第四章 指数函数与对数函数 章末综合测试-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章《指数函数与对数函数》章末综合测试 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设 为非零实数，则下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2. 如果函数和都是指数函数，则（ ） A． B．1 C．9 D．8 3. 已知，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：） A. 22% B. 33% C. 44% D. 55% 7. 若实数满足，且，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D．2 8. 已知函数（其中），若是的一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，的定义域为R B. 一定存在最小值 C. 的图象关于直线对称 D. 当时，的值域为R 11. 定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的周期为6 C. D. 和的图象所有交点横坐标之和等于8 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______. 13. 用二分法求函数在区间内的零点近似值时，验证了，取区间的中点，得，那么此时零点______.（填区间）． 14. 已知函数，若时，使得，则的最小值为 ___________. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值: （1）； （2）. 16. 已知指数函数的反函数为． （1）求函数的解析式； （2）已知函数，求不等式的解集． 17. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知定义域为的函数是奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知定义域为的函数，若存在实数，使得，都存在满足，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，是否具有性质，说明理由； （2）若存在唯一实数，使得函数，具有性质，求实数的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章《指数函数与对数函数》章末综合测试 参考答案 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设 为非零实数，则下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】B对于A,当n取偶数，时不成立，比如 ，故A错误； 对于B，，正确； 对于C, ，B错误； 对于D, ,D错误. 2. 如果函数和都是指数函数，则（ ） A． B．1 C．9 D．8 【解析】D 根据题意可得，，则. 3. 已知，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 【解析】C因为，，故. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由题意得，解得， 开口向下，对称轴为， 所以在上递增，在上递减； 因为是定义域上的递增函数， 利用复合函数的同增异减可得的单调递增区间为， 5. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. C. D. 【解析】B由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又，， ，， 故在上有唯一零点，即. 6. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：） A. 22% B. 33% C. 44% D. 55% 【解析】C 由题意可知：大约增加了 . 7. 若实数满足，且，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D．2 【解析】B 因为，所以， 实数、满足， 所以（当且仅当，时等式成立）. 8. 已知函数（其中），若是的一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由于在R上单调递减， ，在R上单调递减， 故在R上单调递减， ，， 由零点存在性定理可得，故， 由题意得，故， 故， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 故 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【解析】BC 因为， 所以当时，得， 所以在定义域内单调递减，且， 函数的定义域为， 且由简单函数，复合而成， 由复合函数的单调性可知在定义域范围内单调递减， 且当趋近于时，取得无穷小， 故B正确，D错误； 当时，得， 所以在定义域内单调递增，且， 当无穷小时，无限趋近于， 此时在内单调递增， 且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，的定义域为R B. 一定存在最小值 C. 的图象关于直线对称 D. 当时，的值域为R 【解析】AC 对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方， 即恒成立，所以的定义域为R，故A正确； 对于B：若，则定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误； 对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象， 此时对称轴为直线，故C正确； 对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误. 11. 定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的周期为6 C. D. 和的图象所有交点横坐标之和等于8 【解析】AD 由定义域为R，可得，， 即，则函数图象关于直线对称，A正确； 由以及为偶函数可得，则，即函数的周期为4，B错误； 由周期性知，，又， 即，则，C错误； 函数的定义域为，， 可得函数图象关于直线对称，分别画出和的图象如图所示： 由图可得和的图象有四个交点，且关于直线对称，则所有交点横坐标之和等于，D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______. 【解析】令，得，则. 所以函数（且）的图象恒过定点. 13. 用二分法求函数在区间内的零点近似值时，验证了，取区间的中点，得，那么此时零点______.（填区间）． 【解析】因为，所以与同号，又，所以与异号，即与异号，所以.此时零点. 14. 已知函数，若时，使得，则的最小值为 ___________. 【解析】由可得， 又可得，即， 可化为，得，且. 又， 令，则，， 该二次函数上单调递减，在上单调递增， 所以当时，. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值: （1）； （2）. 【解析】（1） . （2） . 16. 已知指数函数的反函数为． （1）求函数的解析式； （2）已知函数，求不等式的解集． 【解析】（1）若为指数函数， 则，且，解得，即， 所以指数函数的反函数为. （2）因为，可知的定义域为， 且， 可知为定义在上的偶函数， 又因为在上单调递增，且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，且在内单调递减， 对于不等式，可得， 整理得，解得， 所以等式的解集为. 17. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得，解得，即， 当时，，即函数是奇函数， 所以. （2）由（1）知，，而函数在上单调递增，因此在上单调递减， 不等式化为， 由是奇函数，得，因此不等式化为， 于是，即， 依题设，对任意的，不等式恒成立， 显然当时，取得最小值1，从而， 所以实数的取值范围是. 18. 已知定义域为的函数是奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， ∴ 又∵是上的奇函数， ∴且 ∴当时， 综上：. （2）∵当时，单调递减， 因为是定义域为的奇函数，由对称性可知，在上单调递减， ∴，有， 又∵当时，单调递减， ∴，有， ∴是上的减函数. （3）由得， ∵是奇函数，∴， 又∴是上的减函数，∴， 即对任意的恒成立 ①当时，恒成立，满足条件 ②当时，应满足即 综上：的取值范围是. 19. 已知定义域为的函数，若存在实数，使得，都存在满足，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，是否具有性质，说明理由； （2）若存在唯一实数，使得函数，具有性质，求实数的值. 【解析】（1）函数不具有性质．理由如下： 对于因为，所以不存在满足， 所以函数不具有性质． 函数具有性质，理由如下： 的值域亦为，故，使得， 所以函数具有性质. （2）记函数的值域为，函数的值域. 因为存在唯一的实数，使得函数有性质， 即存在唯一实数，对，使得成立， 所以， ①当时，，其值域，由得. ②当，且时，是增函数， 所以其值域，由得，舍去. ③当时，最大值为，最小值为，所以的值域， 由得，舍去， ④当时，的最大值为，最小值为，所以的值域， 由得或（舍）， 综上所述，或. 学科网（北京）股份有限公司 $$