第17讲 直线和圆的位置关系（6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第17讲 直线和圆的位置关系（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点6．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型强化 题型一．直线与圆的位置关系 1．（2024秋•惠山区校级月考）一圆的半径为2，圆心到直线的距离为3，则该直线与圆的位置关系是　　 A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不对 2．（2024秋•沭阳县校级月考）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 　　． 3．（2023秋•新市区校级期末）如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为3，若，求线段． 题型二．切线的性质 4．（2024秋•兴隆台区校级月考）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•香坊区校级月考）如图，是的切线，为切点，连接，点在上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为 　　． 6．（2023秋•曲周县期末）在中，弦与直径相交于点，． （1）如图①，若，求； （2）如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小． 题型三．切线的判定 7．（2024•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，点与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 8．（2024•石阡县模拟）如图，直线，相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧处．若以的速度由向的方向移动，则 　　后，与直线相切． 9．（2023秋•琼中县期末）如图，为的直径，点在外，连接，，线段交于点，连接，，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 题型四．切线的判定与性质 10．（2023秋•莫旗期末）如图，在矩形中，，，以为直径作圆．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为　　 A．2.5 B．1.5 C．1 D．0.5 11．（2024秋•江北区校级月考）如图，在△中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接、，交于点，，，的值是 　　． 12．（2024秋•海淀区校级月考）如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点． （1）连接，求的度数； （2）求证：与相切； （3）点在弧上，，交于点．若，求的长． 题型五．切线长定理 13．（2024•城中区校级一模）如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为　　 A．60 B．55 C．45 D．50 14．（2023秋•滨城区期中）如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为 　　． 15．（2022•惠水县模拟）如图，为圆直径，，与圆相切于点，于点，交于点，若，． （1）求的长度． （2）求的长度． （3）求的长度． 题型六．三角形的内切圆与内心 16．（2024秋•香坊区校级月考）如图，在△中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则的长为　　 A．2 B．4 C．5 D．3 17．（2024•冠县一模）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则　　． 18．（2024•陕西）问题提出 （1）如图①，在△中，，，垂足为．若，，则的长为 　　； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块△型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 分层练习 一、单选题 1．已知的半径，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2．已知某直线到圆心的距离为，圆的周长为，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 3．已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 4．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 5．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 6．如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点A（8，4）是圆外一点，直线AC与⊙O切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，-2） 7．如图是的内切圆，，，分别为切点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，是的切线，切点为点H，连接、分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且，若的半径长为2，且，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 9．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（　　） A．65° B．50° C．45° D．40° 10．如图，矩形的长为，宽为，点为矩形的中心，的半径为，于点，．若绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与矩形的边所在的直线相切的位置一共出现（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 二、填空题 11．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R—r = ． 12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移   cm时与⊙O相切． 13．如图，AB是的直径，切于点，若，则 °. 14．如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 15．如图，直线与相切于点，且，则 ． 16．如图，已知⊙的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标是 ． 17．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，若∠BCD=120°，则∠APD的大小为 ． 18．如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝ 度． 三、解答题 19．如图，点O处有一灯塔，警示内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 20．梯形ABCD中，，，,且AD、BC为半径的中的两弦． （1）画出符合条件的大致图形，判断梯形ABCD形状为______． （2）求出该梯形的面积． 21．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 22．