3.1.2椭圆的简单几何性质(一)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质（一） 复习： 1.椭圆的定义: 3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2 2.椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时， 当焦点在y轴上时， . 解析几何研究的问题： 范围 对称性 顶点 离心率 曲线定义 曲线方程 几何性质 知识点一：椭圆的范围 如何利用方程研究椭圆的范围？ x、y的取值范围 ⇒ ⇒ -a≤x≤a ⇒ ⇒ -b≤y≤b O y F1 F2 x 知识点二：椭圆的对称性 如何利用方程研究椭圆的对称性？ -x、-y是否满足方程 (1)把x换成-x方程不变 图象关于y轴对称； 图象关于x轴对称； 图象关于原点对称. (3)把x换成-x，同时把y换成-y方程不变 (2)把y换成-y方程不变 ⇒ ⇒ ⇒ y x O P（x，y） P1（-x，y） P2（-x，-y） 坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，叫椭圆的中心。 知识点三：椭圆的顶点（截距） 如何利用方程研究椭圆的顶点？ 令x=0，y=0 令 x=0，得 y=±b； 令 y=0，得 x=±a. O y B2 B1 A1 A2 F1 F2 x (0,b) (a，0) (0,-b) (-a，0) 长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别 叫做椭圆的长轴和短轴. a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长. 知识点四：椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量) 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：. [1]离心率的取值范围： 0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响： (1)e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁. (2)e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆. [3]e与a,b的关系: 思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？ 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关系 |x|≤ a,|y|≤ b 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b a2=b2+c2 |x|≤ b,|y|≤ a (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质 解： 例：求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 方程化为 于是a＝5，b＝4，c＝=3， ∴椭圆的长轴长2a＝10,短轴长2b＝8， 离心率e＝＝，又知焦点在x轴上， ∴焦点是F1(－，0)和F2(，0)， 顶点是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)． 练：求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：将椭圆方程变形为 ∴a＝3，b＝2，∴c＝. ∴椭圆的长轴长2a＝6，焦距2c＝2， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， B1(0，－2)，B2(0，2)，离心率e＝. 题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程 例：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线 互相垂直，且焦距为6. 解：由已知得2a＝10，∴a＝5.∵e＝ ＝ ，∴c＝4. ∴椭圆的标准方程为 ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 或. (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线 互相垂直，且焦距为6. x A1 A2 F O y c b a 解：由已知c＝b＝3， ∴a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为. 等腰直角 三角形 练1：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。 分类讨论的数学思想 练2：求满足下列各条件的椭圆的标准方程． 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为. 解：由已知：a=2c，a-c= 解得：a=2，c= ∴b2=a2-c2=9 ∴椭圆的方程为 或. x O y a-c a 归纳小结 1.椭圆基本量的求法 ①化为标准形式； ②判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上； ③利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 2.利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法， 注意：a、b、c、e的内在联系以及对方程两种形式的讨论． 3.求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外， 还要注意e＝的代换，通过方程思想求离心率． $$