安徽省宣城市泾县中学2025届高三直升部上学期数学周测（3）试卷

试卷第 1页，4页 2025 届泾县中学直升部高三数学周测数学试卷（3） 祝考试愉快 一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1. 已知 i为虚数单位，复数 z满足 2iz z  ，则 z的虚部为 （ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 2. 等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 5 10S S ， 5 1a  ，则 1a （ ） A． 2 B． 7 3 C．1 D．2 3.△ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c．已知 sin sin (sin cos ) 0B A C C   ， a=2，c= 2，则 C=（ ） A． π 12 B． π 3 C． π 4 D． π 6 4. 函数 ( )f x 是定义在 R上的偶函数，且 (1 ) (1 )f x f x   ，若  0,1x ， ( ) 2xf x  ， 则 (2024)f （ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 5. 已知 10,2sin cos 2     R ，则 tan2 的值为（ ） A. 3 4 B. 3 4  C. 4 3 D. 4 3  6. 已知数列 na 的前 n项和为  21 1 24, 1, 1 ,n n nS a S S n n S     N （ ） A．276 B．272 C．268 D．266 7.已知函数 ( ) sin 2 cos 2 ( 1)f x x x     的一个零点是 π 2 ，且 ( )f x 在 π π, 6 16      上单调，则  （ ） A． 5 4 B． 7 4 C． 9 4 D． 11 4 8．已知 0x  ， 0y  ，且 2e lnx x y  ，则（ ） A． 2ey  B． 2 2exy  C． 2 elnx y  D． 2 2e 1x   试卷第 2页，4页 二、多选题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分） 9. 已知 O为坐标原点，点  1 cos1,sin1P ，  2 cos 2, sin 2P  ，  3 cos3,sin 3P ，  1,0Q ， 则（ ） A. 1 2OP OP   B. 1 2QP QP   C. 3 1 2OQ OP OP OP       D. 1 2 3OQ OP OP OP       10．已知函数   sin sin3f x x x  ，则（ ） A．  f x 的图象关于点  π,0 中心对称 B．  f x 的图象关于直线 π 4 x  对称 C．  f x 的值域为 8 3 8 3, 9 9       D．  f x 在 π 3π,2 4      上单调递增 11．若函数   3 23f x x x ax b    ，  f x 与 x轴的三个交点依次为  1, 0A x ，  2 ,0B x ，  3, 0C x ，且在这三个交点处的切线斜率分别记为 1k ， 2k ， 3k ，则下列说法中正确的是（ ） A． 3a  B．B．若 9a   ，则    1.1 3.09 2 22f f b    C．若 1x ， 2x ， 3x 成等差数列，则 2a b  D． 2 31 1 1 1 0 k k k    三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12. 已知    sin cos , tan tan 3x y x y x y     ，则  tan x y  . 13. 函数 2xy m m   在  ,2 上的最大值为 4，则 m的取值范围是______． 14. 已知函数  f x 满足      1 ,f x f x f x  为  f x 的导函数，     1 , 3 g x f x  xR . 若 2026n na g       ，则数列 na 的前 2025项和为 . 试卷第 3页，4页 四、解答题（本大题共 5小题，共 77分．解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤） 15．（13分）已知函数    2 lnf x x a x  . (1)若 1 2 a  时，求  f x 的最小值； (2)若   2 1f x x x   恒成立，求实数 a的取值范围. 16．（15分）已知函数   π π πsin cos sin 6 3 2 f x x x x                      ． (1)求函数  f x 的单调递减区间； (2)将函数  f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 （纵坐标不变），再向右平移 π 6 个单 位，得到函数  g x 的图象，若   6 5 g    ，且 π 5π, 6 12        ，求 cos2的值 17.（15分）已知正项等差数列 na 的公差为 2，前 n项和为 nS ，且 1 2 31 1S S S ， ， 成等比 数列. (1)求数列 na 的通项公式 na ； (2)若   1 , 1 sin , 2 n n n n S b n S n       为奇数， 为偶数， 求数列 nb 的前 4n项和. 试卷第 4页，4页 18.（17分）．在面积为 S的 ABCV 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且  2 2sin sin2 sinsin sin C AS a b A B C        ． (1)求 C的值； (2)若 2c  ，求 ABCV 周长的最大值； (3)若 ABCV 为锐角三角形，且 AB边上的高 h为 2，求 ABCV 面积的取值范围． 19.（17分）设  f x 是函数  f x 的导函数，若  f x 可导，则称函数  f x 的导函数为  f x 的二阶导函数，记为  f x .若  f x 有变号零点 0x x ，则称点   0 0,x f x 为曲线  y f x 的 “拐点”. (1)研究发现，任意三次函数    3 2 0ax bx d af x cx     ，曲线  y f x 都有“拐点”，且 该“拐点”也是函数  y f x 的图象的对称中心.已知函数   3 2 24f x x bx x d    的图象 的对称中心为  1,3 ，求函数  f x 的解析式，并讨论  f x 的单调性； (2)已知函数   1 3 22 2 1 1 1 2e 1( 0) 6 2 3 mxg x mx x x m m m m        . （i）求曲线  y g x 的“拐点”； （ii）若      1 2 1 22g x g x x x    ，求证： 1 2 2x x m   . 2025届泾县中学直升部高三数学周测数学试卷（3） 参考答案 单选题 1-4 B B D C 5-8 A A B B 多选题 9 AC 10 ACD 11 BCD 填空题 12 -3 13 14 675 解答题 15、（1）当时，， 当时，， 在上单调递减； 当时，，在上单调递增，. （2）由 ，令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减 . 16、（1） . 由，解得 即时，函数单调递减， 所以函数的单调递减区间为； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象， 所以. 若，则， . 由，得，又， 所以，则， 故 .故的值为. 17、（1）因为， 所以，即，解得或， 又因为，所以，所以. （2），所以， 所以 ， ， 所以前项和. 18（1）由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； （2）由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； （3）由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 19、（1），，， 又函数的图象的对称中心为，即拐点为， 解得， ，， 函数在上为正，在上为负，在上为正， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）， ，. 显然，在上单调递增，且， 是的变号零点， 又， 曲线的拐点是. （ii）由（i）可得，当时，单调递减； 当时，单调递增； ， 函数在上单调递增，不妨设. 要证，即证，即证， 又，即证，即证. 令，则， ， 函数在上单调递增，又， 函数在上单调递减，在上单调递增. 得证，即成立. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$