如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化． (1)设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽． (2)某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为和，且到的距离与到的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由． 24．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的两个实数根． （1）求弦AB的长度； （2）计算； （3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）． 25．已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作， (1)点在边上时（如图1） ①求证：点在边的垂直平分线上； ②如图2，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出长； ③如图3，点从运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长： (2)当点在边上时（如图4），若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积． 26．【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？ 【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号） ①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大 【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现． 【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 直线和圆的位置关系（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点6．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型强化 题型一．直线与圆的位置关系 1．（2024秋•惠山区校级月考）一圆的半径为2，圆心到直线的距离为3，则该直线与圆的位置关系是　　 A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不对 【分析】先确定出和的大小，然后根据和的大小关系进行判断即可． 【解答】解：由题意可知，， ． 直线与圆相离． 故选：． 【点评】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，依据和的数量关系判断直线和圆的位置关系是解题的关键． 2．（2024秋•沭阳县校级月考）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 　相离　． 【分析】解一元二次方程可得，，由题意得的半径为，再根据，可得：直线与的位置关系是相离． 【解答】解：， ， ，， 的半径为， 圆心到直线的距离， ， 直线与的位置关系是相离； 故答案为：相离． 【点评】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系等，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 3．（2023秋•新市区校级期末）如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为3，若，求线段． 【分析】（1）欲证明是的切线，只要证明即可； （2）过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形是菱形，得到，，于是得到结论． 【解答】解：（1）直线与相切，理由如下： 连接． 平分， ， ， ， ， ， ，即， ，即， 是半径， 是的切线； （2）过作于， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ． 【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 题型二．切线的性质 4．（2024秋•兴隆台区校级月考）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【解答】解：连接，， ，分别与相切于，两点， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 5．（2024秋•香坊区校级月考）如图，是的切线，为切点，连接，点在上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为 　　． 【分析】证明，求出，可得结论． 【解答】解：是切线， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2023秋•曲周县期末）在中，弦与直径相交于点，． （1）如图①，若，求； （2）如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小． 【分析】（1）根据，得到，即可得到，结合直径所对圆周角是直角求解即可得到答案； （2）根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角一半求出，结合切线性质得到直角求解即可得到答案． 【解答】解：（1）是△的一个外角，，， ， 在中，， ， ， 为的直径， ， ； （2）如图，连接， ， ， ， 在中，， ， 是的切线， ，即， ， ． 【点评】本题考查圆周角定理及切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 题型三．切线的判定 7．（2024•邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，点与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，时点的位置即可． 【解答】解：过格点，，作一圆弧， 三点组成的圆的圆心为：， 只有时，与圆相切， 当△时， ， 点的坐标为：， 点与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：和． 故选：． 【点评】此题主要考查了切线的性质及坐标与图形的性质，得出时，，即得出点的坐标是解决问题的关键． 8．（2024•石阡县模拟）如图，直线，相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧处．若以的速度由向的方向移动，则 　3或7　后，与直线相切． 【分析】当在直线左侧时如图，由，求得，则有即可求得时间；当在直线右侧时，同理求得即可求得时间． 【解答】解：当在直线左侧时，过点作交于点，如图， ，， ， ， ， 则向右移动了，所用时间秒； 当在直线右侧时，如图， 过点作交于点，则，， ， ， ， 则向右移动了，所用时间秒． 故答案为：3或7． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握含角的直角三角形的性质，圆的切线性质是解题的关键． 9．（2023秋•琼中县期末）如图，为的直径，点在外，连接，，线段交于点，连接，，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 【分析】（1）利用圆周角定理可得， （2）由（1）可得，由为半径，即可得证． 【解答】（1）解：， ， （2）证明：， ， ， 又为半径， 是的切线． 【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、三角形内角和定理等知识点，得出是解此题的关键． 题型四．切线的判定与性质 10．（2023秋•莫旗期末）如图，在矩形中，，，以为直径作圆．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为　　 A．2.5 B．1.5 C．1 D．0.5 【分析】证出，则，需计算，即需计算．