2024-2025学年人教版九年级数学上册10月月考 试卷

九年级（上）10月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.关于x的方程是一元二次方程，则a满足(    ) A. B. C. D. 为任意实数 3.下列事件中发生的可能性为0的是(    ) A. 抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上 B. 今天黄冈市最高气温为  C. 路边抛掷一石头，石头终将落地空中无任何遮拦 D. 不透明袋子中放了大小相同的兵兵球和金属球，从中去摸取出兵兵球 4.如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是(    ) A. B. C. D. ≌ 5.定义运算m☆，例如4☆，则方程2☆的根的情况为(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6.用配方法解方程，配方后得到的方程是(    ) A. B. C. D. 7.2023年4月23日是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一.据统计，某书院对外开放的第一个月进书院400人次.进书院人次逐月增加，到第三个月进书院484人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.已知和是方程的两个根，则的值为(    ) A. B. 2021 C. D. 2023 9.已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 10.已知关于x的一元二次方程与，下列判断不正确的是(    ) A. 若方程有两个实数根，则方程也有两个实数根 B. 如果m是方程的一个根，那么是的一个根 C. 如果方程与有一个根相等，那么这个根是1 D. 如果方程与有一个根相等，那么这个根是1或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知函数是二次函数，则m等于______. 12.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是______. 13.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______。 14.如图，中，将绕点A顺时针旋转得，AE与BC交于F，则__________ 15.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接CE、BF，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______填序号 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 解方程： ； 17.本小题7分 西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是西安音乐厅，陕西大剧院，西安美术馆，曲江太平洋电影城.春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同. 甲同学选择参观西安音乐厅的概率是______； 请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率. 18.本小题7分 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度将平移得到，且的坐标是，画出； 将绕点A逆时针旋转得到，画出； 小娟发现绕点P旋转也可以得到，请直接写出点P的坐标. 19.本小题9分 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在AB上，连接 若，求的度数； 若，，求BD的长. 20.本小题9分 小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质． 请你帮小强先将该二次函数化成形式在下面空白处写出过程，并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象． x … ______ 0 1 … y … 0 ______ 0 … 根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，也是______图形，它的对称轴是______； ②该图象的顶点坐标为______，该函数有最______值填“大”、“小”； ③当x ______时，y随x的增大而减小． 21.本小题9分 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000， 若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； 市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 22.本小题12分 材料1：法国数学家弗朗索瓦韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系韦达定理：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根. 请根据上述材料解决下面问题： ①已知一元二次方程的两根分别为，，则______，______. ②已知实数a，b满足：，，则______. 已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围. 设实数a，b分别满足，，且，求的值. 23.本小题12分 如图1，在中，，，点D、E分别在边AB、AC上，，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点． 观察猜想： 图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______； 探究证明： 把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN，判断的形状，并说明理由； 拓展延伸： 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可解答． 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2.【答案】A  【解析】解：方程是关于x的一元二次方程， ， 解得 故选： 根据一元二次方程的定义得到，由此可以求得a的值． 本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3.【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了可能性的大小，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件发生的概率为1，即必然事件；不可能事件发生的概率为0，即不可能事件；如果A为不确定事件，那么根据事件发生的可能性既不是0，也不是的事件就是可能发生也可能不发生的事件，即不确定事件，从而得出答案． 【解答】 解：A、抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上，是随机事件； B、今天黄冈市最高气温为是不可能事件，可能性为0； C、路边抛掷一石头，石头终将落地空中无任何遮拦是必然事件，可能性为1； D、不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球是随机事件. 故选： 4.【答案】C  【解析】A.把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合， ， 故选项正确，不符合题意； B.把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合， ， 故选项正确，不符合题意； C.根据图形旋转的性质和已知条件，没法证明，故选项错误，符合题意； D.把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合， ≌， 故选项正确，不符合题意． 故选： 根据旋转图形的性质逐项进行判断即可． 本题考查图形旋转，掌握图形旋转及其性质是解题关键． 5.【答案】A  【解析】解：☆， ☆， ， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选： 先根据已知条件中的定义，把方程2☆化成一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可． 本题主要考查了新定义和一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断方程根的情况． 6.【答案】A  【解析】解：把方程移项，得 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 配方得 故选： 先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方． 本题考查了配方法解一元二次方程． 配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把二次项的系数化为1； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 7.