二次函数与方程 重难点突破 2024-2025学年人教版九年级数学上册

二次函数与方程重难点突破 突破4 二次函数与方程(一) 根与交点 类型一 交点得根 1.(2023汉阳)已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的方程 的两实数根分别是( ) A.1和-1 B.1和-2 C.1 和2 D.1 和3 2.已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(--1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是( ) A.(-3,0) B.(3,0) C.(1,0) D.(-2,0) 3.(2022 江汉)抛物线 经过点A(--3,0),B(4,0)两点,则关于x 的一元二次方程 的解是 . 4.(2022武昌)已知抛物线. 与x 轴交于(--2,0),(3,0),则关于x的一元二次方程 的解为 . 类型二 根得交点 5.(2022七一华源)若抛物线 与直线 y=2 交于 A,B 两点,则 AB 的长为 . 6.已知关于x 的一元二次方程 有一根为一2，则抛物线 与直线y=-x+2的交点坐标为 . 类型三 整体求值 7.(2023蔡甸期末)已知抛物线 与 x 轴的一个交点为(m，0)，则代数式 2m+2 022 的值为( ) A.2 021 B.2 020 C.2 022 D.2 023 8.已知抛物线 与 x 轴交于点 A(a,0)和 B(b,0),则 的值为( ) A.1 B.-1 C.2 022 D.-2 022 9.(2022洪山)二次函数 的图象与x轴交于A(m,0),B(n,0)两点,且 则k 的值为 . 突破5 二次函数与方程(二) 根的判别式 类型一 抛物线与x 轴的公共点 1.(2021江汉期中)若抛物线 与坐标轴有两个公共点，则m 的值是 . 2.(2024泸州中考)已知二次函数 (x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围为( ) 3.(2024宿迁模拟)对于任意实数m，抛物线 与x轴都有公共点，则n 的取值范围是 . 类型二 抛物线与直线的公共点 4.(武昌联考)经过点 P(0，2)的直线l 与抛物线 有唯一公共点，则直线l的解析式为 . 5.(2022六中上智)已知二次函数 一次函数 ，若它们的图象对于任意的实数k 都只有一个公共点，则a-b+c的值为( ) 6.(2024桂林一模)对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.若二次函数 (c为常数)有两个不相等的不动点，则c 的取值范围是( ) B. c<-2 C. c>-2 7.(2024岳阳一模)若要在抛物线 (k为常数,k≠--3)上找点 M(m,m+1)，则能找到点 M 的个数是( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 类型三 利用“Δ”解决存在性问题 8.(2023江岸)如图,抛物线 与直线y= kx+1交于A,B 两点,抛物线与x轴交于C，D 两点(点C在点 D 的左侧).若直线AB 上存在唯一的一点Q，使得∠OQC=90°,求出此时k 的值. 9.(武汉中考)如图，点P 是直线l： 上的一点，过点 P 的另一条直线m 交抛物线 于A，B两点.求证：对于直线l上给定任意一点 P，在抛物线上都能找到点A，使 成立. 突破6 二次函数与方程(三) 根系关系 类型一 根系关系求参数 1.(2024汉中)二次函数 (b,c为常数)的图象与x 轴交于. 0)两点，则二次函数的最小值为( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 2.(2022江汉期中)若抛物线 (m为常数)与直线. 有两个交点. 且 则m 的取值范围是( ) 3.(2022东湖高新)如图,直线y= kx-1与抛物线 交于 P，Q两点，且y 轴平分线段 PQ,求 k 的值. 类型二 根系关系求坐标 4.(2022 外校)如图,已知抛物线C 与直线. 相交于A,B 两点(点 A在点B 的左边).若 且 ，求直线l 的解析式及点 B 的坐标. 5.(2022武昌实验)如图，已知抛物线 过点 Q(0,3)作直线 l 交抛物线于点 E,F(点 E 在点 F 的左侧)，点Q 关于原点的对称点为 P.当 时，求点 E，F的坐标. 类型三 根系关系定线 6.(2024乌鲁木齐)抛物线 与动直线 交于M,N 两点，线段 MN 中点为H, 则 的最小值为( ) 类型四 根系关系求定值 7.(2022三寄)如图,直线. 与抛物线 交于A,B 两点(点 A 在点B 的左边).求证：无论 m 为何值，AB 的长总为定值. 8.(2022黄陂实验)如图,直线 与x轴交于点A，与抛物线 交于B,C 两点,过点 B,C 分别作x轴的垂线,垂足分别为M,N,求AM·AN 的值. 突破7 二次函数与方程(四) 根与不等式 类型一 根据x(或y)求y(或x)的取值范围 1.