备战2025年中考数学一轮复习小专题特训：二次函数

备战2025年中考数学一轮复习小专题特训：二次函数 一、单选题 1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．一抛物线的形状，开口方向与相同，其顶点坐标，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口方向向下 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．经过点 5．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．若抛物线（m为常数）经过点，则该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图（1），在中，，动点P从点C出发，以的速度沿折线匀速运动，点P出发一段时间后，动点Q从点B出发，以相同的速度沿匀速运动．当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，此时点P，Q停止运动．设点P的运动时间为，的面积为，S关于t的函数图象如图（2）所示（当点P与点B，C重合时，不妨设，其中当时，函数图象为线段，当，时，函数图象均为抛物线的一部分）．若的面积为2，则t的值为（　　） A． B．或6 C．或10 D．，6或10 二、填空题 9．已知二次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点，则与x轴的另一个交点坐标是 ． 10．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ． 11．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“鸭梨”，已知点A、、、分别是“鸭梨”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中的长为 ． 12．若点， ， 均在二次函数 的图象上，则，，的大小关系是 ． （用“<”连接） 13．如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 14．小初进行投实心球练习，实心球的行进过程为抛物线形状，如图所示建立平面直角坐标系，实心球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则实心球推出的水平距离的长是 ． 15．如图，抛物线交x轴于点G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧，于点A，于点C，四边形与四边形的面积分别为6和10，则与的面积之和为 ． 16．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于不同两点，与 轴的交点在 轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③若点 和 在该图象上，则，④设，是方程的两根，若，则 ．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）． 三、解答题 17．已知：二次函数． (1)若图象经过原点，求二次函数的表达式； (2)求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 18．已知二次函数的解析式为． (1)当时，求函数图象与轴交点的坐标； (2)二次函数的图象如图所示，求的值． 19．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 20．如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 21．年巴黎奥运会，中国跳水队史上首次包揽所有项目的8块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条拋物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为时，离水面的高度为．求： (1)关于的函数表达式： (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离． 22．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B D D B B 1．C 【分析】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析． 【详解】解：、是一次函数，故本选项不符合题意； 、，当时不是二次函数，故本选项不符合题意； 、是二次函数，故本选项符合题意； 、，等式右边不是整式，故本选项不符合题意； 故选：． 2．C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，设所求抛物线解析式为，再根据二次项系数决定开口方向和形状得到，据此可得答案． 【详解】解：设所求抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线的形状，开口方向都相同， ∴， ∴所求抛物线解析式为， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象及性质，掌握系数对函数图象的影响是解题的关键． 根据函数图象分别确定系数的正负，同一字母在同一图象中取值不能相异，据此判定即可． 【详解】解：A． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； B． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，一致，符合题意； C． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； D． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故A选项正确不符合题意； 对称轴为直线，故C选项正确不符合题意； 当时，随的增大而增大，故B选项错误符合题意； 令，得， 抛物线经过点，故D选项正确不符合题意． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．先化成顶点式，再根据图象平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案． 【详解】解：化为顶点式为， ∵将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位， ∴，即． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，根据顶点式可得顶点坐标为，即对称轴为，由此即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴顶点坐标为， ∴对称轴为， 故选：D ． 7．B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，把点代入求得解析式为，再令，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把点代入得：， ∴， ∴抛物线解析式为：， 令，， 解得：，， ∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 当时，点还未出发，点在上运动；当时，点在上运动，点在上运动；当时，点在上运动，点在上运动，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，函数图象为线段， ∴当时点还未出发，当时, 点开始出发，此时， ∵当时，函数图象均为抛物线的一部分， ∴点在上运动，点在上运动，当时，点P到达点A， ∴， 当点在上时，且时，， ∵当时，函数图象均为抛物线的一部分， ∴点在上运动，点在上运动， ∵当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，又两点运动速度相同， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得，（负值不合题意，舍去）， ，， ， ， 当时，， 令，得； 当时，， 此时随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为； 当时，， 令，得，（不合题意，舍去）． 