【答案】B  【解析】解：依题得进书院人次的月平均增长率为x， 书院对外开放的第一个月进书院400人次， 则第二个月进书院人次为， 第三个月进书院人次为， 又第三个月进书院484人次， 有， 故选： 根据题意书院对外开放的第一个月进书院400人次，则第二个月进书院人次为，第三个月进书院人次为，又第三个月进书院484人次，用x表示第三个月进书院人次即可列出方程． 本题考查的知识点是实际问题与一元二次方程中的增长率问题，解题关键是理解题意． 8.【答案】A  【解析】解：和是方程的两个根， ，， 即，， ， ，是方程的两个根， ，， 原式 故选： 先利用一元二次方程的解的定义得到，，则可化为，接着利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 9.【答案】B  【解析】解：，， 抛物线开口向上，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而减小；关于直线的对称点是， ， ， 故选： 由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断，，的大小关系，从而可以解答本题． 本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答． 10.【答案】C  【解析】解：A、方程有两个实数根， ， ， 方程也有两个实数根，正确； B、是方程的一个根， ， 是的一个根，故正确； C、由题意知，， 设相等的根是m， 则①，②， ①-②得， 整理得，， ，， ， 故C错误；D正确； 故选： 根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论． 本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：函数是二次函数， ， 解得 故答案为： 根据二次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 本题考查的是二次函数的定义，在解答此题时要注意二次项系数不为0这一关键条件． 12.【答案】  【解析】解：每次抛掷硬币正面朝上的概率均为，且两次抛掷相互不受影响， 抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，第二次反面朝上的概率为， 故答案为： 根据概率的意义直接回答即可． 本题考查概率的意义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为。 故答案是：。 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答。 本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数。 14.【答案】90  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质．根据已知条件“将绕点A顺时针旋转得到”找到旋转角是解题的关键．根据旋转的性质可知，然后在中利用三角形内角和定理可以求得，即 【解答】解：是由绕点A顺时针旋转得到的， ； 又已知， 在中，， 故答案是 15.【答案】①②③  【解析】解：由题意知，绕点A逆时针旋转得到， ≌，， ，， ，，，，； 故①符合题意； ，， ； 故③符合题意； ， ， ； 故②符合题意； ； 故④不符合题意； 故答案为：①②③． 根据旋转的性质可得≌，，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定，熟练掌握旋转转的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 16.【答案】解：， ， 或， ，； ， ， ， 或， ，  【解析】根据直接开方法解方程即可； 根据分解因式法解方程即可． 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的解法． 17.【答案】  【解析】解：一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性， 甲同学选择参观西安音乐厅的概率是 故答案为：； 列表如下： A B C D A B C D 由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学选择不同场馆参观的结果有12种， 甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为 利用简单地概率公式计算即可； 利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 18.【答案】解：如图所示，即为所求； 如图所示，即为所求； 如图所示，点P即为所求，点P的坐标为  【解析】根据的坐标是，即可画出； 根据绕点A逆时针旋转得到，即可画出； 连接两对对应点，分别作两条连线的垂直平分线，其交点P即为所求，进而得出坐标． 本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换作图，旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 19.【答案】解：绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在AB上， ，，， ， ， ， ； 在中， ， ， 绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在AB上， ，，， ， 在中，  【解析】先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； 先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出BD的长． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理． 20.【答案】轴对称  直线大    【解析】解：； x … 0 1 … y … 0 2 0 … 画出函数的图象如图： 由图象可知： ①该图象是一条抛物线，也是轴对称图形，它的对称轴是直线； ②该图象的顶点坐标为，该函数有最大值； ③当时，y随x的增大而减小． 故答案为：轴对称，直线；，大； 利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；列表、描点，连线即可确定函数的图象； 观察图象即可得到． 本题考查了二次函数的三种表现形式，二次函数的图象及二次函数的性质，二次函数的最值，作二次函数的图象时，关键是抓住几个关键点． 21.【答案】解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得，不合题意，舍去 答：每次降价的百分率是； 假设下调a个50元，依题意得： 解得 所以下调150元，因此定价为2750元．  【解析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，据此即可列方程求解； 假设下调a个50元，销售利润=一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 22.【答案】  【解析】解：①一元二次方程的两根分别为，， ；； 故答案为：；； ②实数a，b满足：，， ，b是方程的解， ，， ； 故答案为：； 实数m、n、t满足：， ，n是方程的解， ，， ， ，， ， ， ； ，， ， ， ， 是方程的解， ， ，， ①根据根与系数的关系解答； ②根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； 根据根与系数的关系，m，n是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出 t的范围，即可； 先得出是方程的解，得到，，再整体代入，求解即可． 本题考查根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 23.【答案】解：，； 是等腰直角三角形． 理由：如图2，连接CE，BD， 由旋转知，， ，， ≌， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同的方法得，， ， 同的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形；   【解析】点N，P是BC，CD的中点， ，， 点P，M是CD，DE的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 见答案； 若，， 在中，，， ， 同理：， 由知，是等腰直角三角形，， 最大时，面积最大， 当点D在BA的延长线上，BD最大，即PM最大 ， ， 故答案为： 利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论； 先判断出≌，得出，同的方法得出，，即可得出，同的方法即可得出结论； 先判断出BD最大时，的面积最大，而BD最大是，即可得出结论． 本题属于几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解的关键是判断出，，解的关键是判断出≌，解的关键是判断出MN最大时，的面积最大． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$