(2023武汉十一初)已知二次函数 (1)若-3≤x≤3,则y 的取值范围为 ; (2)若-8≤y≤-3,则x 的取值范围为 . 2.(2024沧州)已知二次函数 的图象经过点(1,-1)和(0,-4),则当y≤-1时,x的取值范围是( ) A.0<x≤1 B.-1≤x≤1 C.-2≤x≤1 D.-3≤x≤1 类型二 利用与 x 轴的交点判断取值范围 3.抛物线 的部分图象如图所示，则当y<0时，x的取值范围是 ；当y>0时，x的取值范围是 ；当y>2时，x的取值范围是 . 4.(2022武昌)如图,抛物线 交y轴于点(0，5)，对称轴为直线x=-2.若y>0,则x的取值范围是( ) A.-4<x<1 B.-5<x<1 C. x<-5或x>1D. x<-4或x>1 5.(2023江汉)已知关于x 的二次函数 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a 的取值范围是 . 类型三 利用与直线交点判断取值范围 6.如图，二次函数 和一次函数 的图象，观察图象写出 时，x的取值范围是 . 类型四 作差法比较函数值的大小 7.(2024福建中考)已知二次函数 的图象经过 两点，则下列判断正确的是( ) A.可以找到一个实数 a ，使得 B.无论实数a 取什么值，都有 C.可以找到一个实数a，使得 D.无论实数a 取什么值，都有 突破8 二次函数与方程(五) 根的分布 类型一 比较根的大小 1.(2024杭州模拟)已知抛物线 与x 轴的两交点的横坐标分别α，β(α<β)，而x²+ bx+c--2=0的两根为m,n(m<n),则α,β,m,n的大小顺序为( ) A.α<β<m<n B. m<α<β<n C.α<m<β<n D. m<α<n<β 类型二 分析方程整根 2.(2023江岸)已知抛物线 的对称轴为x=--1，与x 轴的一个交点为(2，0).若关于x 的一元二次方程 有整数根，则p 的值有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.(2023东西湖)已知抛物线 经过(-4,0)与(2,0)两点,关于x 的方程 bx+c+m=0(m>0)有两个实数根,其中一个根是4.若关于x 的方程 (0<n<m)也有两个整数根，则这两个整数根是( ) A.-2或0 B.-4或2 C.-5或3 D.-6或4 类型三 根的分布求参 4.(2024达州中考)若抛物线 与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是( ) A. b+c>1 B. b=2 D. c<0 5.(2024江岸)对于一个函数，自变量x取t时，函数值y为t，则称t为这个函数的不动点.如果二次函数 (c为常数)有两个相异的不动点x₁,x₂,.且 则c 的取值范围是 . 突破9 二次函数与方程(六) 公共点问题 1.(2023中考模拟)已知函数点 P(a，ka)在该函数的图象上，若这样的点 P 恰好有3个，求k 的值. 2.(2023江汉期末)如图，将抛物线. 的图象位于直线. 以上的部分向下翻折，得到新的图象(实线部分)，若直线 y=-x+m与新图象只有四个交点，则m 的取值范围是( ) 3.(2022 湘西州)已知二次函数 及一次函数y=-x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数. 的图象(如图所示)，当直线y=-x+b与新图象有4个交点时，则b的取值范围是 . 4.(2023中考模拟)如图，将抛物线C: 在 x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线. 与图象G有两个公共点.求 m 的取值范围. 突破10 二次函数与方程(七) 参变分离 类型一 参变分离解决一元二次方程区间范围内根的问题 1.(2023七一华源)若关于x 的一元二次方程 (t为实数)，在--1≤x≤4的范围内有两个不相等的实数根，则t 的取值范围是( ) A.3≤t<8 B.-1≤t<3 C.-1≤t≤8 D.-1<t≤3 类型二 参变分离解决抛物线与直线(线段)公共点问题 2.(2024江汉期末)若函数 的图象在-1<x<1的范围内与x 轴恰好有一个公共点，则a 的取值范围是( ) A.0<a<4 B.0<a≤4 C.0≤a≤4或a=-0.5 D.0<a≤4或a=-0.5 3.(2024济南)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1，3)，B(—2,—6),C(0,0)等都是“三倍点”.在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是( ) 类型三 参变分离解决恒成立问题 4.(2024汉阳)已知抛物线 (m为常数)，若对满足 的任意实数x，都使得 成立，则实数 m 的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$