备战2025年中考数学一轮复习小专题特训：一次函数

备战2025年中考数学一轮复习小专题特训：一次函数 一、单选题 1．下列函数中，是正比例函数的为（   ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   3．如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 4．函数的图象在第一、二、四象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．直线与x轴交于点，下列说法正确的是（　　） A． B．直线上两点，若，则 C．直线经过第四象限 D．关于x的方程的解为 6．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（厘米）与观察时间x（天）之间的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴）．现有下列说法：①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②直线的函数表达式为；③观察第40天时，该植物的高度为14厘米；④该植物最高为16厘米．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点均在轴上，点在轴上，点在第一象限，已知直线的函数解析式为：，点是直线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个．经市场调研发现，该零件每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（    ）元． A．25 B．20或40 C．40 D．20 二、填空题 9．在平面直角坐标系中，且符合一次函数，则该一次函数是 ． 10．将函数的图象向下平移个单位长度后，得到的新图象的函数表达式为 ． 11．已知x轴上有A点，y轴上有B点，直线交x轴的正半轴于点E，交y轴于点F，若与相似（点O是坐标原点），则k的值为 ． 12．如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ． 13．如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ． 三、解答题 16．已知正比例函数，当时，，求当时的值． 17．如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 18．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元． (1)设每件涨价x元，每周卖出y件，求y与x的函数关系式． (2)若每周可获利w元，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 19．某公司计划从厂家采购一批“秦岭四宝国潮档案袋”（以下简称：档案袋）和“秦岭四宝国潮手账本”（以下简称：手账本）， 已知档案袋元/个，手账本元/本，经了解，厂家有两种优惠方案： 方案一：购买手账本没有优惠，购买档案袋不超过个时，每个都按九折优惠，超过个时，部分每个按七折优惠； 方案二：档案袋和手账本都按原价的八折优惠 若该公司购买（）个档案袋，本手账本． (1)请分别求两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用（元）与（个）之间的函数关系式； (2)若该公司决定购买档案袋个，请你通过计算，在两种方案中，帮助该公司选择所花总费用较少的一种． (3)当该公司购买多少个档案袋时，选择方案一和方案二所需的总费用相同． 20．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 21．正方形中，点分别在上，，过作的垂线交的延长线于． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，求的周长． (3)如图，建立如图所示的坐标系，点在坐标原点，分别在轴、轴上，，，点是的交点，求的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C D C A D 1．B 【分析】本题考查正比例函数的判断．根据正比例函数的定义：形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正比例函数，本选项不符合题意； B、是正比例函数，本选项符合题意； C、不是正比例函数，本选项不符合题意； D、不是正比例函数，本选项不符合题意； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了一次函数的图象，依据正比例函数的图象从左往右下降，则，进而得到一次函数的图象与轴交于负半轴，故A选项正确． 【详解】解：A、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象与轴交于负半轴，故A选项符合题意； B、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象应该与轴交于负半轴，故B选项不符合题意； C、若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数 的图象与应该轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项不符合题意； D、正比例函数的图象应该要过原点，明显D选项不符合题意． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了一次函数与不等式的解集，数形结合是解题的关键．根据图象解答即可． 【详解】解：∵直线交坐标轴于， ∴不等式的解集为． 故选D． 4．C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质及解一元一次不等式组，根据函数与系数的关系得到，解不等式组即可得出答案 【详解】函数的图象在第一、二、四象限， ， 解得， 故答案为：C． 5．D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和系数的关系、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质、一次函数与方程的关系逐项判断即可． 【详解】解：A．由与x轴交于点，则，解得，故A错误，不符合题意； B．由，则y随x的增大而增大，直线上两点，若，则，故B错误，不符合题意； C．由、，则直线经过一、二、三象限，故C错误，不符合题意； D．由直线与x轴交于点，则当时，函数，即关于x的方程的解为，故D正确，符合题意． 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查一次函数图象与实际问题的综合运用，掌握从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题的关键．根据题意，设所在直线的解析式为，从函数图象中可得，，运用待定系数法求出解析式，当时，当时，分别求出对应点的函数值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设所在直线的解析式为，且点，， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， 当时，；当时，，即； ∵射线平行于轴， ∴， ∴结论①，从开始观察起，天后该植物停止长高，故结论①错误； 结论②，所在直线的函数表达式为，故结论②正确； 结论③，观察第天时，即当时，，该植物的高度为厘米，故结论③正确； 结论④，当时，，该植物最高为厘米，故结论④正确； 综上所述，正确的有②③④，共个， 故选：C． 