第17讲 两点的距离公式 （1个知识点+1种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第17讲 两点的距离公式 （1个知识点+1种题型+分层练习） 知识清单 知识点．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 题型强化 题型一．两点间的距离公式 1．坐标轴上到点的距离等于5的点有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋•虹口区校级期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么、两点的距离等于 　　． 3．（2021秋•宝山区校级期中）阅读材料： 两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点，、，，那么、两点的距离．则． 例如：若点，，则， 根据上面材料完成下列各题： （1）若点，，则、两点间的距离是 　　． （2）若点，点在坐标轴上，且、两点间的距离是5，求点坐标． （3）若点，，且、两点间的距离是5，求的值． 分层练习 一、单选题 1．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（    ） A．a=，b=，c= B．∠A+∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：3：2 D．(b+c)(b﹣c)=a2 2．如图所示的是小杰使用微信告诉小宇从小宇家到小杰家的方式.根据小杰所说的，最后应向东走（   ） A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米 3．已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，则这三点的位置关系是（　　） A．是直角三角形的顶点 B．在同一条直线上 C．是等边三角形的顶点 D．以上都不对 4．如图，牧童家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m,且C、D两处的距离为600m，天黑牧童从A处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（    ） A．800m B．1000m C．1200m D．1500m 5．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（  ） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点 6．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点的距离等于10的点共有 个． 8．小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要 分钟. 9．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有 个． 10．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求 km． 11．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A 千米． 12．已知一个三角形各顶点坐标为、 、，则此三角形为 ． 13．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    14．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站 千米的地方． 15．已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为 ． 16．如图所示,李明从家出发向正北方向走了1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方,这时,李明向正东方向走了 米. 17．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走 m. 18．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ． 三、解答题 19．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 20．如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 21．如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 22．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 23．如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 24．铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离. 25．两个村庄C、D在河的同侧，已知，C、D两村到河的距离分别为，．现在要在河边建一水厂，向C、D两村送自来水，铺设水管的费用为每千米2万元，请在上选择水厂位置E，使水厂到两村庄距离相等． (1)请用圆规和直尺在图中作出水厂E的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求铺设水管的总费用． 26．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 27．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 两点的距离公式 （1个知识点+1种题型+分层练习） 知识清单 知识点．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 题型强化 题型一．两点间的距离公式 1．坐标轴上到点的距离等于5的点有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】坐标轴上到点的距离等于5的点有，，，，共4个． 【解答】解：因为与点所在直线平行且距离为5的直线有四条，所以与点的距离等于5的点有共4个， 分别为：，，，． 故选：． 【点评】主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用，要掌握两点间的距离公式有机地和图形结合起来求解的方法． 2．（2023秋•虹口区校级期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么、两点的距离等于 　　． 【分析】直接利用两点之间的距离公式计算． 【解答】解：，， ， 即、两点的距离等于5． 故答案为：5． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为． 3．（2021秋•宝山区校级期中）阅读材料： 两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点，、，，那么、两点的距离．则． 例如：若点，，则， 根据上面材料完成下列各题： （1）若点，，则、两点间的距离是 　　． （2）若点，点在坐标轴上，且、两点间的距离是5，求点坐标． （3）若点，，且、两点间的距离是5，求的值． 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算的长； （2）当点在轴上，设，利用两点间的距离公式得到，解方程求出得到此时点坐标；当点在轴上，设，利用两点间的距离公式得到，解方程求出得到此时点坐标； （3）利用两点间的距离公式列方程，然后解方程即可． 【解答】解：（1）点，， ； 故答案为； （2）当点在轴上，设， 而点，、两点间的距离是5， ，解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上，设， 而点，、两点间的距离是5， ，解得或， 此时点坐标为或； 综上所述，点坐标为或或或； （3）点，，且、两点间的距离是5， ， 整理得， 解得，， 即的值为或6． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为． 分层练习 一、单选题 1．