在中，，根据勾股定理计算需先计算． 【解答】解：连接，延长交于点，作于点， 则， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，，， 四边形和四边形都是矩形，， ， ， ． 四边形是矩形， ，即， ． ． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，切线的判定与性质，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11．（2024秋•江北区校级月考）如图，在△中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接、，交于点，，，的值是 　　． 【分析】连接，，利用已知条件证明与圆相切，再根据切线的判定证明与圆相切，根据切线长定理证明，从而求出和，然后利用勾股定理求出，再根据切割线定理求出，根据中位线定理证明，求出，从而证明△△，最后根据相似三角形的性质求出答案即可． 【解答】解：如图所示：连接、， ， ， 为直径， ， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 与圆相切， ， ， ， ， ， ， 与圆相切， ， ， 是中点，是中点， 是△的中位线， ，， △△， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定与性质、三角形中位线定理等，解题关键是添加辅助线构造相似三角形，熟练掌握圆周角定理、切线的判定与性质、三角形中位线定理． 12．（2024秋•海淀区校级月考）如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点． （1）连接，求的度数； （2）求证：与相切； （3）点在弧上，，交于点．若，求的长． 【分析】（1）由和是的中点，得出垂直平分，再利用三角函数可以得到，进而得到△是等边三角形，． （2）利用（1）的结论和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用垂径定理和等腰三角形的判定与性质得到，再利用直角三角形的性质求得，最后利用圆的切线的判定定理即可作答； （3）先得出，因为，可以证明，，由（1）可知，，再根据特殊角的三角函数值可以得到的数值． 【解答】（1）解：如图，连接，， 是的中点，， 为的垂直平分线， ， ， ， △是等边三角形， ． （2）证明：由（1）知：△是等边三角形， ， ， 是的直径，弦于点， ， 即为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 是半径， 与相切． （3）解：如图， 是的直径，弦于点， 是中点， 即为的垂直平分线， ， ， ， ， ， 由（1）可知， ， 在△中，，，， ， 在△中，，，， ， 由（1）知， ， 在△中，，，， ． 【点评】本题考查圆的综合运用，垂径定理、切线的判定，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，需要学生能具有较强的推理和运算能力．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型五．切线长定理 13．（2024•城中区校级一模）如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为　　 A．60 B．55 C．45 D．50 【分析】根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：四边形外切于，切点分别为、、、， ，，，， ， 四边形的周长为：， 故选：． 【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 14．（2023秋•滨城区期中）如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为 　　． 【分析】设与正方形的边切于，与切于，连接，，得到四边形是正方形，求得，，根据全等三角形的性质得到，得到，进而求出的面积． 【解答】解：设与正方形的边切于，与切于， 连接，， 则四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．（2022•惠水县模拟）如图，为圆直径，，与圆相切于点，于点，交于点，若，． （1）求的长度． （2）求的长度． （3）求的长度． 【分析】（1）根据切线的判定定理得到、都是圆的切线，根据求写出定理分别求出、，进而求出； （2）证明，根据相似三角形的性质求出； （3）证明，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：（1）为圆直径，， 、都是圆的切线， 与圆相切于点， ，， ； （2），， ， ， ，即， 解得：； （3）过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， ， ，， ， ，即， 解得：． 【点评】本题考查的是切线长定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用切线长定理是解题的关键． 题型六．三角形的内切圆与内心 16．（2024秋•香坊区校级月考）如图，在△中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则的长为　　 A．2 B．4 C．5 D．3 【分析】根据切线长定理得：，，，再利用勾股定理列方程可得的长． 【解答】解：△的内切圆分别与、、相切于点、、， ，，， ， ， ， 解得：（舍或2， 故选：． 【点评】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 17．（2024•冠县一模）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则　　． 【分析】由的内切圆与，分别相切于点，，得，，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：的内切圆与，分别相切于点，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理等知识，推导出是解题的关键． 18．（2024•陕西）问题提出 （1）如图①，在△中，，，垂足为．若，，则的长为 　　； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块△型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式可求出的长； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置，过点作于，于，于，连接，，，过点作于，设 ，的半径为 ，则，再根据勾股定理列出关于的方程得，则，进而得，则，然后根据，得，据此可得的半径． 【解答】解：（1）在△中，，，， 由勾股定理得：． 由三角形的面积得：， ， ． 故答案为：． （2）可以． 三角形内最大的圆是三角形的内切圆， 所求圆的圆心是△的内心， 作和的平分线，交于点， 则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 过点作于，于，于，连接，，，过点作于，如图所示： 设 ，的半径为 ， ，，， ， 在△中，由勾股定理得：， 在△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 点为△的内心， ， ， ， 即， ． 【点评】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解决问题的关键． 分层练习 一、单选题 1．已知的半径，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决． 【详解】解：∵的半径，圆心O到直线l的距离， ∴， ∴直线l与相交， 故选：A． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 2．已知某直线到圆心的距离为，圆的周长为，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，即可得到问题选项． 