第17讲 分式的运算 （7个知识点+7种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第17讲 分式的运算 （7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点3．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点4．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 知识点5．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 知识点6．负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 知识点7．列代数式（分式） （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 题型强化 题型一．科学记数法—表示较小的数 1．（2024•玉泉区二模）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约0.000326毫米，用科学记数法表示为　　 A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米 2．（2024•松原二模）某品种的牡丹花粉的直径约为0.0000354米，数据0.0000354用科学记数法表示为 　　． 3．已知的氢气重约为，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 题型二．分式的乘除法 4．（2023秋•巴东县期末）若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•故城县月考）若的运算结果是整式，写出一个“　　”内可能的式子：　　． 6．（2024秋•丰城市校级月考）计算： （1）； （2）． 题型三．分式的加减法 7．（2024秋•故城县月考）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是　　 A． B． C． D．1 8．（2023秋•淮南期末）计算：　　． 9．（2023秋•长葛市期末）对于实数，规定：．例如：，，． （1）求值：　　；　　． （2）猜想：　　，并证明你的结论． （3）求：的值． 题型四．分式的混合运算 10．（2024•祁县模拟）化简的结果是　　 A． B． C． D． 11．（2024春•普陀区期末）关于的方程的解是　　． 12．（2024秋•襄都区月考）如果一个式子由两个或两个以上的分式用“”连接而成，且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例中交换，的位置可得，两个式子值相同，则是“均衡分式串”． 概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是　 ．（填序号） ①；②；③． 深入探究：（2）“均衡分式串” 是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 拓展应用：（3）若，求“均衡分式串” 的值． 题型五．分式的化简求值 13．（2024秋•新华区校级月考）若，则代数式的值为　　 A． B． C．2 D． 14．（2024•龙岩模拟）已知，化简求值：　 　． 15．（2024•邵东市三模）先化简代数式，再从2，，1，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 题型六．负整数指数幂 16．（2024春•莱阳市期末）若，则它们的大小关系是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•南阳期末）计算：　 　． 18．（2023秋•隆阳区期末）． 题型七．列代数式（分式） 19．（2024秋•邢台月考）春节游河南，探寻千年古韵，品味地道年味！有游客人，到龙门石窟游玩，需要住宿，如每个人住一间房，结果还有一个人无房住，则客房的间数是　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•德惠市校级期末）在一块公顷的稻田上插秧．如果10个人插秧．要用天完成；如果一台插秧机工作．要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的　　倍． 21．（2023秋•淄川区期末）某人沿一条河流顺流游泳米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为． （1）求他来回一趟所需的时间为； （2）用，，的代数式表示． 分层练习 一、单选题 1．﹣2﹣3＝（　　） A． B． C．8 D．﹣8 2．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ）． A． B．2a•3b=5ab C．3a2÷a2=3 D． 4．计算的结果是(   ) A． B． C．y D．x 5．滴水的质量约0.000 051 2kg，这个数据用科学记数法表示为（   ） A．0.512× B．5.12× C．512× D．5.12× 6．成人每天维生素的摄入量约为克，数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．下列各式：①；②；③；④．其中计算结果相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 8．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为(　　) A． B． C． D． 9．计算的结果是(   ) A． B． C． D． 10．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米和Q千克/米．下列说法： ①；②；③；④P是Q的倍．其中正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．计算： ． 12．近似数－1.25×有效数字的个数有 个． 13．在第二届柔性电子国际学术大会（ICFE2019）上，中国柔性电子与智能技术全球研究中心研发团发布了两款厚度小于25微米（即0.000025米）的柔性芯片，极大促进了人—机—物三元融合，是融合实体、数字和生物世界的变革性力量．将0.000025用科学记数法表示应为 ． 14． ． 15．化简： 16．的结果为 ． 17．已知是，则的值等于 ． 18．据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，此数据用科学记数法表示为 克． 三、解答题 19．已知：，，求证：． 20．先化简，再求值：，其中x从不等式组的解集中选取一个合适的数． 21．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 22．（1）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． （2）甲车队有15辆汽车，乙车队有28辆汽车，现调来10辆汽车分给两个车队，使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆，应分配到甲、乙两车队各多少辆车？ 23．