第1章一元二次方程同步练习卷-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程同步练习卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．3x2﹣2x﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0 2．用配方法解方程x2+6x＝1，变形后结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝7 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝9 D．（x+3）2＝10 3．已知1+是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则它的另一根是（　　） A．1﹣ B．﹣4﹣ C．2﹣ D．﹣1 4．下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 5．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　） A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x2）＝315 C．560（1﹣2x）＝315 D．560（1﹣x）2＝315 6．若关于x的一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0 7．某校图书馆四月份借出图书300本，统计员在统计数据时，发现四月份后图书馆借出的图书每个月都在增加，且四、五、六月份共借出图书1092本．设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（　　） A．300（1+x）+300（1+x）2＝1092 B．300（1+x）2＝1092 C．300+300（1+x）+300（1+x）2＝1092 D．300+2×300（1+x）＝1092 8．如图所示，在一幅长为70cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅面积是4000cm2的挂图，设边框的宽为x cm，下列方程符合题意的是（　　） A．（70+2x）（40+2x）＝4000 B．（70﹣2x）（40﹣2x）＝4000 C．（70+x）（40+x）＝4000 D．（70﹣x）（40﹣x）＝4000 二．填空题（共6小题） 9．方程x2﹣9＝0的解为：　 　． 10．把x（x﹣2）＝4x2﹣3x化成一般形式后，其二次项系数为 　 　，一次项系数为 　 　，常数项为 　 　． 11．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是 　 　． 12．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝ 　 　． 13．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，则另一个方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+6＝0的解是 　 　． 14．张大伯有一块长为30m，宽为4m的矩形菜地．他准备在菜地上修建如图所示的小路，将矩形菜地分割成八个小块，然后在每个小块分别种上不同的蔬菜．若蔬菜的种植面积为81m2，小路的宽均相同，设小路的宽是x m，则根据题意可列方程 　 　． 三．解答题（共6小题） 15．解下列方程： （1）x2﹣6x+3＝0 （2）2x（x﹣1）＝3﹣3x． 16．已知关于x的一元二次方程2x2+mx+1＝0（m为常数）． （Ⅰ）若x＝﹣1是该方程的一个根，求m的值； （Ⅱ）当m＝﹣4时，求该方程的根； （Ⅲ）当m≥3时，判断该方程的根的情况，并说明理由． 17．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根α，β满足α2+β2＝17，求m的值． 18．兴城泳装出口140多个国家和地区，每年产值稳定在150亿左右．2024年兴城市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元，为了扩大销售，7月份该店准备采取降价措施，市场调研发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件．7月份商店的每天其它支出为2000元． （1）若降价5元，求平均每天的销售数量； （2）为了让老百姓得到实惠，每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为4000元？ 19．项目化学习 素材：全面推进美丽中国建设，当前在各地积极开展．我市在城市园林绿化建设方面，从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”，城市人居生态环境已有很大提升．其中，某一新建公园想在一块长为40m，宽为30m的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．现有两种小道设计方案，如图．其中：按图1的方案设计小道，测得草坪的面积是1064m2；如图2所示，修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪后，草坪的面积是地面面积的二分之一． 请根据以上信息解决下列问题： 任务1：求图1中道路的宽度； 任务2：经过一致协商，最终选择如图2所示的第二种小道设计方案．从美观角度考虑，决定在横竖两条小道上铺设花砖，求小道重叠部分花砖的面积． 20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2﹣4x+3＝0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，2x2﹣5x+2＝0是“　 　倍根方程”； （2）若关于x的方程x2+6x+m＝0是“三倍根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x2﹣bx+c＝0是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）； （4）由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是 　 　．