广东省深圳市外国语学校2024-2025学年北师大版九年级上学期月考数学试卷（10月份）

九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果，则(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程配方后可化为(    ) A. B. C. D. 3.菱形，矩形，正方形都具有的性质是(    ) A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 4.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段，则线段AB的长是(    ) A. B. 2 C. D. 5 5.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 6.若∽，与的面积比为1：16，则AB与DE的比是(    ) A. 1：4 B. 1：8 C. 1：16 D. 1：32 7.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为求车道的宽度单位：设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AE、AF，BD交AF于点G，若，，则DG的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.一元二次方程的一个解为，则______. 10.如图，在菱形ABCD中，，则菱形ABCD的周长为______. 11.已知m是方程的一个根，则的值为__________. 12.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为若，，则ON的长为______. 13.如图，在中，，，，D为AC中点，E为BC上一点，连接AE、BD交于点F，若，则CE的长为______. 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题8分 解方程：； 已知a、b、c为的三边长，且，，求三边的长. 15.本小题6分 在的网格中，画一个格点三角形三角形的顶点都在虚线的交点上，使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况所画图形不能超出虚线范围 16.本小题7分 根据以下素材，探索完成任务. 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个. 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个， 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 17.本小题8分 如图，D是的边AC上的一点，连接BD，已知 求证：∽ 若，，求线段CD的长． 18.本小题8分 如图，在矩形ABCD中，，，点E、F同时分别从D、B两点出发，以的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为 求证：四边形EGFH是平行四边形. 填空： ①当t为______ s时，四边形EGFH是菱形； ②当t为______ s时，四边形EGFH是矩形. 19.本小题12分 如图，已知平行四边形ABCD，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形ABCD边上的一个动点. 点B的坐标为______；点 C的坐标为______； 点G是AD与y轴的交点，求点G的坐标； 若点P在AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； 若点P在折线上，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们交于点M，将沿直线PG翻折，点M的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点P的坐标. 20.本小题12分 如图，在菱形ABCD中，点P为对角线AC上的动点，连结DP，将DP绕点D按逆时针方向旋转至DQ，使，PQ与CD交于点 请在图中找出与相似的三角形是______；在不添加任何辅助线条件下 已知，， ①当时，求的面积； ②连结CQ，当为直角三角形时，求AP的长； ③当DC将分成的两部分的面积之比为1：2时，请直接写出AP值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：， 故选： 由，根据比例的性质，即可求得的值． 此题考查了比例的基本性质．此题比较简单，注意熟记比例变形． 2.【答案】D  【解析】解：， ， ， ， 故选： 利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查菱形的性质、矩形的性质以及正方形的性质. 根据菱形，矩形，正方形具有的性质依次判断选项即可. 【解答】 A项，矩形四边不相等，菱形四角不相等，故A项错误; B项，菱形对角线不相等，故B项错误; C项，矩形对角线不互相垂直，故C项错误; D项，菱形、矩形、正方形的对角线都互相平分，故D项正确， 故选： 4.【答案】D  【解析】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ， ， 解得， 故选： 过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，即，解得， 的取值范围为且 当且时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选： 由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为m的取值范围． 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义． 6.【答案】A  【解析】解：∽， ， 故选： 由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解． 本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方． 7.【答案】B  【解析】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位图中阴影部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得： 故选： 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位图中阴影部分可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：在矩形ABCD中，，，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AC，交BD于点O； ，， 在直角三角形ABD中，， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得：， ， ， ∽， ， ， 解得：， 故选： 连接AC，交BD于点O，先证明，，进而可得∽，由，求出，，再由∽，得，即可求出DG的长． 本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9.【答案】3  【解析】解：由题知， 将代入一元二次方程得， ， 解得 故答案为： 将代入一元二次方程，求出a的值即可． 本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． 10.【答案】8  【解析】解：四边形ABCD是菱形，， 菱形ABCD的周长是 故答案为： 根据菱形的四条边都相等解答即可． 本题考查的是菱形的性质，熟练掌握菱形的四条边都解答本题的关键． 11.【答案】  【解析】解：把代入得 ， ， ， 故答案为： 把代入方程，求出的值，然后利用多项式乘多项式法则计算，最后把的值代入进行计算即可． 本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 12.【答案】  【解析】解：，， ∽， ， ，， ， 垂直平分BE， ， ， ， 四边形ABCD是正方形， ，， 作于点F， ， ， ， 是BE的垂直平分线， ，， ， ， ≌， ， 故答案为： 通过证明∽，可得OM：：BA，可求OM的长，作于点F，则四边形AMFD为矩形，证明≌得，即可求解． 本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质．证明∽是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：取AB的中点H，连接CH，过点B作AE的垂线，垂足为点G，如图， ，，， ， 为AC中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 解得， 设，，， ，， ∽， ， 即， 解得或， 经检验或都是原方程的解，但不符合题意，舍去， ， 故答案为： 利用勾股定理求得AB和BD的长，证明，得到，推出∽，得到，设，，再证明∽，得到，据此求解即可． 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，等边三角形的判定和性质．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 14.【答案】解：， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ，，， 三边的长分别为12，16，  【解析】根据该方程的特点，利用公式法求出该方程的解即可； 设，则，，由得，解方程求出k的值，再分别求出a、b、c的值即可． 此题重点考查一元二次方程的解法、比例线段及比例的性质等知识，正确理解和运用这些知识是解题的关键． 15.【答案】解：如图，∽，相似比为2； 如图，的三边长分别为1，，， ∽，相似比为   【解析】把的三边扩大2倍，然后根据网格结构分别找出对应点的位置，再顺次连接即可； 把的三边扩大倍，并分别求出相似三角形的三边，然后根据网格结构找出对应点的位置，再顺次连接即可． 本题考查了利用相似变换作图，确定合适的相似比，然后根据网格结构找出对应点的位置是解题的关键． 16.【答案】解：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让车企得到实惠， 答：该零件的实际售价应定为50元．  【解析】设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17.【答案】解：在和中， ，， ∽； ∽， ， ，， ， 则  【解析】根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； 由相似得比例，求出AC即可得到CD的长． 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 18.【答案】  8或  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ， 点E、F同时分别从D、B两点出发，以的速度沿DC、BA向终点C、A运动， ， 在和中， ， ≌， ， 点G、H分别为AE、CF的中点， ，且， 四边形EGFH是平行四边形． ①连EF， 四边形EGFH是菱形，G是AE的中点． ， ， ， ， 故答案为： ②四边形EGFH是矩形， ， ， ， ∽， ， ， 解得：， 故答案为：8或 易证≌，进而易得，且，所以四边形EGFH是平行四边形． ①四边形EGFH是菱形，G是AE的中点，则，得到，根据，列方程求解； ②四边形EGFH是矩形，易得∽，则根据列方程求解即可． 本题主要考查矩形、菱形、平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及数形结合的综合运用，第2小题根据结论逆向分析列出方程是解决问题的关键． 19.【答案】  【解析】解：已知平行四边形ABCD，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限， ， ，轴， 由D的坐标得：， 故答案为：，； 设直线AD的解析式为，把点A，点D的坐标代入得： ， 解得， 直线AD的解析式为， 在中，当时，， 点G的坐标为； 点P在AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，设，且， 若点P关于x轴的对称点在直线上， ， 解得， 此时 若点P关于y轴的对称点在直线上时， ， 解得， 此时 综上所述，点P的坐标为或； 当点P在AB上时，如图1， 由折叠的性质可得，，， 轴，轴， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ，即轴， 、A、B三点共线， ， 当点P在DA上时，设直线AD的解析式为与x轴交点为K，则， 如图2，点落在x轴上， 由折叠的性质可得，， 轴， ， ， ， 设点且，则， ，， ， 解得：， 点， 综上所述：点P的坐标或 利用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解即可； 利用待定系数法求出直线AD的解析式，进而求出点D的坐标即可； 设出点P的坐标，然后分P、Q关于x轴对称和关于y轴对称两种情况，分别求出点Q的坐标，再根据点Q在直线进行求解即可； 分两种情况讨论：当点P在AB上时，由折叠的性质可得，，，证明是等腰直角三角形，进而证明四边形是正方形，从而得到、A、B三点共线，则，即可求出当点P在DA上时，证明，再利用两点距离公式求出点M坐标即可解题． 本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形变化-轴对称等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：与相似的三角形是；理由如下： 在菱形ABCD中，， ， ， ， ， ， ，， ， ∽， 故答案为：； ①如图2，连接BD，在菱形ABCD中，BD与AC互相垂直平分， ， ， ， ， ∽， ， ， ∽， ， ； ②如图2，当时，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ， 如图3，当时，延长DP交AB于H， 设，则， ∽， ，， ∽， ， ， 解得， ， 当时， 的情况不存在， 综上所述，AP的值等于4或； ③，，， ， ∽， ， ，， ∽， ，即， ， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，AP的值等于或 与为两个等腰三角形，得到，从而推算出从而证明∽； ①根据勾股定理算出DO，证明∽，根据相似比分别求出DP、AP，计算出面积，再利用三角形的相似比计算出的面积； ②当时，证明≌得出计算出AP；当证明∽，根据相似比计算出 ③证明∽和∽，由∽推出∽，得到，再分两种情况讨论，即可求解． 本题考查菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形的相关知识． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$