（1）先化简，再求值：，其中． （2）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，团结社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元． ①求两种型号垃圾桶的单价； ②若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 24．计算： （1）； （2）； （3）． 25．如图，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为a米的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了n千克． (1)“丰收1号”试验田的面积为______平方米；“丰收2号”试验田的面积为______平方米； (2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多多少？ 26．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 分式的运算 （7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点3．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点4．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 知识点5．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 知识点6．负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 知识点7．列代数式（分式） （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 题型强化 题型一．科学记数法—表示较小的数 1．（2024•玉泉区二模）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约0.000326毫米，用科学记数法表示为　　 A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000326毫米毫米． 故选：． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2．（2024•松原二模）某品种的牡丹花粉的直径约为0.0000354米，数据0.0000354用科学记数法表示为 　　． 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．已知的氢气重约为，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 【分析】（1）由题知的氢气重约为，那么容积为的氢气球质量应该用总容积乘以单位容积的质量，将结果用科学记数法表示即可； （2）谁是谁的多少倍，应该用总质量除以单位容积的质量，最后用科学记数法表示即可． 【解答】解：（1）， ． 答：容积为的氢气球所充氢气的质量为． （2）． 答：这块橡皮的质量是的氢气质量的． 【点评】本题是考查的是科学记数法的问题，掌握科学记数法的表示形式是解题关键． 题型二．分式的乘除法 4．（2023秋•巴东县期末）若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是　　 A． B． C． D． 【分析】设“□”中的式子为，把除法运算化乘法运算，约分得到原式，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案． 【解答】解：设“□”中的式子为， 原式 ， 所以当时， 原式，结果为整式， 故选：． 【点评】本题考查了分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 5．（2024秋•故城县月考）若的运算结果是整式，写出一个“　　”内可能的式子：　（答案不唯一）　． 【分析】根据题意，要使运算结果结果为整式，需在分式的运算中约去分母，因此得到分母中含有因式，即可得到结果． 【解答】解： ， 是整式， 　　内可能的式子是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了分式的乘除运算，涉及到整式的概念的应用，熟练对分式进行化简运算是解题的关键． 6．（2024秋•丰城市校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； （2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 题型三．分式的加减法 7．（2024秋•故城县月考）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是　　 A． B． C． D．1 【分析】由题意得，被盖住的部分是，进而可得答案． 【解答】解：由题意得，被盖住的部分是． 故选：． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 8．（2023秋•淮南期末）计算：　　． 【分析】先把两个分式写成同分母的分式相减，然后把所得分式的分子分解因式，并与分母约分即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 9．（2023秋•长葛市期末）对于实数，规定：．例如：，，． （1）求值：　1　；　　． （2）猜想：　　，并证明你的结论． （3）求：的值． 【分析】（1）分别算出（3），，（5），的值，再求和即可； （2）首先求出，然后计算即可得出结论； （3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可． 【解答】解：（1），， ， ，， ． 故答案为：1；1； （2）猜想：， 证明：； ． 故答案为：1； （3） ． 【点评】本题考查了代数式求值，实数的运算，分式的加减法，掌握相应的运算法则是解题的关键． 题型四．分式的混合运算 10．（2024•祁县模拟）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【解答】解：原式， 故选：． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2024春•普陀区期末）关于的方程的解是　　． 【分析】方程合并后，将系数化为1，即可求出解． 【解答】解：方程合并得：， 解得：， 故答案为： 【点评】此题考查了分式的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（2024秋•襄都区月考）如果一个式子由两个或两个以上的分式用“”连接而成，且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例中交换，的位置可得，两个式子值相同，则是“均衡分式串”． 概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是　①　．（填序号） ①；②；③． 深入探究：（2）“均衡分式串” 是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 拓展应用：（3）若，求“均衡分式串” 的值． 【分析】（1）根据“均衡分式串”的定义，进行判断即可； （2）根据分式的加法法则，进行计算即可； （3）根据，得到，代入分式，进行计算即可． 【解答】解：（1），故①是“均衡分式串”， ，故②不是“均衡分式串”， ，故③不是“均衡分式串”， 故答案为：①； （2）是，理由：； （3）， ， ． 