高二数学上学期期中押题试卷02（测试范围：人教A版选修一，空间向量与立体几何、直线和圆的方程、椭圆）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

2024-2025学年高二数学上学期期中押题试卷02 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、椭圆 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间向量，2，，，若，则　　 A．4 B．5 C． D． 2．直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 3．已知圆，则点在　　 A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 4．已知直线与直线，则“，”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为　　 A． B． C． D． 6．已知动直线，，并且，则与间的距离的最大值为　　 A．5 B．4 C． D． 7．已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为　　 A． B． C．2 D． 8．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为　　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知直线，，，则下列结论正确的是　　 A．直线恒过定点 B．当时，直线的斜率不存在 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线与直线平行 10．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是　　 A． B． C． D． 11．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若，，，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是 　　． 13．已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则　　． 14．如图，在长方体中，，，点在棱上，且，则当的面积取得最小值时，　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知圆． （1）若点，求过点的圆的切线方程； （2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程． 16．已知点，，，直线与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）求的外接圆的标准方程． 17．已知圆． （1）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，若有为坐标原点），求动点的轨迹方程； （2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程． 18．如图1，在边长为4的菱形中，，点是中点，将沿折起到△的位置，使，如图2． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 19．已知椭圆的一个焦点为，上顶点为，原点到直线的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在圆上，点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于点（异于点，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中押题试卷02 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、椭圆 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间向量，2，，，若，则　　 A．4 B．5 C． D． 【分析】由，可得，解得，利用数量积运算性质即可得出结论． 【解答】解：，，解得． 则， 故选：． 【点评】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解． 【解答】解：直线的斜率， 设其倾斜角为， 则，． 故选：． 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题． 3．已知圆，则点在　　 A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程，由点与圆的位置关系，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，圆，点， 则有，故点在圆外， 故选：． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题． 4．已知直线与直线，则“，”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由，计算得或，即可判断． 【解答】解：因为， 所以， 解得或， 所以“，”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查了两直线垂直的性质，属于基础题． 5．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程． 【解答】解：将两个圆的方程相减，得． 故选：． 【点评】本题主要考查公共弦直线方程的求解，属于基础题． 6．已知动直线，，并且，则与间的距离的最大值为　　 A．5 B．4 C． D． 【分析】首先利用直线平行的充要条件求出，利用平行直线的距离公式求出，最后利用换元法求出二次函数的最值，最终求出结果． 【解答】解：动直线，，并且， ，且 与间的距离为． 令， 转换为：， 利用△， 解得：， 故：与间的距离为的最大值为5． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件的应用，利用函数求函数的最值问题的应用，换元法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 7．已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为　　 A． B． C．2 D． 【分析】利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出． 【解答】解：设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为． 则，，两式相减得， 又，，， 代入得，解得． 故选：． 【点评】熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键． 8．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为　　 A． B． C． D． 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，利用点到面距离的向量公式即得解． 【解答】解：以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，4，，，4，，，4，，，4，， ，． 设为平面的法向量为， 则，即，令，得． 又， 点到平面的距离． 故选：． 【点评】本题考查点到平面距离公式等基础知识，考查运算求能力，是中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知直线，，，则下列结论正确的是　　 A．直线恒过定点 B．当时，直线的斜率不存在 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线与直线平行 【分析】令，则，即，可得直线恒过，判断，分别将，1，代入直线可检验． 【解答】解：令，则，即， 所以直线恒过，故错误； 当时，直线的方程为，此时直线斜率为0，故错误； 当时，直线的方程为， 斜率为，倾斜角为，故正确； 直线斜率为， 直线的斜率为， 当时，直线斜率为，与直线斜率相等，故直线与平行， 所以正确． 