7．A 【分析】由求出，，然后通过勾股定理求得，连接，交于点，连接交于点，连接，过作轴于点，当点与重合，即三点共线时由最小值，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：由， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 连接，交于点，连接交于点，连接，过作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∴当点与重合，即三点共线时由最小值， 在中，， ∴的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数求点的坐标和性质，轴对称——最短路径问题，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，根据“企业每周销售这种零件可获利6000元”列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得，， 又售价不能超过35元/个， ∴， 即每个零件的售价应定为20元， 故选：D． 9． 【分析】本题涉及到一次函数的表达式的求法，代入点正确计算是解题关键． 已知函数过点，我们可以将点的坐标代入函数表达式中求出的值即可求得结果． 【详解】解：将代入中， 得， 解得， ∴该一次函数是． 10． 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将函数的图象向下平移个单位长度后，得到的新图象的函数表达式为， 故答案为：． 11．或 【分析】本题主要考查了相似三角形对应边成比例的性质、两直线相交等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键． 根据点的坐标得、，再根据相似三角形对应边成比例分和、是对应边的两种情况分别求出的长，然后求出k的值即可． 【详解】解：∵A点，y轴上有B点， ∴、， ∵直线交x轴的正半轴于点E，交y轴于点F， ∴， ， ∵与相似， ∴或，即或，解得或， 当时，，代入得，解得：， 当时，，代入得，解得：． ∴或． 故答案为：或． 12． 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此所求方程组的解就是两个一次函数图象的交点的横纵坐标． 【详解】解：由图知：函数和的图象交于点， 则，同时满足两个函数的解析式， 是二元一次方程组的解． 故答案为：． 13． 【分析】如图，作轴于，证明，则，，，，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，进而可得． 【详解】解：如图，作轴于， 由题意知，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点是解题的关键． 14． 【分析】作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 设直线的解析式为，代入点，，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由可设直线的解析式为，代入点得： ，即， 直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ∴根据中点坐标公式可得：点E的横坐标为，纵坐标为， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考常考题型． 15． 【分析】本题主要考查一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律． 由题意易得，设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依此代入即可求解． 【详解】解：在直线， ∴ ， ， 设，，，，， 则有， ， ， 又∵，，，…都是等腰直角三角形， ， ， ， 将点坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，求函数值，先利用待定系数法求出正比例函数解析式，再把代入所得解析式计算即可求解，掌握待定系数法求正比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，一次函数与几何图形， 对于（1），将点A的坐标代入关系式，再令，，即可求出点B，C的坐标； 对于（2），作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，根据两点之间线段最短得出最小，再根据待定系数法求出直线解析式，即可得出答案； 对于（3），根据两个三角形的面积差计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． 当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点，根据两点之间线段最短得出最小． ∴点． 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：如图所示． ． 18．(1)； (2)每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解． （1）每件涨价元，所售件数是件，即可得到结论； （2）每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式；再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：6250． 此时售价为：元． 答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元． 19．(1)方案一：；方案二： (2)方案二 (3)个 【分析】（）根据题意写成函数解析式即可； （）将代入（）中相应的函数解析式，求出两种方案下的花费情况，然后比较大小，即可求解； （）根据题意列出方程即可求解； 本题考查一次函数的应用，根据题意正确写出相应的函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：方案一：当时，， 当时，， 综上，； 方案二：； （2）解：方案一的费用：元， 方案二的费用：元， ∵， ∴选择方案二所花总费用较少； （3）解：由题意得，， 解得， 答：该公司购买个档案袋时，选择方案一和方案二所需的总费用相同． 20．(1)；； (2)能， (3)当时，有最大值 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ； ， ， ， ； （2）当时，， ， ， 或（舍去）， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 21．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由，推出，根据即可证明； （）证明，可得，可以得到的周长，据此即可求解； （）求出直线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可． 【详解】（1）证明:∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长； （3）解：设， ∵，， ∴，，，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 由，解得， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的交点问题，掌握以上知识点是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$