【点评】本题考查分式的运算，理解“均衡分式串”的定义，分式的运算法则是解题的关键． 题型五．分式的化简求值 13．（2024秋•新华区校级月考）若，则代数式的值为　　 A． B． C．2 D． 【分析】先运用分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 14．（2024•龙岩模拟）已知，化简求值：　2024　． 【分析】先化简，把变成，整体代入即可． 【解答】解：原式， ， ， 原式， 故答案为：2024． 【点评】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，掌握相关知识是解题的关键． 15．（2024•邵东市三模）先化简代数式，再从2，，1，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可． 【解答】解：原式 ， ，，， 只能取， 当时，原式． 【点评】本题考查了分式的混合运算和求值和分式有意义的条件，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 题型六．负整数指数幂 16．（2024春•莱阳市期末）若，则它们的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】先将各选项进行化简再进行比较即可． 【解答】解：，，，， 它们的大小关系是：， 故选：． 【点评】本题考查负整数指数幂的性质、零指数幂的性质及有理数大小比较，正确化简各数是解题的关键． 17．（2024春•南阳期末）计算：　3　． 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 18．（2023秋•隆阳区期末）． 【分析】先根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加减即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂等知识点，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键． 题型七．列代数式（分式） 19．（2024秋•邢台月考）春节游河南，探寻千年古韵，品味地道年味！有游客人，到龙门石窟游玩，需要住宿，如每个人住一间房，结果还有一个人无房住，则客房的间数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有一个人无房住可得住进房间的人数为人，再除以即可求出客房的间数． 【解答】解：由题意可得，客房的间数为， 故选：． 【点评】本题考查了列代数式，读懂题意是解题的关键． 20．（2023秋•德惠市校级期末）在一块公顷的稻田上插秧．如果10个人插秧．要用天完成；如果一台插秧机工作．要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的　　倍． 【分析】此题可利用工作总量作为相等关系，借助方程解题． 【解答】解：设一台插秧机的工作效率为，一个人工作效率为．则．所以． 【点评】列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系，工程问题要有“工作效率”，“工作时间”，“工作总量”三个要素，数量关系为：工作效率工作时间工作总量． 21．（2023秋•淄川区期末）某人沿一条河流顺流游泳米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为． （1）求他来回一趟所需的时间为； （2）用，，的代数式表示． 【分析】（1）利用时间路程速度可得出时间； （2）从（1）中得出的式子中解出即可． 【解答】解：（1）顺流时速度为，逆流时速度为， 所以； （2）由（1）知， 去分母可得：， 两边同时除以可得：． 【点评】本题主要考查列分式方程及解字母系数的方程，把要解的看成未知数解出是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．﹣2﹣3＝（　　） A． B． C．8 D．﹣8 【答案】A 【知识点】负整数指数幂 【分析】直接运用负整数指数幂的运算法则计算即可; 【详解】解：﹣2﹣3＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查负整数指数幂的运算，正确应用是解题的关键． 2．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法，关键是掌握的值的确定方法． 3．下列运算正确的是（ ）． A． B．2a•3b=5ab C．3a2÷a2=3 D． 【答案】C 【知识点】负整数指数幂 【详解】试题分析：逐项分析，A、，本选项错误；B、2a•3b=6ab，本选项错误；C、3a2÷a2=3，本选项正确；D、，本选项错误． 故选C． 考点：整式的除法；算术平方根；单项式乘单项式；负整数指数幂． 4．计算的结果是(   ) A． B． C．y D．x 【答案】A 【知识点】分式乘法 【详解】原式 ，故选A. 5．滴水的质量约0.000 051 2kg，这个数据用科学记数法表示为（   ） A．0.512× B．5.12× C．512× D．5.12× 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，指数的绝对值等于原数第一个不为零的数字前面的0的个数． 【详解】解：0.0000521＝5.21×10−5； 故选D． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法定义，绝对值小于1的数的表示方法，是解决此类问题的关键． 6．成人每天维生素的摄入量约为克，数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.0000046=4.6×10-6． 故选：B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 7．下列各式：①；②；③；④．其中计算结果相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算、分式乘方、分式除法 【分析】先根据分式的运算法则计算各式，然后可得答案． 【详解】解：①， ②， ③， ④； 所以，计算结果相等的是①③； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则、正确计算是解题的关键． 8．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】0.000073用科学记数法表示为， 故选D． 【点睛】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 9．计算的结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】负整数指数幂 【分析】根据负整数指数幂和幂的乘方和积的乘方解答． 【详解】原式=（-1）-2a-2b4 =•b4 =． 故选B． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，同时要熟悉幂的乘方和积的乘方． 10．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米和Q千克/米．下列说法： ①；②；③；④P是Q的倍．其中正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式加减的实际应用、分式除法 【分析】分别表示出，，再计算出和，即可判断． 