3.1.1 椭圆及其标准方程（一）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

§3.1.1　椭圆及其标准方程（一） 复习检测： 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条件？ 问题一：椭圆的画法 数学实验 (1)取一条细绳，绳长2a (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（ ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注意： [3]常数要大于焦距 [2]动点 M 与两个定点F1和F2的距离的和是常数 椭圆的定义 [1]平面内----这是大前提 平面内 大于|F1F2 | F2 M 问题二:为何‘固定值’要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？ 椭圆 线段F1F2 不存在 例1：用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹. (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹. (3)到F1(-2,0)、F2(0，2)的距离之和为3的点的轨迹. 是 不是 是 问题1：根据椭圆的形状，如何建立直角坐标系？ 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁” O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 椭圆方程的推导 解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . x F1 F2 M 0 y 由椭圆的定义得: 根据两点间距离公式 建系 设点 列式 问题2：如何求椭圆的方程呢？ 两边除以 得 两边再平方，得 整理得 移项 平方 整理得 化简 P P P x y O a b c 观察椭圆，你能从图中找出代表的线段吗？ 问题3： 长轴长：2a 长半轴长： a 短轴长：2b 短半轴长： b 焦 距：2c 半焦距： c 令 其中 代入上式 得 焦点是F1(-c,0)、F2(c,0) 该方程叫做椭圆的标准方程。 这里， 椭圆的标准方程 F1 F2 M O x y 问题4：如果焦点在y轴上，椭圆的标准方程会是什么？ 当焦点在y轴上时， 焦点是F1(0，-c)、F2(0，c) 1、x2与y2的分母哪一个大，焦点就在哪个轴上 2、椭圆的焦点总是在长轴上 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹 标准方程 不 同 点 相 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 x y F1 F2 P O x y F1 F2 P O 目标检测： (1)已知椭圆的方程为： ,则a=_____， b=_____，c=____，焦点坐标为： ， 焦距等于_____; 若曲线上一点M到左焦点F1的距离为3，则点M到另一个焦点F2的距离 等于_________， 则∆F1MF2的周长为___________ 2 1 (0,-1)、(0,1) 2 |MF1|+|MF2|=2a (2)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_____，c=_____，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ 5 4 3 (3,0)、(-3,0) 6 ２0 |CF1|+|CF2|=2a （3）a=5，c=4的椭圆标准方程是 或 F1 F2 C D 例2：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在那个轴上？ （m不为0） 变式：p109页练习第1,2题 课堂小结： 1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 的距离之和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆。 （大于 ） （a > c） 即 2a 2、椭圆的图形与标准方程 这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做焦距。 $$