（参考公式：，x、y均为正数） 第1章一元二次方程同步练习卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．3x2﹣2x﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0 【解答】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0为bx+c＝0，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选：C． 2．用配方法解方程x2+6x＝1，变形后结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝7 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝9 D．（x+3）2＝10 【解答】解：x2+6x＝1， 配方整理得：（x+3）2＝10， 故选：D． 3．已知1+是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则它的另一根是（　　） A．1﹣ B．﹣4﹣ C．2﹣ D．﹣1 【解答】解：设方程x2﹣3x+m＝0的另外一个根为x2， ∵1+是方程x2﹣3x+m＝0的一个根， ∴（1+）+x2＝3， 解得x2＝2﹣， 故选：C． 4．下列关于方程x2﹣5x+7＝0的结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0； ∴方程没有实数根； 故选：D． 5．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　） A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x2）＝315 C．560（1﹣2x）＝315 D．560（1﹣x）2＝315 【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得： 560（1﹣x）2＝315， 故选：D． 6．若关于x的一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．k≥﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0 【解答】解：由题意，Δ≥0且k≠0， ∴1+8k≥0， ∴k≥﹣， ∴k≥﹣且k≠0． 故选：C． 7．某校图书馆四月份借出图书300本，统计员在统计数据时，发现四月份后图书馆借出的图书每个月都在增加，且四、五、六月份共借出图书1092本．设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（　　） A．300（1+x）+300（1+x）2＝1092 B．300（1+x）2＝1092 C．300+300（1+x）+300（1+x）2＝1092 D．300+2×300（1+x）＝1092 【解答】解：设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x， 则五月份借出图书300（1+x）本，六月份借出图书300（1+x）2本， 根据题意，得300+300（1+x）+300（1+x）2＝1092， 故选：C． 8．如图所示，在一幅长为70cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅面积是4000cm2的挂图，设边框的宽为x cm，下列方程符合题意的是（　　） A．（70+2x）（40+2x）＝4000 B．（70﹣2x）（40﹣2x）＝4000 C．（70+x）（40+x）＝4000 D．（70﹣x）（40﹣x）＝4000 【解答】解：根据题意，得（70+2x）（40+2x）＝4000． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．方程x2﹣9＝0的解为：　x＝±3　． 【解答】解：x2﹣9＝0， x2＝9， x＝±3， 故答案为：x＝±3． 10．把x（x﹣2）＝4x2﹣3x化成一般形式后，其二次项系数为 　3　，一次项系数为 　﹣1　，常数项为 　0　． 【解答】解：x（x﹣2）＝4x2﹣3x， 整理得：3x2﹣x＝0， 则二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项为0． 故答案为：3，﹣1，0． 11．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是 　100（1﹣x）2＝64　． 【解答】解：由题意列方程得：100（1﹣x）2＝64 故答案为：100（1﹣x）2＝64． 12．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝ 　4　． 【解答】解：由ax2＝b（ab＞0）得，解得，可知两根互为相反数． ∵一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4， ∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1， ∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是2和﹣2， ∴， ∴＝4． 故答案为：4． 13．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，则另一个方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+6＝0的解是 　x＝4或x＝﹣1　． 【解答】解：令x﹣2＝t， 则原方程可化为at2+bt+6＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3， ∴at2+bt+6＝0的解是t1＝2，t2＝﹣3， ∴x﹣2＝2或x﹣2＝﹣3， 解得x＝4或x＝﹣1， 故答案为：x＝4或x＝﹣1． 14．张大伯有一块长为30m，宽为4m的矩形菜地．他准备在菜地上修建如图所示的小路，将矩形菜地分割成八个小块，然后在每个小块分别种上不同的蔬菜．若蔬菜的种植面积为81m2，小路的宽均相同，设小路的宽是x m，则根据题意可列方程 　（30﹣3x）（4﹣x）＝81　． 