抛物线形问题重难点突破 2024-2025学年人教版九年级数学上册

突破52 抛物线形问题(一) 路径高度 类型一 路径高度 1.(武汉二调)燃放烟花是一种常见的喜庆活动.如图，小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h(单位：m)随飞行时间(单位：s)变化的规律如下表： 飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 (1)求第一枚花弹的飞行高度h 与飞行时间t 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度； (3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m.小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求. 类型二 路径高度求参 2.(2024江西中考)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度 y(米)的变化规律如表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 y 0 7一2 6 15/2 8 n 72 ②小球的落点是 A，求点 A 的坐标； (2)小球飞行高度 y(米)与飞行时间t(秒)满足关系： ①小球飞行的最大高度为 米； ②求 v的值. 突破53 抛物线形问题(二) 路径落点 类型一 路径落点判断 1.(2023青山期中)要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A 与点O 在同一水平面上.安装师傅调试发现：喷头高 时，喷出的抛物线形水柱在与池中心O 的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m.以O为原点，OA 所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求水柱高度 y 与距离池中心O的水平距离x的函数关系式； (2)求水柱落地点 A 到水池中心O的距离； (3)若水池半径为3.5m，则喷头最大高度为 m时，才能使喷出的水流不至于落在池外? 类型二 路径落点求参 2.(2023硚口期中)如图，小明训练推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是 (1)第一次推铅球时，铅球运行到水平距离为3m 时，铅球行进的最大高度为2.5m ，求铅球推出的水平距离； (2)第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且 求推出铅球行进的最大高度； (3)小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足10米，直接写出b 的取值范围. 突破54 抛物线形问题(三) 实物距离 类型一 实物长度计算 1.(2024武汉元调)某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系.已知抛物线经过((0,3), 三点. (1)求抛物线的解析式(不考虑自变量的取值范围)； (2)有一辆高5m ，顶部宽4m 的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过? 并说明理由； (3)现准备在隧道上A 处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修. B，C两点分别在隔离墙和地面上，且AB 与隔离墙垂直，AC 与地面垂直，求钢架 BAC 的最大长度. 类型二 实物高度计算 2.(2024七一华源)某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状.如图，若在一个斜坡CD 上按水平距离间隔90米架设两个塔柱AC，BD，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米，如果按如图建立平面直角坐标系(x轴在水平方向上)，那么下垂的电缆可以看成抛物线 (1)求出点 A 及点B 的坐标; (2)求斜坡坡面 CD 所在直线的解析式； (3)假设这种电缆下垂的安全高度是12米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值大于或等于12米时，符合安全要求，否则不符合安全要求.探索：上述这种电缆的架设是否符合安全要求? 突破55 抛物线形问题(四) 实物空间 类型一 拱桥过船判断 1.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20m，如果水位上升3m ，则水面CD 的宽是 10 m. (1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6m 的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6m 的长方体货物(货物与货船同宽).问：此船能否顺利通过这座拱桥? 类型二 建筑空间分析 2.(2022江岸、东西湖期中)如图展示的是一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示.如图1，已知大棚横截面最高点到地面的距离为2米，两端触地点 A，B相距5米. (1)以点 A 为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式(不需要求自变量的取值范围)； (2)一位身高1.60米的菜农，若要在大棚内站直行走，求该菜农在横截面内横向的活动范围为多少米? (3)如图2，为了使大棚更牢固，在此横截面内从A 点起，沿地面每隔1米竖立一根钢杆连接到大棚外边缘上，则在此横截面内所有钢杆的长度和为 米(直接写出答案即可). 突破56 抛物线形问题(五) 运动中的函数 类型一 隐最大值 1.(武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y= 在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是 m. 类型二 距离最小值 2.(2023七一华源)测试某种型号的无人机着陆后的滑行情况，收集相关数据如下表： 滑行时间t(s) 0 1 2 3 4 滑行速度v(m/s) 60 57 54 51 48 滑行距离y(m) 0 58.5 114 166.5 216 已知滑行速度v 与滑行时间t成一次函数关系，滑行距离 y 与滑行时间t 成二次函数关系. (1)直接写出v 关于t的函数解析式和y 关于t 的函数解析式(不写自变量取值范围)；v= ,y= ; (2)按规定，无人机在障碍物附近的滑行速度必须低于6m /s，那么无人机在滑行过程中，最多可以在障碍物附近滑行多远? (3)若无人机着陆的同时打开减速伞(开伞时间忽略不计)，减速伞的制动效果为开伞后每秒减少滑行距离 p m，无人机必须在 150 m内滑停，直接写出 p 的最小值为 . 类型三 最值求参 3.(2022二中广雅)为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示. (1)求y 关于x 的函数关系式； (2)若跑道长度为 900m，是否够此无人机安全着陆? 请说明理由； (3)现对该无人机使用减速伞进行短距离着陆实验，要求无人机触地同时打开减速伞(开伞时间忽略不计)，若减速伞的制动效果为开伞后每秒钟减少滑行距离20a(单位：m)，无人机必须在200 m的短距跑道降落，请直接写出a 的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$