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（    ） A．a=，b=，c= B．∠A+∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：3：2 D．(b+c)(b﹣c)=a2 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、按比例求角以及等式的变形逐项判定即可． 【详解】解：A. +=≠，故不是直角三角形，该选项符合题意； B . ∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则有2∠C=180°，即∠C=90°，故三角形为直角三角形，该选项不符合题意； C, 因为∠A：∠B：∠C =1：3：2，则最大角为180°×90°，是直角三角形，该选项不符合题意； D、因为，即b2-c2=a2，可得b2 =a2+c2，则三角形为直角三角形，该选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、按比例求角以及等式的变形等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 2．如图所示的是小杰使用微信告诉小宇从小宇家到小杰家的方式.根据小杰所说的，最后应向东走（   ） A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米 【答案】D 【分析】通过题干给出的信息，画出简图，发现小宇走了6千米之后此时的位置与小宇家和小杰家构成了直角三角形，利用直角三角形的勾股定理解答. 【详解】 由图可知：小宇向北走6km后，小杰的家在小宇的正东方向. 此时可以运用勾股定理得，向东走的距离为：（km）. 故应选：D. 【点睛】本题考查了直角三角形的实际应用，解题关键在于，充分理解题干信息，画出简图进行分析. 3．已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，则这三点的位置关系是（　　） A．是直角三角形的顶点 B．在同一条直线上 C．是等边三角形的顶点 D．以上都不对 【答案】B 【分析】利用两点的距离公式，可得AB= 5，AC= 3，BC= 2，因为AB=AC+BC可得点A 、点B、点C在同一条直线上 【详解】∵A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)， ∴AB===5， AC= ==3， BC= ==2， ∴AB=AC+BC, ∴点A 、点B、点C在同一条直线上. 故选：B 【点睛】此题考查了两点间的距离公式，掌握公式是解答此题的关键. 4．如图，牧童家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m,且C、D两处的距离为600m，天黑牧童从A处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（    ） A．800m B．1000m C．1200m D．1500m 【答案】B 【详解】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可． 作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵CD=600m，BD=300m，AC=500m， ∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m， ∴A′E=A′C+CE=500+300=800m， 在Rt△A′CE中，， 故选B. 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 5．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（  ） A．AB的中点 B．BC的中点 C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点 【答案】A 【分析】先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置． 【详解】解：如图 ∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000 ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴活动中心P应在斜边AB的中点． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形． 6．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点的距离等于10的点共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查的是两点间距离公式，利用两点间距离公式，进行分类讨论：设一点为Q（x，0）或（y，0），根据两点间距离公式得到方程，分别解方程即可确定Q点坐标 【详解】解：设这一点为Q，坐标轴上点Q到点P的距离等于10， 若点Q在x轴上，设Q（x，0）则，解得x=0或x=-12，此时Q点坐标为（0,0），（-12,0）； 若点Q在y轴上，设Q（0，y）则，解得y=0或y=16，此时Q点坐标为（0,0），（0,16） 所以坐标轴上到点P（-6,8）的距离等于10的点有（0,0），（-12,0），（0,16），故答案为3 【点睛】本题的关键是掌握两点间的距离公式，进行分类讨论 8．小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要 分钟. 【答案】2.05 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】如图：AC=40米，BC=9米， 根据勾股定理得：AB= =41(米)， 41÷20=2.05. 故答案为2.05； 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于画出图形. 9．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有 个． 【答案】3 【详解】解：点A的坐标是（3，4），因而OA=5，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点就是以点A为圆心，以5为半径的圆与坐标轴的交点，圆与坐标轴的交点是原点，另外与两正半轴有两个交点，共有3的点．所以坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有3个． 故答案是：3． 【点睛】正确确定满足条件的点是解决本题的关键． 10．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求 km． 【答案】// 【分析】设，即可得到，结合于点A，于B根据勾股定理列式求解即可得到答案； 【详解】解：设，则， ∵，，，， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等， ∴，解得：， 故答案为：； 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解． 11．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A 千米． 【答案】10 【分析】根据使得B，C两村到P站的距离相等，需要证明，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设千米，则千米， ∵B、C两村到P站的距离相等， ∴． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为10． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键． 12．已知一个三角形各顶点坐标为、 、，则此三角形为 ． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查的是两点间的距离，根据两点间距离公式，分别求出AB、AC、BC的值即可得出答案 【详解】解： 因为AB=AC，所以此三角形时等腰三角形 【点睛】本题的关键是运用两点间距离公式分别求出AB、AC、BC的值 13．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答． 