第3章勾股定理同步练习卷-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理同步练习卷-2024-2025学年数学八年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．下列各组数据是勾股数的是（　　） A．，， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则BC的长为（　　） A．6 B． C．24 D．2 3．在△ABC中，三个内角度数之比为2：3：5，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 5．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 6．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝2米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 7．如图所示，三个正方形中有两个的面积分别为S3＝225，S2＝144，则S1等于（　　） A．9 B．15 C．81 D．12 8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 二．填空题（共8小题） 9．点O是边长分别为9，41，40的三角形的内角平分线的交点，则点O到该三角形一边的距离是 　 　． 10．小逸从家出发向正东方向走了160m，接着向正北方向走了120m，此时小逸离家的距离为　 　m． 11．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是 　 　． 12．已知有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 　 　m． 13．如图，等腰△ABC的腰长为13cm，底边长为10cm，则等腰△ABC的面积为　 　cm2． 14．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，垂足为E，且∠1＝2∠2，则∠A的度数为 　 　． 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AC＝5，AD＝4，BC＝10，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为　 　秒时，△ACP为等腰三角形． 16．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是 　 　． 三．解答题（共6小题） 17．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且DE⊥BC，若BD＝CD，EA2+AC2＝BD2+DE2，求证：△ABC是直角三角形． 18．某消防队进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12米，即AD＝BC＝12米，此时建筑物中距地面12.8米高的P处有一被困人员需要救援，已知消防云梯的车身高AB是3.8米．为此消防车的云梯至少应伸长多少米？ 19．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积． 20．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 21．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上． （1）若梯子的底端B到墙底端O的距离OB＝0.7米，求OA的长度； （2）若梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到达点C处，求梯子向外移动的距离BD的长度． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点M为边AB的中点，点D在边BC上． （1）如图1，若AC＝6，BC＝8，MD⊥AB，求MD的长； （2）如图2，过点M作ME⊥MD与边AC交于点E，试探究：线段AE，DE，DB三者之间的数量关系，并说明理由． 第3章勾股定理同步练习卷-2024-2025学年数学八年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．下列各组数据是勾股数的是（　　） A．，， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41 【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意； D、92+402＝412，能构成直角三角形，且9，40，41是正整数，故符合题意． 故选：D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则BC的长为（　　） A．6 B． C．24 D．2 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴根据勾股定理，得BC＝＝＝6． 故选：A． 3．在△ABC中，三个内角度数之比为2：3：5，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【解答】解：∵△ABC的三个内角度数之比为2：3：5， ∴可设△ABC的三个内角分别为：2α，3α，5α， 由三角形内角和定理得：2α+3α+5α＝180°， ∴α＝18°， ∴2α＝36°，3α＝54°，5α＝90° ∴△ABC为直角三角形， 故选：D． 4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【解答】解：如图，∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD＝＝＝1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 5．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴当c＝n2+1＝65时，n＝8， ∴x＝63，y＝16， ∴x+y＝79， 故选：C． 6．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝2米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H． ∵∠DCB＝∠B＝∠DHB＝90°， ∴四边形CDHB是长方形， ∴BC＝DH＝1.2米，CD＝BH＝1.5米， ∵AB＝2米， ∴AH＝AB﹣BH＝2﹣1.5＝0.5（米）， ∴（米）． 故选：B． 7．如图所示，三个正方形中有两个的面积分别为S3＝225，S2＝144，则S1等于（　　） A．9 B．15 C．81 D．12 【解答】解：根据图形及勾股定理得：S3＝S2+S1， ∵S3＝225，S2＝144， ∴S1＝S3﹣S2＝225﹣144＝81． 故选：C． 8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 【解答】解：由题意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：A． 二．填空题（共8小题） 9．点O是边长分别为9，41，40的三角形的内角平分线的交点，则点O到该三角形一边的距离是 　4　． 【解答】解：∵92＝（41+40）（41﹣40）＝412﹣402， ∴92+402＝412， ∴这个三角形是直角三角形，且直角边为9和41， 由角平分线的性质得，两个角的平分线的交点到三边的距离相等，设为h， 则， 解得h＝4． 即这个三角形两个角的平分线的交点到其中一边的距离是4． 故答案为：4． 10．小逸从家出发向正东方向走了160m，接着向正北方向走了120m，此时小逸离家的距离为　200　m． 