【解答】解：设小路的宽是x m， 根据题意得（30﹣3x）（4﹣x）＝81． 故答案为：（30﹣3x）（4﹣x）＝81． 三．解答题（共6小题） 15．解下列方程： （1）x2﹣6x+3＝0 （2）2x（x﹣1）＝3﹣3x． 【解答】解：（1）∵x2﹣6x＝﹣3， ∴x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6， 则x﹣3＝±， ∴x＝3， ∴x1＝3+，x2＝3﹣； （2）∵2x（x﹣1）＝﹣3（x﹣1）， ∴2x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（2x+3）＝0， ∴x﹣1＝0或2x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣1.5． 16．已知关于x的一元二次方程2x2+mx+1＝0（m为常数）． （Ⅰ）若x＝﹣1是该方程的一个根，求m的值； （Ⅱ）当m＝﹣4时，求该方程的根； （Ⅲ）当m≥3时，判断该方程的根的情况，并说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）将x＝﹣1代入方程得：2﹣m+1＝0，解得m＝3； （Ⅱ）将m＝﹣4代入方程得2x2﹣4x+1＝0， Δ＝16﹣8＝8＞0， x＝， x1＝，x2＝； （Ⅲ）Δ＝m2﹣8， ∵m≥3， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 17．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根α，β满足α2+β2＝17，求m的值． 【解答】（1）证明：整理原方程得，x2﹣5x+6﹣m2＝0， ∴Δ＝25﹣4（6﹣m2）＝1+4m2， ∵无论m为何实数，总有4m2≥0，从而1+4m2＞0， 即Δ＞0． ∴无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0整理得x2﹣5x+6﹣m2＝0， ∵方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0的两个实数根α、β， ，α+β＝5，αβ＝6﹣m2， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝25﹣2（6﹣m2）＝13+2m2＝17， ∴解得． 18．兴城泳装出口140多个国家和地区，每年产值稳定在150亿左右．2024年兴城市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元，为了扩大销售，7月份该店准备采取降价措施，市场调研发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件．7月份商店的每天其它支出为2000元． （1）若降价5元，求平均每天的销售数量； （2）为了让老百姓得到实惠，每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为4000元？ 【解答】解：（1）平均每天的销售数量为：100+10×5＝150（件）， 答：平均每天的销售数量150件； （2）设每件商品降价x元， 则（100+10x）（40﹣x）﹣2000＝4000， 解得x1＝10，x2＝20， 为了让老百姓得到实惠， x2＝10不合题意，舍去． 答：当每件商品降价20元时，销售利润为4000元． 19．项目化学习 素材：全面推进美丽中国建设，当前在各地积极开展．我市在城市园林绿化建设方面，从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”，城市人居生态环境已有很大提升．其中，某一新建公园想在一块长为40m，宽为30m的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．现有两种小道设计方案，如图．其中：按图1的方案设计小道，测得草坪的面积是1064m2；如图2所示，修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪后，草坪的面积是地面面积的二分之一． 请根据以上信息解决下列问题： 任务1：求图1中道路的宽度； 任务2：经过一致协商，最终选择如图2所示的第二种小道设计方案．从美观角度考虑，决定在横竖两条小道上铺设花砖，求小道重叠部分花砖的面积． 【解答】解：任务1：设图1中道路的宽度为x m， 依题意得，（40﹣x）（30﹣x）＝1064， 解得，x1＝2，x2＝68（舍去）， ∴图1中道路的宽度为2m， 答：图1中道路的宽度为2m， 任务2：设道路的宽度为y m， 依题意得，， 解得，y1＝5，y2＝30（舍去）， ∴道路宽为5m， 由题意知，小道重叠部分花砖为4个相同的边长为5m的正方形， ∵4×5×5＝100（m2）， ∴小道重叠部分花砖的面积100m2． 答：小道重叠部分花砖的面积100m2． 20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2﹣4x+3＝0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，2x2﹣5x+2＝0是“　四　倍根方程”； （2）若关于x的方程x2+6x+m＝0是“三倍根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x2﹣bx+c＝0是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）； （4）由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是 　1　．（参考公式：，x、y均为正数） 【解答】解：（1）解2x2﹣5x+2＝0得和x2＝2， ∵， ∴2x2﹣5x+2＝0是“四倍根方程”； 故答案为：四； （2）由题意可设：x＝n与x＝3n是方程x2+6x+m＝0的解， ∴， 解得：， ∴m的值为； （3）∵关于x的方程x2﹣bx+c＝0是“n倍根方程”， ∴可设x＝p与x＝np是方程x2﹣bx+c＝0的解， ∴， ∴消去p得：， （4）由参考公式：（x、y均为正数）可得， ∴， 故答案为：1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$