综上所述若的面积为2，则的值为或6． 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，利用抛物线的对称性求解是解题的关键．利用抛物线的对称性即可求得抛物线与轴的另一个交点坐标． 【详解】解：点与关于直线对称， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 10．/ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程．利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线开口向下， 当时，． 故答案为：． 11．3 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求的点C、点D的坐标成为解题的关键． 先求解A，B的坐标，进而求得点C的坐标，令，即可求得点D的坐标，然后求得的长即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：，， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∵是半圆的直径， ∴， 当时，， ∴D点坐标为， ∴， ∴． 故答案为3． 12． 【分析】本题考查了二次函数的增减性，根据题意确定对称轴直线和开口方向，结合即可判断； 【详解】解：由题意得：二次函数 的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵，， ∴， 故答案为： 13． 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由图可知，要求的长实际是需要点的横坐标，已知点的纵坐标为，将代入函数的解析式，求出的值，再舍去不符合实际的一个的值即可，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：当时，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴点， ∴， 故答案为：． 15．4 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象关于对称轴对称是解题的关键；由抛物线的对称性知：四边形的面积等于四边形的面积，从而可求得阴影部分面积． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为y轴， ∴点G、F关于y轴对称； ∵点B、E关于y轴对称， ∴四边形的面积等于四边形的面积，即为10； ∴与的面积之和为：四边形的面积四边形的面积 即， 故答案为：4． 16．③④ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，关键式要会利用对称轴的范围求与的关系，能熟练运用根的判别式．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：图象与轴的交点在轴上方， ， 对称轴为， ，即， 图象开口向下， ， ， ， ①不合题意， 当时，， ， ②不合题意， 根据图象可知，离对称轴越远的函数越小， 到1的距离大于2到1的距离， ， ③符合题意， 若，则，，， ， 若，则，，， ， 若，则，，， ， ， ④符合题意， 故答案为③④． 17．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式、利用二次函数与一元二次方程的关系判断抛物线与x轴的交点个数．注意二次函数与一元二次方程虽有联系但并不相同，要先将函数转化为方程再使用判别式 解决问题． （1）由抛物线经过原点，即可将原点坐标代入二次函数表达式求出参数m的值，再把m的值代入二次函数表达式，化简即可． （2）解决“无论为任何实数”的问题，考虑将函数问题转化为方程，即令，此时一元二次方程的根即为抛物线与轴交点的横坐标，故而通过判别式的值的正负性与无关，可得方程根的情况与无关，再转化为所对应的函数问题，即可得证． 【详解】（1）解：抛物线经过原点 ． 把代入， 得：， 解得， 二次函数的表达式为． （2）证明：令，则． ． ． ． 方程有两个不相等的实数根． 无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 18．(1)和 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点；求出二次函数的解析式是解决问题的关键． （1）将代入得，再令，得，未出方程的解即可； （2）把代入得，解方程得的值，再结合抛物线开口向下可判断的值． 【详解】（1）解：当时，． 令，得， 解得，． 此时函数图象与轴的交点坐标为和． （2）解：由图象知函数图象与轴有一个交点是， 所以． 所以，． 因为二次函数的图象开口向下，所以． 19．(1)；； (2)能， (3)当时，有最大值 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ； ， ， ， ； （2）当时，， ， ， 或（舍去）， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 20．(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）将将，，代入，即可求解； （2）过顶点作轴，交轴于，可知点与点关于对称，则，进而可得，再证，则为其相似比，即可求得，进而可求得答案； （3）利用待定系数法求得直线的解析式为，结合题意可知抛物线是沿射线方向平移，联结，，由平移可知，可知当为直角三角形时，，，进而证明，求得，即点的坐标为，由点在上，可知原抛物线向右平移9个单位长度，利用待定系数法求得原抛物线的解析式为，得，则点平移后的对应点的横坐标为5，此时纵坐标为，即，即可求得新抛物线的解析式． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得，即， ∴； （2）过顶点作轴，交轴于， ∴点与点关于对称，则， ∴， 又∵， ∴，即：， ∵轴， ∴，则为其相似比， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， 即点的坐标为； （3）设直线的解析式为， 代入，，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵平移后的对应点在轴上， ∴抛物线是沿射线方向平移， 联结，，由平移可知， ∴， 又∵， ∴当为直角三角形时，， 即， ∴，即， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即点的坐标为， ∵点在上， ∴原抛物线向右平移9个单位长度， 将，，代入， 得：，解得， ∴原抛物线的解析式为， ∴， 则点平移后的对应点的横坐标为5， 此时纵坐标为，即， ∴平移后新抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，抛物线的平移等知识点，本题综合比较强，需要学生放开思维，灵活运用学过的知识点． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）根据题意，得抛物线的对称轴为直线，经过点，． 设关于的函数表达式为．   ，即， 解得， 关于的函数表达式为． （2）令，则， 解得或（不合题意，舍去）． 运动员从起跳点到入水点的水平距离为 22．(1) (2)①；②，S有最大值6；③满足条件的t的值为或或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，再由即可求解； ②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与x轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ∴，， 当时，， 解得：或（与A重合，舍去）， 当时，， 故； ②∵，， ∴ ， ， ∵， ∴当时，S有最大值6； ③∵， 分三种情况讨论： 当时，， 解得或（舍）； 当时，过点C作交于M，则M为的中点，如图1， ∴， 解得或（舍）； 当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述：满足条件的t的值为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$