故选：． 【点评】本题考查了直线的倾斜角，斜率，直线的平行关系，过定点问题，属于基础题． 10．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式并结合经过的点求直线方程． 【解答】解：若截距都为0，则直线为； 若截距不为0，令直线为，则， 所以直线为； 综上，所求直线方程为或． 故选：． 【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查分类讨论，是基础题． 11．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若，，，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【解答】解：由题意可知，， 对于，，故正确； 对于，又因为， 所以， 所以，，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算进而数量积运算，属于基础题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由题意可得：，解出即可得出． 【解答】解：椭圆的焦点在轴上， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13．已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则　6或　． 【分析】将圆的方程化为标准形式，由面积最小，可得的值，再利用点到直线的距离公式，根据直线与圆相切，即可得解． 【解答】解：将圆化成标准方程为， 当时，圆的半径最小，面积最小， 此时圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得或． 故答案为：6或． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆的标准方程，点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 14．如图，在长方体中，，，点在棱上，且，则当的面积取得最小值时，　　． 【分析】建立空间直角坐标系，用坐标表示点的坐标，根据，得出，由此代入，利用基本不等式的性质，求出棱的值． 【解答】解建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，， 设，1，，，0，，，0，，， 则，，，，1，， ，，即， ， 当且仅当，时取等号， 所以棱． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的应用问题，考查了三角形面积计算公式和基本不等式的性质，是中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知圆． （1）若点，求过点的圆的切线方程； （2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程． 【分析】（1）当直线的斜率不存在时，切线方程为，当直线的斜率存在时，设切线方程为，即，由点到直线的距离公式列式求解，则切线方程可求； （2）点在圆内部，求出所在直线斜率，可得所在直线斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：（1）当直线的斜率不存在时，切线方程为， 当直线的斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得． 切线方程为． 综上所述，过点的圆的切线方程为或； （2）点在圆内部，，又， ，则直线的方程为， 即． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属基础题． 16．已知点，，，直线与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）求的外接圆的标准方程． 【分析】（1）先求出直线的斜率，用点斜式求直线的方程，可得点的坐标． （2）由题意，的外接圆是以线段为直径的圆，求出圆心和半径，可得的外接圆的方程． 【解答】解：（1）根据点，，，故直线的斜率， 所以直线的方程为． 因为点在轴上，令，得， 所以点的坐标为． （2）由题意，点，，， 由，可得的外接圆是以线段为直径的圆． 又中点为， 所以外接圆的圆心为，半径为， 所以的外接圆的方程为． 【点评】本题主要考查直线的斜率，用点斜式求直线的方程，求圆的标准方程的方法，属于中档题． 17．已知圆． （1）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，若有为坐标原点），求动点的轨迹方程； （2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程． 【分析】（1）由题意易知，应用两点距离公式整理化简即可得的轨迹方程． （2）分类讨论直线的过坐标原点和直线不过坐标原点计算切线方程即可． 【解答】解：（1）圆的方程即， 由圆上切点的性质知：，由， ，整理得． 故点的轨迹方程为． （2）若直线经过坐标原点，设直线方程为， 由直线与圆相切可得， 整理可得：，解得， 则直线方程为：，， 若直线不经过坐标原点，设直线方程为，即， 由直线与圆相切可得，解得或， 则直线方程为，， 综上可得，满足题意的直线方程为： 或或或． 【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系等知识，属于中等题． 18．如图1，在边长为4的菱形中，，点是中点，将沿折起到△的位置，使，如图2． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【分析】（1）根据题意可得四边形为直角梯形，即，，根据线面垂直的判定定理可得平面，即，又，即可证明结论； （2）由（1）知可建立以为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示，根据题意可得，0，，，0，，，，，，0，，，，，求出平面的一个法向量，利用向量法，即可得出答案． 【解答】解：（1）证明：在边长为4的菱形中，，点是中点，则， 四边形为直角梯形，， 又，，平面，平面， 平面， 平面， ， 又，，平面，平面， 平面； （2）由（1）知可建立以为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 在边长为4的菱形中，，点是中点，则，，，， ，0，，，0，，，，，，0，，，，， 则，0，，，0，，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则，， 平面的一个法向量为，，， ，， 故直线与平面所成角的余弦值为． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理和空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 19．已知椭圆的一个焦点为，上顶点为，原点到直线的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在圆上，点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于点（异于点，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据条件列方程组，解得、即可，（2）设直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理解得点坐标，再根据条件得点坐标，代入圆方程，解得直线斜率，即得结果． 【解答】解：（1）由椭圆的一个焦点为知：，即．①． 又因为直线的方程为，即，所以． 由①解得． 故所求椭圆的标准方程为． （2）假设存在过点的直线适合题意，则结合图形易判断知直线的斜率必存在， 于是可设直线的方程为， 由，得． 因为点是直线与椭圆的一个交点，且． 所以，所以， 即点，． 所以，，即，． 因为点在圆上，所以， 化简得，解得，所以． 经检验知，此时对应的判别式△，满足题意． 故存在满足条件的直线，其方程为． 【点评】本题考查椭圆标准方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题． 限公司1 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