4.4.2对数函数的图象与性质（第二课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.2 对数函数的图象与性质 (第二课时) 1 1.函数且 的图象恒过的定点坐标为_. [解析] 对于函数,且,令,求得 , ,可得函数的图象恒过定点的坐标为 . 一、课前回顾 2 2.如图所示的曲线是对数函数,,, 的图象, 则,,, 与1的大小关系为_. 3 0<a<1 a>1 图象 定义域 值域 性质 (2)减函数 (2)增函数 二、揭示目标 1.会比较两个对数值的大小 2.会解对数不等式 3.会求复合型对数函数单调性 4.知道反函数的概念 三、自学指导(阅读课本132-134页,回答下列问题。) 思考 同底的指数函数与对数函数的关系 给出函数f(x)=2x,g(x)=log2x. 1.这两个函数的定义域、值域之间有什么关系? f(x)的定义域、值域分别是g(x)的值域、定义域. 2.在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象,观察它们有什么关系? f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称. 反函数: (1)一般地,指数函数 与对数函数 互为反函数,它们的定义域与值域正好互换. (2)互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. y=ax(a>0,且a≠1) y=logax(a>0,且a≠1) y=x 例1 四、当堂训练(请同学完成以下例题及变式) 例1 变式训练: 比较下列各组数的大小. (1)与 ; 解:在 上单调递减,又因为,所以 . (2)与 ; 解:因为在上,的图象在 图象的上方,所以 . (3)与,且 . 解:当时, 为增函数, 所以 ; 当时, 为减函数, 所以 . 14 比较两个对数值大小的方法 与 型(同底数) ①构造函数 ; ②判断与 的大小关系; ③利用 的单调性比较大小. (2)与 型(同真数) ①在同一坐标系中作与 的图象; ②作直线与两图象分别交于, 两点; ③根据, 点高低判断对数值的大小. (3)与 型(底数不同,真数不同) ①取中间值,通常为1,0,或 ; ②把两个对数值与中间值进行比较; ③利用不等关系的传递性,间接得到对数值的大小关系. 15 例2(1)解不等式 ; 解:原不等式等价于 解得 . 所以原不等式的解集为 . (2)若,求实数 的取值范围. 解:若,则,所以 . 若,则 , 所以 , 综上所述,实数的取值范围是, . 16 变式训练: 17 , 与不等式组 同解. ,与不等式组 同解. (3)特别地,当底数的取值范围不确定时,通常需要对底数按及 进行 分类讨论. 18 例3 求函数 的单调区间. 解:由得函数的定义域为或 . 当时,为增函数,在上单调递增, 在 , 上单调递减, 所以在上单调递增,在 , 上单调递减. 当时,为减函数,在 上单调递增, 在 , 上单调递减, 所以在上单调递减,在 , 上单调递增. 综上可知,当时,的单调增区间为,单调减区间为 , ; 当时,的单调增区间为 ,,单调减区间为 . 19 变式训练: 的单调区间和值域. 解:由得函数的定义域为 . 为减函数,在上单调递增,在 上单调递减, 所以在上单调递减,在1 上单调递增 20 解决对数型复合函数单调性问题的思路 (1)对数型复合函数一般可以分为两类: ①一类是外层函数为对数函数,即型 对于型复合函数的单调性,有以下结论:函数 的单调性与 函数的单调性在时相同,在 时相反. ②另一类是内层函数为对数函数,即 型. 研究型复合函数的单调性,一般用换元法,即令 ,则只需研究 及 的单调性即可. (2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持 “定义域优先”的原则. 21 ,, . 解: , 令,由, , 则 , 所以有, , 所以当时, , 当时, , 所以函数的值域为 . 22 变式训练: 已知函数,,求 的最大值及最 小值. 解:设,因为 , 所以, . 令,, , 的图象开口向上,对称轴为直线 , 在, 上是减函数, 所以, . 所以函数的最大值为7,最小值为 . 23 (1)对数函数的值域为 . (2)求形如且 的复合函数值域的步骤: ①求函数的定义域; ②将原函数拆分成,且,两个函数; ③由定义域求 的取值范围; ④利用函数且的单调性求值域. 同理可求 且 型复合函数的值域. 24 例5 若函数是函数,且的反函数,且 的图象经过点 ,,则 等于( ) B A.2 B. C. D. [解析] 依题意,点,在函数 的反函数的图象上, 则点,在函数的图象上,得 , 解得 .故选B. 25 变式训练: 若点,既在 的图象上,又在其反函数的图象上,则 _. [解析] 由题意知,,,均在函数 的图象上, 故有解得 所以 . 26 (1)指数函数与对数函数的关系 同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)应用反函数的性质时涉及的知识点 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称; ②函数的图象过点是的反函数的图象过点 的充要条件; ③互为反函数的两函数的单调性相同; ④反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域. 27 五、小组汇报 德宏州民族第一中学 各小组对本节内容进行讨论,组长落实,组员不清楚的知识点和解题方法,安排会的同学帮助解决;安排好准备发言汇报的同学(安排B层学生汇报)。 选两个组进行汇报。 第一个组汇报本组成员学习情况并对第一个问题本节知识要点做展示; 第二个组汇报本组成员学习情况并对第二个问题例题应用做展示; 其他组在上面两个组汇报的基础上做补充。 六、教师点拨 德宏州民族第一中学 教师适时关注学生汇报的情况和展示的内容,对存在的问题及时纠正;对学生不会的地方及时点拨和引导; 七、当堂检测(习题4.4第140页) 所以当燃料质量是火箭质量的0.6%时,火箭的最大速度可达到12 km/s? (3)从(2)的图中你发现了什么? ∴当一条鱼的耗氧量为2 700个单位时,它的游速是1.5 m/s 6.在2h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( ) B 9.某地由于人们健康水平的不断提高,某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低.要将当前的患病率降低一半,需要多少年? 所以要将当前的患病率降低一半,大约需要5年. (1)解法一:如图, 德宏州民族第一中学 八、课后反思 1.如何比较两个对数值的大小? 2.如何解对数不等式? 3.如何求复合型对数函数单调性? 4.反函数的概念是什么? $$