【解答】解：如图，OA＝160m，AB＝120m，∠OAB＝90°， ∴； 故答案为：200． 11．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是 　2或6　． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形， ∴分两种情况： ①∠C是直角时，则∠A+∠B＝∠C＝90°， ∵∠A：∠B：∠C＝2：m：4， ∴此时， ∴∠B＝90°﹣∠A＝45°， ∴∠A＝∠B， 此时m＝2； ②∠B是直角时，则∠A+∠C＝∠B， ∵∠A：∠B：∠C＝2：m：4， ∴此时m＝2+4＝6； 故答案为：2或6． 12．已知有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 　10　m． 【解答】解：如图，由题意得，AB＝8m，CD＝2m，BC＝8m， ∴DE＝BC＝8m，AE＝AB﹣CD＝6m， 在Rt△AED中，由勾股定理得， AD＝＝， ∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了10m， 故答案为：10． 13．如图，等腰△ABC的腰长为13cm，底边长为10cm，则等腰△ABC的面积为　60　cm2． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝10cm， ∴BD＝BC＝5cm， ∴AD＝＝12cm， ∴BC•AD＝×10×12＝60（cm2）， 答：等腰△ABC的面积是60cm2． 故答案为：60． 14．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D点，垂足为E，且∠1＝2∠2，则∠A的度数为 　22.5°　． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于D点， ∴DB＝DA，∠2＝∠A（设为α）， ∴∠BDC＝∠2+∠A＝2α， ∵∠C＝90°，∠1＝2∠2， ∴∠1+∠BDC＝90°，即4α＝90°， ∴α＝22.5°， 即∠A＝22.5°． 故答案为：22.5°． 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AC＝5，AD＝4，BC＝10，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为　或3或　秒时，△ACP为等腰三角形． 【解答】解：①当AC＝PC＝5时， t＝s； ②当AC＝AP时， ∴DP＝CD＝＝3， 解得CP＝6， ∴t＝＝3s； ③当AP＝CP时， 设AP＝CP＝x，则PD＝CP﹣CD＝（x﹣3）， ∵AD2+PD2＝AP2， 即42+（x﹣3）2＝x2， 解得x＝， ∴t＝÷2＝（s）， 综上t为秒或3秒或秒， 故答案为：或3或． 16．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是 　64　． 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝172﹣152＝64， ∵四边形ABFD为正方形， ∴DF＝AB， ∴阴影部分的面积＝DE2+EF2＝DF2＝64， 故答案为：64． 三．解答题（共6小题） 17．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且DE⊥BC，若BD＝CD，EA2+AC2＝BD2+DE2，求证：△ABC是直角三角形． 【解答】证明：如图，连接CE． ∵BD＝CD，DE⊥BC， ∴CE＝BE． ∵DE⊥BC， ∴BD2+DE2＝BE2＝CE2． ∵EA2+AC2＝BD2+DE2， ∴EA2+AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 18．某消防队进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12米，即AD＝BC＝12米，此时建筑物中距地面12.8米高的P处有一被困人员需要救援，已知消防云梯的车身高AB是3.8米．为此消防车的云梯至少应伸长多少米？ 【解答】解：由题意可知：AB＝CD＝3.8米，AD＝12米，PC＝12.8米，∠ADP＝90°， ∴PD＝PC﹣CD＝9米， 在Rt△ADP中，AP＝＝15米， 答：此消防车的云梯至少应伸长15米． 19．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积． 【解答】解：连接AC， 已知，在直角△ACD中，CD＝9m，AD＝12m， 根据AD2+CD2＝AC2，可以求得AC＝15m， 在△ABC中，AB＝39m，BC＝36m，AC＝15m， ∴存在AC2+CB2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， 要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可， S＝S△ABC﹣S△ACD＝AC•BC﹣CD•AD， ＝×15×36﹣×9×12， ＝270﹣54， ＝216m2， 答：这块地的面积为216m2． 20．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 【解答】证明：连接BD， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝25， 在△BDC中，CD＝7，BC＝24， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴∠C＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+CD•BC＝×20×15+×7×24＝234． 21．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上． （1）若梯子的底端B到墙底端O的距离OB＝0.7米，求OA的长度； （2）若梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到达点C处，求梯子向外移动的距离BD的长度． 【解答】解：（1）∵OA⊥OB， ∴AOB＝90°，AB＝2.5米，OB＝0.7米， ∴； 答：OA的长度为2.4米； （2）由题意，得：∠COD＝90°，CD＝AB＝2.5米，AC＝0.4米， 由（1）知：OA＝2.4米， ∴OC＝OA﹣AC＝2.4﹣0.4＝2（米）， ∴， ∴BD＝OD﹣OB＝0.8米； 答：梯子向外移动的距离BD的长度为0.8米． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点M为边AB的中点，点D在边BC上． （1）如图1，若AC＝6，BC＝8，MD⊥AB，求MD的长； （2）如图2，过点M作ME⊥MD与边AC交于点E，试探究：线段AE，DE，DB三者之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）连接AD， ∵MD是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， 设AD＝BD＝x，则CD＝8﹣x， ∴x2＝62+（8﹣x）2， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）ED2＝AE2+BD2． 作AN∥BC交DM的延长线于点N，连接EN， ∴∠NAM＝∠B，∠ANM＝∠BDM， ∵AM＝BM， ∴△ANM≌△BDM（AAS）， ∴AN＝BD，MN＝MD， ∵ME⊥MD， ∴ME是线段DN的垂直平分线， ∴ED＝EN， ∵∠C＝90°，AN∥BC， ∴∠EAN＝90°， ∴EN2＝AE2+AN2，即ED2＝AE2+BD2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$