2024-2025学年人教版八年级数学上册期中复习专题：坐标系中的几何证明与计算（通用）

八年级数学上册期中复习专题 坐标系中几何证明与与计算 【知识总结】将三角形放置于于平面直角坐标系中，就形成了一只“披着狼皮的羊”，看似复杂的问题，其实并不复杂，与普通的几何证明与计算相差无几，仅是在直角坐标系中，蕴含了“坐标轴之间的夹角是直角”、“到坐标轴距离相等的点必在坐标轴夹角的平分线上，即45度角”、“已知点的坐标，就是某边之长”。 【基础例题】 例1．如图，点A、B分别为平面直角坐标系中x轴正半轴和y轴正半轴上的任意两点，连结，作的外角平分线，作的角平分线，两线相交于点D；再作平分， 平分，两直线相交于点；作平分，平分，两直线相交于点……作平分，平分，两直线相交于点，那么 ． 【分析】本题考查了角分线的找规律题，根据角分线和角的和与差先推导前几个角，则可发现规律，熟练运用角度的和与差是解题的关键． 【详解】，由上题知，，如图： 同理 所以． 故答案为：． 例2．如图，在平面直角坐标系中，点，P，Q是两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线（按照）的路线运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿折线（按照）的路线运动，运动过程中点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒，直线l经过原点O，且，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值为 ． 【分析】根据题意可分三种情况：①点在上，点在上；②点、都在上，③点在上，点在点处，可画出对应图形，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，，， 当点运动到点时，，当点运动到点B时，， 点运动到点时，，点运动到点时，， 故可分三种情况： ①点在上，点在上，如图， 当与全等时， ∵，， ∴，解得：； ②点、都在上，如图， 当与全等时，点、重合，即， ∵，， ∴，解得：； ③点在上，点在点处，如图， 当与全等时， 则，解得：， 综上，满足条件的t值为或或， 故答案为：或或． 例3．如图，点，且满足． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点C在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，且，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段长为定值，请求出该定值 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，可得到结果； （2）将绕点逆时针旋转得到，根据已知条件得到，由，，可得，求出，推出≌，根据全等三角形的性质得到； （3）作于，在上截取，由，得到，，根据余角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，得到．即：，从而由等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】（1）解：（1）∵， ，， ，， 、， ，， 的面积； （2），证明如下： 如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ，即，，共线， ，， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ， ； （3）解：作于，在上截取，如图 且， ， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ，即， ， ， ， ． 线段为定值2． 【拓展例题】 例4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（    ）    A．1.5 B．2 C．3 D．1 【分析】以为边作等边，连接，然后证明得，从而可判断当N，A，B三点共线时，最大，即最大，然后利用等边三角形的性质解答即可． 【详解】如图1，以为边作等边，连接，    由题意 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当N，A，B三点共线时，最大，即最大， 如图2，过P作轴，垂足为T，    ∵是等边三角形，， ∴， ∵点A的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为1.5． 当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为1.5． 故选：A． 【巩固练习】 1．将等腰直角三角板按如图的方式放置，点在轴的正半轴上移动，点随之在轴的正半轴上移动，点在的左侧，设点的横坐标为，则它的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，过点B作直线轴，点是直线l上的点，以为边作等腰，使，则点Q的坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为 ．    4．如图1，在平面直角坐标系中，点A、点M在y轴的正半轴上（点M在点A的上方），点B在x轴的正半轴上，平分，的反向延长线交的平分线于点D，交y轴于点E． (1)时，求和的度数； (2)如图2，当点A、点B分别在y轴、x轴的正半轴上任意运动时，的大小是否变化？若不变化，请求出的度数；若变化，请说明理由； (3)当等于多少度时，． 5．如图，点，，满足，若点为射线上异于原点和点A的一个动点． (1)如图1，①直接写出：点A的坐标为________，点的坐标为________； ②当点位于点与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（为直角顶点，，，按逆时针方向排列），连接．求证：；（提示：在同一三角形中，等角对等边） (2)点是直线上异于点A与点的一点，使得，过点作交轴于点，探究，，之间的数量关系，并证明． 6．在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 7．如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线上一动点，，过D作于点M．    (1)求证：； (2)求证：平分； (3)当点A运动时，的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 8．已知：点，，，且、满足． (1)直接写出的形状； (2)如图1，过点作射线（射线与边有交点），过点作于点，过点作于点，过点作的垂线交轴于点． ①求证：； ②求点的坐标； (3)如图2，点，为轴正半轴上的两点（在的上方），点在的延长线上，且满足，的延长线交轴于点，的角平分线交线段于点，若，，求线段长度． 【参考答案】 1.【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，全等三角形的判定和性质，作轴于点，轴于点，根据可得，所以，由点点横坐标为，则它的纵坐标为，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】如图，作轴于点，轴于点， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴它的纵坐标为， 故选：. 2.【分析】本题主要考查坐标与图形，解答本题的关键在于构造合适的辅助线，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，要明确，只能为直角边作出等腰直角三角形，本题即可求解． 【详解】解：∵点，点， 又∵， ∴只能为直角边． 如图，过点作，使得， 过点作已知直线l的垂线交于点，过点作轴， 过点作已知直线l的垂线交于点． 为等腰直角三角形， ， ， 又， ， ． ， ． ． 同理，可证， ； ． ． 故答案为：或． 3.【分析】过作，交轴于，再，得出，然后根据点，求得，最后判定，得出，即可求得． 【详解】解：过作，交轴于，则，    ∵等腰、等腰， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， 即 在和中， 故答案为：10． 4.【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义可得，由三角形外角的性质得到，则由角平分线的定义可得，据此根据三角形外角的性质可得答案； （2）根据三角形外角性质得，所以，再根据角平分线定义得，，从而得到，即． （3）当时，，由可求出的度数，再根据角平分线定义求得的度数即求得的度数，再根据三角形内角和求出的度数即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：的度数不变化，的度数是， 理由如下： ，， ， ， 平分，平分， ，， ， 又∵ 即； （3）解：当时，，理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ， 即， ∴当时，． 5.【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标；②通过证明，得出，则，再推出，即可得出，即可求证； （2）根据题意进行分类讨论：①当点在线段上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论；②当点在延长线上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：，； ②证明：过点作交轴于点 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：①当点在线段上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6.【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． （1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【详解】（1）如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）如图②，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分． （3）结论：． 理由：如所示，在上截取，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 7.【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定． （1）先利用轴对称得到，再利用“8字型”证明，即可； （2）如图1中，作于．利用全等三角形的性质证明即可解决问题； （3）作出辅助线，判断出，代换化简即可． 【详解】（1）解：，关于轴对称， ∴，， ， ，， ， ； （2）解：如图1中，作于．   ，， ， ，， ∴， ， ，， 平分； （3）解：的值不发生变化，其值为2，理由如下： 如图2，作，    由（2）可得， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ， ， ． 9.【分析】（1）由非负性可求，可得，进而可求，可得，可得结论； （2）①由“”可证，可得；②由全等三角形的性质可得，进而可得，由“”可证，可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，可得结论． 【详解】（1）解：∵． ， ， 又， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）解：①， ， ， ， 又， ， ； ②， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴，则， ∴点的坐标为； （3）解：如图2，在上截取， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ∵， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$