第二十二章 二次函数 复习试题 2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上第二十二章《二次函数》复习试题 一．选择题（共10小题） 1．小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格： x … ﹣1 0 1 2 … y … 4 2 … 发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（　　） A．（﹣1，） B．（0，4） C．（1，） D．（2，2） 2．已知A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2040上的两点，则正数n＝（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 3．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是（　　） A．0＜y＜3 B．0＜y≤4 C．3＜y≤4 D．﹣5≤y≤4 4．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 5．二次函数y＝（x+1）（x﹣3）的图象的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝﹣1 6．函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象可以由函数y＝﹣x2的图象通过（　　）得到． A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 7．当ab＜0，函数y＝ax2与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A．B． C．D． 8．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则4a+2b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B．2 C． D．5 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0， 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（　　） A．1 B． C．3 D．4 二．填空题（共9小题） 11．二次函数y＝x2﹣6x﹣1的一次项系数是 　 　． 12．若二次函数y＝（m+1）x2的图象过点（﹣2，4），则m＝　 　，这个二次函数的表达式为 　 　.当x 　 　时，y随x的增大而减小；当x 　 　时，y随x的增大而增大． 13．对一切实数x，函数y＝x2+|4x﹣a|的值，均不小于6，则非负实数a的最小值是　 　． 14．如图，抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为P，M为对称轴上一点，如果PM＝OM，那么点M的坐标是 　 　． 15．图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），桥面CB∥OA，其抛物线解析式为，抛物线上点A离桥面距离AB＝22米，若存在一点E使得，则点E到抛物线的距离ED＝　 　米． 16．如图1是太原漪汾桥实物图，桥拱可以近似看作抛物线，图2是其示意图，以桥面OA所在的直线为x轴，桥墩OC所在的直线为y轴，建立平而直角坐标系、桥墩OC＝4.5米，跨度OA＝20米，桥拱最高点到桥面的距离为4米．当桥拱上一点M到直线OC的距离是15米时，则点M到地面CB的距离是　 　． 17．如图，菱形OABC的顶点O，A，C在抛物线y＝x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB＝2，则菱形OABC的面积是 　 　． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD＝2，则四边形ABCD周长的最小值为 　 　． 19．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．若该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD＝S△ABC，则D点的坐标为 　 　． 三．解答题（共5小题） 20．一辆汽车在笔直的公路上以v0＝20（单位：m/s）匀速行驶，当发现前方有紧急情况时，立刻脚踩刹车（反应时间，忽略不计），此后速度开始均匀减小，1秒后速度降为15（单位：m/s），且汽车在刹车的过程中滑动距离S和刹车时间t满足，求汽车速度降为0（单位：m/s）共用几秒？汽车的刹车车距离为多少？（即速度降为0时汽车的滑动距离） 21．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条． （1）求y与x的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出400元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？直接写出销售单价． 22．如图，抛物线y＝ax2﹣6ax﹣6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC．已知抛物线顶点纵坐标为﹣8． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，M为线段OB的中点，过点M作MN∥BC，交y轴于点N，P是抛物线上位于直线BC下方的一个动点，连接PM，交BC于点Q，连接PN，NQ．当△PNQ的面积最大时，求出此时点P的坐标及△PNQ的面积最大值； （3）当点P满足（2）问的条件时，在直线BC上是否存在一点E，在平面内是否存在一点F，使得以点P，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设P是抛物线位于第二象限的图象上一点，且使△APC的面积最大，求此时△APC的面积的最大值和P点的坐标． （3）设点Q是y轴上一点，且使△ADQ为直角三角形，求出满足此条件的点Q的坐标． 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．B． 2．C． 3．B． 4．C． 5．A． 6．C． 7．A． 8．C． 9．B． 10．D． 二．填空题（共9小题） 11．﹣6． 12．0，y＝x2，＜0，＞0． 13．10． 14．（2，）． 15．3.25． 16．7.5米． 17．2． 18．2+2． 19．（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）． 三．解答题（共5小题） 20．解：依题意，设速度与时间的关系为v＝kt+b， 将（0，20），（1，15）代入得， ， 解得：， ∴v＝﹣5t+20， 当v＝0时，t＝4， 则汽车速度降为0（单位：m/s）共用4秒； 当t＝4时，（米）， 答：汽车速度降为0（单位：m/s）共用4秒；汽车的刹车车距离为40米． 21．解：（1）由题意可得： y＝100+5（80﹣x） ＝﹣5x+500， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500； （2）由题意，得： w＝（x﹣40）（﹣5x+500） ＝﹣5x2+700x﹣20000 ＝﹣5（x﹣70）2+4500， ∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下， ∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4500， ∴应降价80﹣70＝10（元）． ∴当降价10元时，每月获得最大利润为4500元； （3）由题意得： ﹣5（x﹣70）2+4500＝4020+400， 解得x1＝66，x2＝74， ∵抛物线w＝﹣5（x﹣70）2+4500开口向下，对称轴为直线x＝70， ∴当66≤x≤74时，符合该网店要求， ∵要让消费者得到最大的实惠， ∴x＝66． ∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 22．解：（1）∵y＝ax2﹣6ax﹣6＝a（x﹣3）2﹣9a﹣6， ∴抛物线顶点坐标为（3，﹣9a﹣6）， ∵抛物线顶点纵坐标为﹣8， ∴﹣9a﹣6＝﹣8， 解得：a＝， ∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣6； （2）在y＝x2﹣x﹣6中，令x＝0，得：y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， 令y＝0，得：x2﹣x﹣6＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝9， ∴A（﹣3，0），B（9，0）， ∵M为线段OB的中点， ∴OM＝BM＝， ∴M（，0）， ∵MN∥BC， ∴＝＝， ∴ON＝OC＝3， ∴N（0，﹣3）， ∴ON＝3， 在Rt△MON中，MN＝＝＝， 设直线MN的解析式为y＝kx+b， 则：， 解得：， ∴直线MN的解析式为y＝x﹣3， 设P（m，m2﹣m﹣6），如图1，过点P作PK∥y轴交直线MN于点K，作PH⊥MN于点H，过点B作BG⊥MN于点G，连接BN， ∴K（m，m﹣3），∠PHK＝∠BGM＝∠MON＝90°，∠PKH＝∠MNO，BG∥PH， ∴PK＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣6）＝﹣m2+2m+3， ∴S△PMN＝•OM•PK＝××（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+m+， ∵MN∥BC， ∴S△MNQ＝S△MNB， ∵OM＝BM， ∴S△MNB＝S△MNO＝•OM•ON＝××3＝， ∴S△MNQ＝， ∴S△PNQ＝S△PMN﹣S△MNQ＝﹣m2+m+﹣＝﹣（m﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴当m＝时，S△PNQ的最大值为， 当m＝时，m2﹣m﹣6＝×（）2﹣×﹣6＝﹣， ∴点P的坐标为（，﹣）； （3）∵P（，﹣），C（0，﹣6）， ∴PC＝＝； 设直线BC的解析式为y＝k1x+b1， ∵B（9，0），C（0，﹣6）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣6， 设E（t，t﹣6），则PE2＝（t﹣）2+[t﹣6﹣（﹣）]2，CE2＝（t﹣0）2+[t﹣6﹣（﹣6）]2， ∵以点P，E，C，F为顶点的四边形为菱形， ∴分三种情况：CP＝CE或CP＝PE或CE＝PE， ①当CP＝CE，以CP、CE为边时，如图2， ∴CE2＝CP2，即：（t﹣0）2+[t﹣6﹣（﹣6）]2＝（）2， 解得：t＝﹣或， ∴点E的坐标为（﹣，﹣﹣6）或（，﹣6）， ②当CP＝PE，以CP、PE为边时，如图3， ∴PE2＝CP2，即：（t﹣）2+[t﹣6﹣（﹣）]2＝（）2， 解得：t＝或t＝0（舍去）， ∴E（，）， ③当CE＝PE，以CE、PE为边时，如图4， ∴CE2＝PE2，即：（t﹣）2+[t﹣6﹣（﹣）]2＝（t﹣0）2+[t﹣6﹣（﹣6）]2， 解得：t＝， ∴E（，﹣）， 综上所述，点E的坐标为（﹣，﹣﹣6）或（，﹣6）或（，）或E（，﹣）． 23．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）， ∴设y＝a（x+3）（x﹣1）， 则﹣3a＝3， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图1，过点P作PF⊥x轴于F，交直线AC于E，设P（m，﹣m2﹣2m+3）， 设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC解析式为y＝x+3， ∴E（m，m+3）， ∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m， ∴S△APC＝S△APE+S△PEC＝•PE•（m+3）+•PE•（﹣m）＝（﹣m2﹣3m）＝﹣（m+）2+， ∵﹣＜0，﹣3＜m＜0， ∴当m＝﹣时，S△APC有最大值，且最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）； （3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线顶点坐标为（﹣1，4）， 设点Q（0，n）， AD2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+（4﹣0）2＝20，QA2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣n）2＝9+n2，QD2＝（﹣1﹣0）2+（4﹣n）2＝n2﹣8n+17， ∵△ADQ为直角三角形， ∴∠ADQ＝90°或∠DAQ＝90°或∠AQD＝90°， ①当∠ADQ＝90°时，AD2+QD2＝QA2， ∴20+n2﹣8n+17＝9+n2， 解得：n＝， ∴Q（0，）； ②当∠DAQ＝90°时，AD2+QA2＝QD2， ∴20+9+n2＝n2﹣8n+17， 解得：n＝﹣， ∴Q（0，﹣）； ③当∠AQD＝90°时，QA2+QD2＝AD2， ∴9+n2+n2﹣8n+17＝20， 解得：n1＝1，n2＝3， ∴Q（0，1）或（0，3）； 综上所述，Q的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，1）或（0，3）． 学科网（北京）股份有限公司 $$