直平分线， ，点为中点， ，，由中点坐标公式得点 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 点 设直线的解析式为：， 将，代入解析式， 得， 解得， 直线解析式为： 将代入直线解析式得：， 此时点． 综上所述：点Ｍ的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画“两圆一线”构造等腰三角形是解题的关键． 25. 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线． （1）求证：＝； （2）如图，过点C作射线，与AD交于点M，与边AB交于点E，又知BD＝9，CD＝6 ①如果＝，求CE的长； ②设＝x，＝y，求y关于x的函数关系式． 【答案】 （1）如图，过作 交的延长线于 平分 则 （2）①10；② 【解析】 【分析】（1）如图，过作 交的延长线于证明 从而可得结论； （2）①如图，过作交的延长线于 同理可得： 设 则 证明 可得 则 再证明 从而可得答案；②过作 交于则而 证明 则 再证明 从而可得答案. 【详解】证明：（1）略 （2）①如图，过作交的延长线于 同理可得： 设 则 则 经检验：符合题意， ②过作 交于 则而 则 由（1）得： 即： 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定，比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，熟练应用已推导出来的结论解题是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级数学期中考试试卷 （时间：90分钟 满分：150分） 考生注意： 1．答题时，请考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 下列函数中， 属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在 Rt 中， ， 那么 的三角比值为 的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，则下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（　　） A. ， B. C. D. ， 5. 如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　） A. 2sinα B. 2cosα C. D. 6. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④方程的两根为．其中所有正确结论个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 已知，则________________． 8. 计算：__________________． 9. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离是______千米． 10. 计算：_________________ 11. 已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为__________． 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若此抛物线与轴的一个交点为，则抛物线与轴的另一个交点坐标是________． 13. 小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为________米． 14. 若一个圆的内接多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是______． 15. 已知的两直角边之比为3：4，若与相似，且最长的边长为20，则的周长为______． 16. 若抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则称为“抛物三角形”，特别地，当时，称为“正抛物三角形”；当时，称为倒抛物三角形，那么，当为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件____． 17. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是______． 18. 如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则__________． 三、简答题（本大题共7题，满分78分）： 19. 计算：． 20. 如图，在梯形中，，且，过点作，分别交于点，若． （1）用表示和； （2）求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 21. 已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： （1）线段的长； （2）的值． 22. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 23. 如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，． （1）求证：； （2）求证：． 24. 如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标； （3）为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线． （1）求证：＝； （2）如图，过点C作射线，与AD交于点M，与边AB交于点E，又知BD＝9，CD＝6 ①如果＝，求CE的长； ②设＝x，＝y，求y关于x的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $