精品解析： 2024—2025学年人教版九年级上册数学第三次月考模拟试卷

模拟卷【人教版】2024—2025学年秋季九年级上册数学第三次月考模拟试卷 一、选择题 1. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　) A. B. C. D. 2. 某球场可容纳名观众，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. a4+a5=a9 B. （2a2b3）2=4a4b6 C ﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D. （2a﹣b）2=4a2﹣b2 4. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 5. 在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　） A. x≥1 B. x＞1 C. x＜1 D. x≤1 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2 B. 了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查 C. 小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分 D. 某日最高气温是，最低气温是，则该日气温的极差是 7. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 8. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 9. 某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A. 2% B. 4.4% C. 20% D. 44% 10. 如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（　　） A. 125° B. 135° C. 145° D. 155° 11. 如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（　　） A 3 B. 3 C. 6 D. 9 12. 当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ） A. -1 B. 2 C. 0或2 D. -1或2 二、填空 13. 不透明的布袋里有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是______. 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则=__________． 15. 因式分解： =___． 16. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 17. 如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________． 18. 如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=_____． 三、解答题 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中x=2﹣1． 21. 某校为了解高一年级住校生在校期间的月生活支出情况，从高一年级600名住校学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的生活支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表： 组别 月生活支出x（单位：元） 频数（人数） 频率 第一组 x＜300 4 0.10 第二组 300≤x＜350 2 0.05 第三组 350≤x＜400 16 n 第四组 400≤x＜450 m 0.30 第五组 450≤x＜500 4 0.10 第六组 x≥500 2 0.05 请根据图表中所给的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中共随机抽取了　 　名学生，图表中的m＝　 　，n　 　； （2）请估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数； （3）现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生，学校在本次调查的基础上，经过进一步核实，确认高一（2）班有A，B，C三名学生家庭困难，其中A，B为女生，C为男生．李阿姨申请资助他们中的两名，于是学校让李阿姨从A，B，C三名学生中依次随机抽取两名学生进行资助，请用列表法（或树状图法）求恰好抽到A，B两名女生的概率． 22. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求长． 23. 为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查，甲种花卉种植费用（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元. （1）直接写出当和时，与的函数关系式； （2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？ 24. 如图，内接于，，为直径，与相交于点E，过点E作，垂足为F，延长交的延长线于点P，连接． （1）求证：与相切； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若的半径为8，，求的长． 25. 定义： 我们知道，四边形一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC． 求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”； （3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标； （3）若在x轴上有且仅有一点P，使，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模拟卷【人教版】2024—2025学年秋季九年级上册数学第三次月考模拟试卷 一、选择题 1. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、中心对称图形，故本选项错误； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键． 2. 某球场可容纳名观众，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定a的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解∶用科学记数法表示为， 故选∶B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. a4+a5=a9 B. （2a2b3）2=4a4b6 C. ﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D. （2a﹣b）2=4a2﹣b2 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算． 详解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确； C、-2a（a+3）=-2a2-6a，故本选项错误； D、（2a-b）2=4a2-4ab+b2，故本选项错误； 故选B． 点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 5. 在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　） A. x≥1 B. x＞1 C. x＜1 D. x≤1 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可． 【详解】根据题意得x﹣1≥0，1﹣x≠0， 解得x＞1， 故选B． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2 B. 了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查 C. 小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分 D. 某日最高气温是，最低气温是，则该日气温的极差是 【答案】B 【解析】 【详解】分析：直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案． 详解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误； B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确； C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是130分，故此选项错误； D、某日最高气温是7℃，最低气温是-2℃，则改日气温的极差是7-（-2）=9℃，故此选项错误； 故选B． 点睛：此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把握相关定义是解题关键． 7. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和. 【详解】由题意，正多边形的边数为， 其内角和为． 故选C. 【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键. 8. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当2为底，5为腰时，②当5为底，2为腰时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可． 【详解】解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0 解得：， 当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12； 当5为底，2为腰时，则无法构成三角形， 故选：A 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 9. 某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　） A. 2% B. 4.4% C. 20% D. 44% 【答案】C 【解析】 【详解】分析：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 详解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x， 根据题意得：2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%． 故选C． 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（　　） A. 125° B. 135° C. 145° D. 155° 【答案】A 【解析】 【详解】分析：如图求出∠5即可解决问题． 详解： ∵a∥b， ∴∠1=∠4=35°， ∵∠2=90°， ∴∠4+∠5=90°， ∴∠5=55°， ∴∠3=180°-∠5=125°， 故选A． 点睛：本题考查平行线性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11. 如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（　　） A. 3 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长． 【详解】连接OA， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP=90°， ∵∠P=30°，OB=3， ∴AO=3，则OP=6， 故BP=6-3=3． 故选A． 【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键． 12. 当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ） A. -1 B. 2 C. 0或2 D. -1或2 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 详解：当y=1时，有x2-2x+1=1， 解得：x1=0，x2=2． ∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1， ∴a=2或a+1=0， ∴a=2或a=-1， 故选D． 点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键． 二、填空 13. 不透明的布袋里有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】由在不透明袋中装有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率 【详解】∵在不透明的袋中装有1个黄球、4个红球、5个白球，共10个球且它们除颜色外其它都相同，∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是=． 故答案为． 【点睛】本题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则=__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2， ∴x1+x2+x1x2=﹣3 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 15. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 16. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 【答案】15π 【解析】 【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案. 【详解】解：设圆锥母线长为l， ∵r=3cm，h=4cm， ∴母线l=cm， ∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15πcm2， 故答案为15π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键. 17. 如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案． 详解：过C作CF⊥AO． ∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF． ∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3． 故答案为3． 点睛：本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 18. 如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=_____． 【答案】15° 【解析】 【详解】分析：根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可． 详解：∵OA=OB，OA=AB， ∴OA=OB=AB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC⊥OB， ∴∠COB=90°， ∴∠COA=90°-60°=30°， ∴∠ABC=15°， 故答案为15° 点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用有理数的乘方法则，负整数指数幂，零指数幂及立方根的性质计算即可． 【详解】解：原式 20. 先化简，再求值：，其中x=2﹣1． 【答案】 【解析】 【详解】分析：直接分解因式，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 详解： = =， 把x=2-1代入得，原式==． 点睛：此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键． 21. 某校为了解高一年级住校生在校期间的月生活支出情况，从高一年级600名住校学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的生活支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表： 组别 月生活支出x（单位：元） 频数（人数） 频率 第一组 x＜300 4 0.10 第二组 300≤x＜350 2 0.05 第三组 350≤x＜400 16 n 第四组 400≤x＜450 m 0.30 第五组 450≤x＜500 4 0.10 第六组 x≥500 2 0.05 请根据图表中所给的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中共随机抽取了　 　名学生，图表中的m＝　 　，n　 　； （2）请估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数； （3）现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生，学校在本次调查的基础上，经过进一步核实，确认高一（2）班有A，B，C三名学生家庭困难，其中A，B为女生，C为男生．李阿姨申请资助他们中的两名，于是学校让李阿姨从A，B，C三名学生中依次随机抽取两名学生进行资助，请用列表法（或树状图法）求恰好抽到A，B两名女生的概率． 【答案】（1）40、12、＝0.40；（2）90；（3）． 【解析】 【分析】（1）由第一组的频数及其频率可得总人数，再根据频率＝频数÷总数可得m、n的值； （2）用总人数乘以样本中第一、二组频率之和即可得； （3）画树状图得出所有等可能结果，然后根据概率公式计算即可得解． 【详解】（1）本次调查的学生总人数为4÷0.1＝40人，m＝40×0.3＝12、n＝16÷40＝0.40， 故答案为40、12、＝0.40； （2）600×（0.10+0.05）＝600×0.15＝90（人）， 答：估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数为90； （3）画树状图如下： 由树状图知共有6种等可能结果，其中恰好抽到A，B两名女生的结果数为2， 所以恰好抽到A、B两名女生的概率 ； 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．也考查了列表法与树状图法求概率． 22. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 23. 为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查，甲种花卉的种植费用（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元. （1）直接写出当和时，与的函数关系式； （2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？ 【答案】（1）；（2）应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元. 【解析】 【详解】分析：（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可． （2）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植（12000-a）m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少． 详解：（1） （2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为. . 当时，. 当时，元. 当时，. 当时，元. ，当时，总费用最低，最低为119000元. 此时乙种花卉种植面积为. 答：应分配甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元. 点睛：本题是看图写函数解析式并利用解析式解决问题的题目，考查分段函数的表达和分类讨论的数学思想． 24. 如图，内接于，，为直径，与相交于点E，过点E作，垂足为F，延长交的延长线于点P，连接． （1）求证：与相切； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若的半径为8，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由同弧所对圆周角且可得，结合即可得证； （2）作、连接，证得，由，，知，结合即可得； （3）中求得、，设，则、，继而在中利用勾股定理求出x的值，从而得出答案． 小问1详解】 如图，连接，则，     ∴， ∵、， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 【小问2详解】 过点O作于点M，连接， 则 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴ 在中， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴设，则、 ∴ ∵，且， ∴， 在中， ∴ 解得： ∵，舍去， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键． 25. 定义： 我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC． 求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”； （3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2． 【解析】 【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形； （2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论； （3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE•FG，再判断出EQ=FE，继而求出FG•FE=8，即可得出结论． 【详解】（1）由图1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5， ∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形， 当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA， ∴或， ∴CD=10或CD=2.5 同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10， （2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=40°， ∴∠A+∠ADB=140° ∵∠ADC=140°， ∴∠BDC+∠ADB=140°， ∴∠A=∠BDC， ∴△ABD∽△BDC， ∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”； （3）如图3， ∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”， ∴△EFH与△HFG相似， ∵∠EFH=∠HFG， ∴△FEH∽△FHG， ∴， ∴FH2=FE•FG， 过点E作EQ⊥FG于Q， ∴EQ=FE•sin60°=FE， ∵FG×EQ=2， ∴FG×FE=2， ∴FG•FE=8， ∴FH2=FE•FG=8， ∴FH=2． 【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标； （3）若在x轴上有且仅有一点P，使，求k的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键． （1）根据已知列出方程组求解即可； （2）作轴，轴，垂足分别为，，求出直线的解析式，再分两种情况分别分析出点坐标即可； （3）根据题意分析得出以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点，为的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得，，； 二次函数的解析式为：， 【小问2详解】 解：作轴，轴，垂足分别为，，设对称轴交轴于．则， ， ， ， ， ， ， 将代入，得： ， ， 将点代入得：， 解得， 直l线的解析式是：， 将代入，得， ， 设直线的函数关系式为， 则将点代入得：， 解得， ∴直线的函数关系式为， ， ①在下方）， 设，将代入可得， ， 令， 解得，，， ， ，此时， ． ②在上方时，直线与关于对称， ∵点关于点的对称点是点 ， ， 解得，， ， ， ， 综上所述点的坐标为，． 【小问3详解】 解：由题意可知：， ， 直l线的解析式是：， 令， 解得，， 当时， ， 如图，设中点为， 点有且只有一个， 以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点， 轴， ∴， ， 为的中点，， ， 是的直径， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$