【详解】解：∵圆的周长为10πcm， ∴圆的半径为5cm， ∵圆心到直线l的距离为5cm， ∴d=r， ∴直线与圆相切， ∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键． 3．已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、圆和圆的位置关系 【分析】首先解方程x2-7x+10=0，求得两圆半径r1、r2的值，又由两圆的圆心距为7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径r1、r2的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系 【详解】∵， 解得：， ∴两圆半径r1、r2分别是2，5． ∵2＋5=7，两圆的圆心距为7， ∴两圆的位置关系是外切． 故选C． 4．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【知识点】三角形内心有关应用、应用切线长定理求解、圆周角定理 【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 5．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式、圆与函数的综合(圆的综合问题) 【分析】作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质得PM＝PN＝r，再利用面积法求出r＝，接着证明△OBC为等腰直角三角形得到NC＝NB＝，于是得到P点坐标为（，），然后把P（，）代入y＝可求出k的值． 【详解】解：作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r， ∵⊙P与边AB，AO都相切， ∴PM＝PN＝r， ∵OA＝4，OB＝3，AC＝1， ∴AB＝5， ∵S△PAB+S△PAC＝S△ABC， ∴•5r+•r•1＝•3•1，解得r＝， ∴BN＝， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∴NC＝NB＝， ∴ON＝3﹣＝， ∴P点坐标为（，﹣）， 把P（，﹣）代入y＝得k＝×（﹣）＝﹣． 故选A．      【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 6．如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点A（8，4）是圆外一点，直线AC与⊙O切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，-2） 【答案】C 【知识点】切线的性质定理 【详解】解：作 AE⊥x 轴于 E，CH⊥x 轴于 H，连接 OC，如图， ∵B（0，4），A（8，4）， ∴AB＝8，AE＝OB＝4，AB⊥y 轴， ∴AB 为⊙O 的切线， ∵直线 AC 与⊙O 切于点 C， ∴OC⊥AC，AC＝AB＝8， 在△OCD 和△AED 中 ， ∴△OCD≌△AED， ∴OD＝AD， 设 OD＝x，则 AD＝x，DE＝8﹣x， 在 Rt△ADE 中，（8﹣x）2+42＝x2，解得 x＝5， ∴OD＝5，DE＝CD＝3， ∵ CH•OD＝OC•CD， ∴CH＝＝， 在 Rt△OCH 中，OH＝=， ∴C 点坐标为（，）． 故选C． 【点睛】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了坐标与图形性质． 7．如图是的内切圆，，，分别为切点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】连接、，根据切线的性质求出，求出，根据圆周角定理得出，代入求出即可． 【详解】解：连接、， 是的内切圆，，，分别为切点， ，， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，多边形的内角和定理，圆周角定理的应用，关键是求出的度数和求出． 8．如图，是的切线，切点为点H，连接、分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且，若的半径长为2，且，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】连接、，根据切线的性质，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半和三角形内角和定理，得到，，利用勾股定理求出，然后利用圆周角定理得到，从而得到，推出，即可求出的长． 【详解】解：连接、， 是的切线，切点为点H， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题是圆和三角形的综合题，考查了切线的性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 9．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（　　） A．65° B．50° C．45° D．40° 【答案】B 【知识点】切线的性质定理 【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可． 【详解】连接OA，OB， ∵PA、PB切⊙O于点A、B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， 由圆周角定理知，∠AOB＝2∠ACB＝130°， ∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度． 10．如图，矩形的长为，宽为，点为矩形的中心，的半径为，于点，．若绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与矩形的边所在的直线相切的位置一共出现（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意作出图形，根据图形直接写出答案即可． 【详解】解：如图，与矩形的边所在的直线相切的位置一共出现次． 故选：C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 二、填空题 11．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R—r = ． 【答案】1.5 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差． 【详解】∵直角三角形的斜边=， ∴三角形的外接圆半径R=2.5，内切圆半径r=(3＋4−5)÷2＝1， ∴R−r＝1.5， 故填1.5． 【点睛】本题主要考查勾股定理，三角形的外接圆和内切圆半径，掌握直角三角形外接圆半径等于其斜边的一半，其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，是解题的关键． 12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移   cm时与⊙O相切． 【答案】2 【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【详解】∵直线和圆相切时，OH=5， 又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2 =4，OA=5， ∴OH=3． ∴需要平移5-3=2cm． 故答案是：2． 【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，则应满足d=R． 13．如图，AB是的直径，切于点，若，则 °. 【答案】40. 【分析】连接OD，由等腰三角形的性质可得∠ADO=∠A=25°，由外角的性质可求出∠COD=50°，根据切线的性质可知∠CDO=90°，进而可求出∠C的度数. 【详解】连接OD. ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠A=25°， ∴∠COD=25°+25°=50°. ∵切于点， ∴∠CDO=90°， ∴∠C=90°-50°=40°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及切线的性质.①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．切线性质的运用：由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 14．如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，平分， ∴，， ∴，即的半径等于， 故答案为：． 15．如图，直线与相切于点，且，则 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、垂径定理的推论、等边三角形的性质 【详解】解∶连接、，的反向延长线交与，如图， ∵直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为． 16．如图，已知⊙的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标是 ． 【答案】或或或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】根据圆与直线的位置关系可知，当⊙与轴相切时，P点的纵坐标为1或-1，把1或-1代入到抛物线的解析式中求出横坐标即可． 【详解】∵⊙的半径为1， ∴当⊙与轴相切时，P点的纵坐标为1或-1． 当时，， 解得 ， ∴此时P的坐标为或； 当时，， 解得 ， ∴此时P的坐标为或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和已知函数值求自变量，根据圆与x轴相切找到点P的纵坐标的值是解题的关键． 17．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，若∠BCD=120°，则∠APD的大小为 ． 【答案】30° 【知识点】切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】如图，连接OD，由圆内接四边形的性质易得∠DAB，可得△ADO为等边三角形，由切线的性质可得∠PDO=90°，最后，在Rt△PDO中，依据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】如图，连接DO， ∵∠BCD=120°， ∴∠DAB=180°﹣120°=60°， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠DOA=60°， ∵PD与⊙O相切， ∴∠PDO=90°， ∴∠APD=90°﹣∠DOP=90°﹣60°=30°， 故答案为30°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、切线的性质，正确添加辅助线（见切点，连圆心）是解题的关键． 18．如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝ 度． 【答案】87 【知识点】角度问题(旋转综合题)、切线的性质定理、等边三角形的判定和性质 【分析】连接OO'，根据切线的性质得到AB⊥OB，根据旋转变换的性质得到OB＝OO'，根据等边三角形的性质得到∠OBO'＝60°，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：连接OO'， ∵⊙O与△OAB的边AB相切， ∴AB⊥OB， 由旋转的性质可知，∠O'BA'＝∠OBA＝90°，BO＝BO'， ∵OB＝OO'， ∴OB＝O'B＝OO'， ∴△OBO'为等边三角形， ∴∠OBO'＝60°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝27°+60°＝87°， 故答案为：87． 【点睛】本题考查了切线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题关键 三、解答题 19．如图，点O处有一灯塔，警示内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 【答案】渔船沿射线方向航行才能尽快离开危险区．理由见解析 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的关系，设射线交与点A，过点P任意作一条弦，连接，在中可得，根据得，即可得；掌握点与圆的关系是解题的关键． 【详解】渔船应沿着灯塔O过点P的射线方向航行才能尽快离开危险区．理由如下： 解：设射线交与点A，过点P任意作一条弦，连接， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即渔船沿射线方向航行才能尽快离开危险区． 20．梯形ABCD中，，，,且AD、BC为半径的中的两弦． （1）画出符合条件的大致图形，判断梯形ABCD形状为______． （2）求出该梯形的面积． 【答案】（1）等腰梯形；（2）119，289 【知识点】其他问题(圆的综合问题) 【分析】（1）根据题意画出分情况，即分为AD、BC在圆的同侧与两侧画图即可； （2）根据（1）中的两种情况分别求解即可. 【详解】解：（1）根据题意分在AD、BC在圆的同侧与两侧画图如下：    根据图形可知梯形ABCD形状为等腰梯形； （2）①当AD、BC在圆的同侧时，作OM⊥AD交BC于点N ∵ ∴OM⊥BC ∴AM=5，BN=12 ∵OB=OA=13 ∴OM=12，ON=5 ∴MN=7 ∴S梯形ABCD=； ②当AD、BC在圆的不同侧时，作OM⊥AD交BC于点N ∵ ∴OM⊥BC ∴AM=5，BN=12 ∵OB=OA=13 ∴OM=12，ON=5 ∴MN=17 ∴S梯形ABCD= 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质与梯形面积计算，根据题意画出图形是正确解题的关键. 21．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理、利用垂径定理求解其他问题 【分析】（1）根据三角形的外角和，同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可； （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大，连接，，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】（1）证明：由图可知：∵，是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大， ∴连接，，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点，的坐标分别是，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点．    【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系，垂径定理，圆的切线定理． 22．如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】应用切线长定理求解、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点作于点，根据切线的性质由切于点可得，再根据角平分线定理得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线； （2）过作于，根据切线的性质得到，则得到四边形为矩形，得到，所以，再利用切线长定理得，，所以，在中，利用勾股定理计算出，则，所以，然后中，利用勾股定理可计算出． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ，切于点， ， 平分， ， 为的半径， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过作于， ，是的直径，，分别切于点，， ，， 四边形为矩形， ， ， ，，为的切线， ， ， 在中，， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理． 