【详解】 解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站 千米的地方． 【答案】12 【详解】设AE=x千米,则BE=（36－x）千米, 在Rt△AEC中,CE2=AE2+AC2=x2+242, 在Rt△BED中, DE2=BE2+BD2=+122, ∵CE=ED, ∴x2+242=+122, 解得x=12, 所以E站应建在距A站12千米的地方,能使蔬菜基地C,D到E的距离相等, 故答案为12． 15．已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据两点间距离公式得到，由于C在x轴上，则b=0，然后根据勾股定理得到，在解一元二次方程即可 【详解】解： 因为∠ACB=90°，C点在x轴上， 所以 即，整理得， 解得 所以点C坐标为（-4,0）或（1,0） 【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理 16．如图所示,李明从家出发向正北方向走了1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方,这时,李明向正东方向走了 米. 【答案】1600 【分析】根据图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】根据图示可知∠ABC=90°，AC=2000，AB=1200， ∴BC==1600， 即李明向正东方向走了1600米， 故答案为1600. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键. 17．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走 m. 【答案】1000 【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可． 【详解】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵CD=600m，BD=300m，AC=500m， ∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m， ∴A′E=A′C+CE=500+300=800m， 在Rt△A′EB中， A′B===1000（m）． 即牧童最少要走1000米． 故答案为1000． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 18．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ． 【答案】km 【分析】首先在Rt△AMN中，求出AN，设PN=PM=x，在Rt△PAM中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】如图， 连接MP，在Rt△MAN中，MA=3，MN=4， 由勾股定理得， 设NP=xkm，则PM=xkm， ∴PA=（ -x）km， 在Rt△MAP中，由勾股定理得 ， 解得． 故答案为：km 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题． 三、解答题 19．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 20．如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 【答案】150米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴米， 又米， ∴米， ∴这段公路的总长度为150米． 21．如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 【答案】站应建在距离点，10千米处 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据使得，两村到站的距离相等，可得，再根据勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：设，则， 、两村到站的距离相等， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 又∵， ， ， 答：站应建在距离点，10千米处． 22．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 【答案】20千米处，等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定；设，则，根据勾股定理可得：在直角中，，在直角中，，则，即可求出；进而得出，，通过证明，得出，推出，即可得出是等腰直角三角形． 【详解】解：设，则， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得：， 即； ∴市场E应建在距A的20千米处； ∵，， 在和中， ， 可得， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形． 23．如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-垂直平分线，勾股定理的应用： （1）连接，作的垂直平分线交于点E，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等，点E即为所求作； （2）设图书室E到居民区A的距为，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求作． （2）解：设图书室E到居民区A的距为，即，， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得： 图书室E到居民区A的距离为． 24．铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离. 【答案】收购站E到A站的距离为22km 【详解】分析：连接CD,并作线段CD的垂直平分线,垂直平分线到端点距离相等，再利用勾股定理求EA长. 点睛： 如图,连接CD,并作线段CD的垂直平分线,与AB相交于点E,点E即为所建土特产收购站的地点. 连接DE,CE ，设AE=x km, 则BE=(50-x) km , 在Rt△ADE中,, ∴ , 在Rt△BCE中, , ∴, 又DE=CE,  ∴ , 解得x=22  .      ∴收购站E到A站的距离为22km. 点睛： 勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方. 25．两个村庄C、D在河的同侧，已知，C、D两村到河的距离分别为，．现在要在河边建一水厂，向C、D两村送自来水，铺设水管的费用为每千米2万元，请在上选择水厂位置E，使水厂到两村庄距离相等． (1)请用圆规和直尺在图中作出水厂E的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求铺设水管的总费用． 【答案】(1)见解析 (2)铺设水管的总费用80万元． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，垂直平分线的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）连接，根据题意作出的垂直平分线交于点E，即为所求； （2）设，则，首先根据勾股定理列方程求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，点E即为所求； （2）设，则 ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴， ∴（万元）． ∴铺设水管的总费用80万元． 26．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）△ABC是直角三角形； 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC， ∴CH＝（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 27．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：. 学科网（北京）股份有限公司 $$