3.1.2 椭圆的简单几何性质(第二课时) 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第二课时） 一 二 三 学习目标 进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断直线与椭圆的位置关系 能解决与椭圆有关的弦长及中点弦问题 能利用椭圆的知识解决简单的实际问题. 学习目标 复习回顾 定 义 图 形 方 程 范 围 对称性 焦 点 顶 点 离心率 a, b, c的关系 |MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) 关于x轴、y轴、原点对称 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O a ≤ x ≤ a, b≤ y ≤ b a ≤ y ≤ a, b ≤ x ≤ b (a,0), (a,0), (0,b), (0,b) (b,0), (b,0), (0,a), (0,a) 典例解析 例5 如图示, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分, 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上, 片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2 . 已知BC⊥F1F2 , |F1B|=2.8 cm, |F1F2|=4.5 cm. 试建 立适当的平面直角坐标系, 求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm). 解: 建立如图所示的平面直角坐标系, 设所求椭圆方程为 在Rt△BF1F2中， 由椭圆的性质知， 所以，所求的椭圆方程为 典例解析 例6 动点M(x, y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线l : 的距离的比是常数 求动点M的轨迹. O x y M H F l • d 解： 新知拓展 平面内的动点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离与它到定直线 的距离的比是常数 则点M的轨迹是椭圆. 椭圆的第二定义：（课本117页） O x y M H F l • d l′ F′ • 证明： 其中，定点F(c,0)是椭圆的焦点； 定直线 叫做椭圆的准线； 常数 是椭圆的离心率. 对于焦点 是椭 圆的准线方程是 新知探究 问题1 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系会有哪几种？ 种类: 相离(没有公共点) 相切(一个公共点) 相交(两个公共点) 追问 能像直线与圆那样用几何法判断直线与椭圆的位置关系吗？ 新知探究 问题2 直线与椭圆的位置关系如何判定？ 代数方法，联立方程 (或者消去y) 利用△的值来确定解的情况, 从而判断直线与椭圆的位置关系： ① △＞0 ② △＝0 ③ △＜0 方程有两不等实根 方程有两个相等实根 方程无实数根 相交 相切 相离 可通过两点坐标公式求弦长 两个公共点 一个公共点 没有公共点 典例解析 例7 O x y F2 • F1 • 解： l l l 巩固练习 课本P114 1. 求下列直线与椭圆的交点坐标: 2. 经过椭圆 的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A, B两点，求线段AB的长. 解： 巩固练习 课本P114 能不能不求出A、B两点的坐标，就能求出弦长？ 如图示，若直线l与椭圆交于A, B两点，将直线方程与椭圆方程联立消元，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后运用两点间距离公式及根与系数的关系，即可求弦长，具体公式为： 弦长公式： O x y F2 l • F1 • A B 新知探究 前提：直线斜率k存在 前提：直线斜率k存在且不为0 解：设A(x1, y1), B(x2, y2), 直线l：y＝x＋t. 倾斜角为45°的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于A, B两点, 求弦AB最长时直线l的方程. 此时, 直线l：y＝x. 由△>0, 得 一组平行线与椭圆相交, 当直线过椭圆中心时, 弦长最长. 巩固提升 巩固提升 已知椭圆 直线 椭圆上是否存在一点, 使得 (1) 它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ F1 F2 x O y 解1： (2) 它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 巩固提升 已知椭圆 直线 椭圆上是否存在一点, 使得 (1) 它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ (2) 它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ O x y F2 l • F1 • P • 解2： 能力提升 中点弦问题 利用韦达定理“设而不求” 解1： 联立+中点公式 (中点/斜率公式) 代点 作差 解2： 点差法 能力提升 中点弦问题 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.椭圆性质的应用 2.直线与椭圆的位置关系与判断 3.直线与椭圆相交的弦长问题 $$