23．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化． (1)设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽． (2)某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为和，且到的距离与到的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由． 【答案】(1)10米 (2)设想成立，10米 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、圆和圆的位置关系 【分析】本题考查一元二次方程实际应用，二元一次方程组的实际应用．正确的识图，列出方程和方程组，是解题的关键． （1）设两块绿地周围的硬化路面的宽都为米，根据“两块绿地面积的和为矩形面积的”列出方程求解即可； （2）设圆的半径为米，到的距离为米， 根据题意分别列出圆半径与长方形的长和宽的方程，组成方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设两块绿地周围的硬化路面的宽都为米，根据题意，得： 解之，得： 经检验，不符合题意，舍去． 所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米． （2）设想成立． 设圆的半径为米，到的距离为米，根据题意，得： ， 解得：．符合实际． 所以，设想成立，此时，圆的半径是10米． 24．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的两个实数根． （1）求弦AB的长度； （2）计算； （3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）． 【答案】（1）2（2）（3）、、 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【详解】试题分析：（1）OA和AB的长度是一元二次方程的根，所以利用韦达定理即可求出AB的长度． （2）作出△AOB的高OC，然后求出OC的长度即可． （3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等． 试题解析：（1）由题意知：OA和AB的长度是x2﹣4x+a=0的两个实数根， ∴OA+AB=﹣=4， ∵OA=2， ∴AB=2； （2）过点C作OC⊥AB于点C， ∵OA=AB=OB=2， ∴△AOB是等边三角形， ∴AC=AB=1 在Rt△ACO中， 由勾股定理可得：OC= ∴S△AOB=ABOC=×2×= （3）延长AO交⊙O于点D， 由于△AOB与△POA有公共边OA， 当S△POA=S△AOB时， ∴△AOB与△POA高相等， 由（2）可知：等边△AOB的高为， ∴点P到直线OA的距离为，这样点共有3个 ①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1， ∴∠BOP1=60°， ∴此时点P经过的弧长为：， ②作点P2，使得P1与P2关于直线OA对称， ∴∠P2OD=60°， ∴此时点P经过的弧长为：， ③作点P3，使得B与P3关于直线OA对称， ∴∠P3OP2=60°， ∴此时P经过的弧长为：， 综上所述：当S△POA=S△AOB时，P点所经过的弧长分别是、、． 考点：一元二次方程与圆的综合知识 25．已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作， (1)点在边上时（如图1） ①求证：点在边的垂直平分线上； ②如图2，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出长； ③如图3，点从运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长： (2)当点在边上时（如图4），若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积． 【答案】(1)①证明见解析；②见解析，；③点运动的轨迹为线段，线段 (2) 【知识点】切线的性质定理、确定圆心(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了切线的性质，线段垂直平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等．此题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． （1）①证明即可证明点在边的垂直平分线上；②作的垂直平分线，作切点与A所连线段的垂直平分线，即可找到圆心；③由由是等腰直角三角形，证明，进而即可求解； （2）先证明，设，则，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：①为直径，； 点在圆上， 连接， ， 点在的垂直平分线上； ②设与边相切于点E，则， 如图所示：    设，则， ∴，解得：， ∴， ∵是的中位线， ∴； ③连接，； 始终是的中点， 是等腰直角三角形， ∴， 连接、交于点，则， ∴， ∵， ∴， ； 当点与点重合，点与点重合，当点与点重合，点与点重合， 点运动的轨迹为线段，． （2）解：连接,，过点H作， 由（1）③可得：， ，， ∴， ∵， 设，则，，， 解得：，， ∴． 26．【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？ 【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号） ①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大 【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现． 【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】操作感知：③；猜想验证：见解析；实际应用：见解析 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、同弧或等弧所对的圆周角相等、作垂线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质 【分析】操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，利用圆周角定理和三角形外角的性质证明即可得到结论； 猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； 实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求． 【详解】解：操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 在上取一点T，连接并延长交的外接圆于S，连接， ∴， ∵， ∴， ∴球员P由M向N的运动过程中，的大小是先变大后变小， 故答案为：③； 猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接， ∴， ∵， ∴，即， ∴上异于点Q的其他所有点对的张角都小于， ∴球员P运动到切点Q时最大； 实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求； 理由如下：∵， ∴， ∵，且，即是两条平行线间的距离， ∴也是这两条平行线间的距离， ∴， ∴ 直线与相切， ∴由“猜想验证”可知，当直线与相切于点P时，最大． 【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，三角形外角的性质，圆周角定理，确定圆心，线段垂直平分线的尺规 作图，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$