3.1.2 椭圆的简单几何性质(二) 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与圆的位置关系有相切、相离、相交． 判断直线与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系， 当d＝r时，直线与圆相切； 当d>r时，直线与圆相离； 当d<r时，直线与圆相交． (2)代数法：由方程联立消去y得到关于x的方程． 当Δ＝0时，直线与圆相切． 当Δ>0时，直线与圆相交． 当Δ<0时，直线与圆相离． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ . 焦点 焦距 |F1F2|＝ . 对称性 对称轴： ，对称中心： . 离心率 e＝ . (±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0) -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a 2b 2a (±c,0) (0，±c) 坐标轴 坐标原点 2c 3.1.2椭圆的简单几何性质（二） 例5 如图示, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分, 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分 . 已知BC⊥F1F2 , |F1B|=2.8 cm, |F1F2|=4.5 cm. 试建 立适当的平面直角坐标系, 求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm). 解: 建立如图所示的平面直角坐标系, 设所求椭圆方程为 在中, 由椭圆的性质知， 所以， 所以，所求的椭圆方程为： (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题. (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. (3)用解得的结果说明原来的实际问题. 归纳小结:解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) 例6 动点M(x, y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线l :的距离的比是常数求动点M的轨迹. O x y M H F l • d 解： 右焦点 椭圆的第二定义 P117 椭圆第二定义 平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=的点的轨迹。 知识点一：点与椭圆、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 回顾：直线与圆的位置关系有几种？如何判断？ 三种位置关系 相离、相切、相交 判断 几何法 代数法(Δ) 思考：直线与椭圆的位置关系有几种？ 如何判断？ x O y 方程组解的个数 种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(两个交点) 直线与椭圆的位置关系的判定 (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？ 例7：已知直线l： ，椭圆C： 1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： O x y F2 l • F1 • 解： 练习：已知椭圆，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点，它到l的距离最小？ x O y 由 4x-5y＋k＝0， 9x2＋25y2＝225， 得25x2＋8kx＋k2-225＝0， 解：设与l平行的直线m：4x-5y+k=0 与椭圆相切， 令Δ＝64k2－4×25(k2-225)=0， 解得：k=25或k=-25， 显然当k=25时，m与l的距离最小， 最小为. 思考：最大的距离是多少？ O x y F2 • F1 • P B A 1、椭圆上点到焦点的最短距离是,最长距离是 2、椭圆上点到中心的最短距离是b,最长距离是a 3、过椭圆中心的所有弦长中，最短弦长为，最长弦长为。 4、若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大 O x y F2 • F1 • B A 过焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径。 椭圆的通径 椭圆的通径长为 因此，在椭圆的过焦点的弦中，通径最短。 知识点二：椭圆的通径 知识点三：椭圆的焦半径 O x y F2 • F1 • P B A ①焦半径范围: ②焦半径公式: 消y 知识点四：弦长问题 x O y x O y 回顾：如何求圆的弦长？ 思考:如何求椭圆的弦长？ A(x1, y1) B(x2, y2) y=kx+m y=kx+m， b2x2+a2y2-a2b2=0， 几何性质 解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用韦达定理设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2， 进而求解． 方法归纳 例1： 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y＝x＋2所得线段AB的长为. (1)求椭圆方程； (2)求△OAB的面积． 解：(1)由题意得a=2b，设椭圆方程为(b>0)， 由 y=x+2， x2+4y2-4b2=0， 得5x2+16x+16-4b2=0， x O y 由韦达定理. 设A(x1, y1), B(x2, y2)， 例2： ∴|AB|= = = =， 解得b2=4，∴b=2，a=4， (2)点O到直线的距离为, ∴S△AOB= ∴椭圆方程为. 知识点五：中点弦问题 回顾：圆中的弦的中点满足什么性质？ x O y 思考：椭圆中的弦的中点满足此性质吗？ A(x1, y1) B(x2, y2) y=kx+m x O y = = y=kx+m b2x2+a2y2-a2b2=0 点在椭圆内 例1：已知椭圆，过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程． 依题意得：直线的斜率存在，设为k 则所求直线的方程为y－1＝k(x－2)， 代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0, (*) 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1、x2是(*)方程的两个根， 解： 想一想为什么？ 无需求解Δ ∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0. ∴＝＝2. 解得k＝－， 设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)， 则另一交点为B(4－x，2－y)． ∵A、B在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，① (4－x)2＋4(2－y)2＝16，② ①－②得：x＋2y－4＝0上， 而过A、B的直线只有一条， ∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 另解： 对称性 例1：已知椭圆，过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程． O x y F2 l • F1 • P • B A 中点弦问题（点差法） 3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的方程。 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法： 弦长公式：|AB|= = （适用于任何曲线） 课 堂 小 结 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 相交 $$