【详解】解：由题意可得：，， ∵ ， ∵， ∴，即， ∵ 故③④正确，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂 【分析】根据实数的计算法则和负整数指数幂的计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 12．近似数－1.25×有效数字的个数有 个． 【答案】3 【知识点】指出一个近似数精确到哪一位 【分析】根据有效数字的定义，从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，科学记数法中a×10n中a的所有数都是有效数字，10n确定数位即用于定位． 【详解】－1.25×＝－0.00125，有效数字为1，2，5． 故答案为：3． 【点睛】本题考查科学记数法中有效数字问题，掌握科学记数法的结构，a中的数都是有效数字是解题关． 13．在第二届柔性电子国际学术大会（ICFE2019）上，中国柔性电子与智能技术全球研究中心研发团发布了两款厚度小于25微米（即0.000025米）的柔性芯片，极大促进了人—机—物三元融合，是融合实体、数字和生物世界的变革性力量．将0.000025用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 14． ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，负整数指数幂即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 15．化简： 【答案】 【分析】根据分式的运算法则即可求解． 【详解】 故答案为：． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则． 16．的结果为 ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】首先根据零指数幂、负指数幂计算，然后进行加减计算即可． 【详解】解： =1+（-1）×9 =1−9 =-8． 【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的运算是解题的关键． 17．已知是，则的值等于 ． 【答案】 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到a-b与ab的关系，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ 则， 故对答案为：． 【点睛】此题考查了分式的加减法，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，此数据用科学记数法表示为 克． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，注意：对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为形式，其中是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等．对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为形式，其中是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等，根据以上内容写出即可． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 19．已知：，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】异分母分式加减法、通过对完全平方公式变形求值 【分析】先给左右平方根可得即；再结合可得a、b、c均不为零，然后给左右两边同除以并结合即可解答． 【详解】证明：∵， ∴，即． ∴． ∵， ∴a、b、c均不为零．则， ∴． 【点睛】本题主要考查了异分母分式的加减、完全平方公式等知识点，灵活对代数式的形式进行变形是解答本题的关键． 20．先化简，再求值：，其中x从不等式组的解集中选取一个合适的数． 【答案】；时，0 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、求不等式组的解集 【分析】先根据化简分式，再解一元一次不等式组求得x的取值范围，由分式有意义的条件可得和，再取值代入求解即可． 【详解】解：原式＝ ， ， 由①得，， 由②得，， ∴不等式的解集为， 又∵， ∴和， ∴把代入得，． 【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 21．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 【答案】(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【知识点】分式加减的实际应用、分式除法 【分析】本题考查分式运算的实际应用： （1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可； （2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可． 【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． 22．（1）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． （2）甲车队有15辆汽车，乙车队有28辆汽车，现调来10辆汽车分给两个车队，使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆，应分配到甲、乙两车队各多少辆车？ 【答案】（1），2；（2）应分配到甲车队4辆车，乙车队6辆车 【知识点】分式化简求值、比例分配(一元一次方程的应用)、求一元一次不等式组的整数解 【分析】（1）先化简分式，再计算不等式组的整数解，最后求值即可． （2）设应分到甲队辆车，则分到乙队辆车，依题意得，，解方程即可． 本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的应用，熟练掌握分式化简，解方程是解题的关键． 【详解】（1）.解：原式 ， 解不等式组 得：． 其整数解为：． 当时，原式． （2）解：设应分到甲队辆车，则分到乙队辆车，依题意得， ， 解得， 则分到乙队（辆）， 答：应分配到甲车队4辆车，乙车队6辆车． 23．（1）先化简，再求值：，其中． （2）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，团结社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元． ①求两种型号垃圾桶的单价； ②若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 【答案】（1），1；（2）①A型垃圾桶、B型垃圾桶的单价分别为60元，100元；②至少需要购买A型垃圾桶125个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、分式化简求值 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可； （2）①设A型垃圾桶、B型垃圾桶的单价分别为x元，y元，根据购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元列出方程组求解即可；②设购买A型垃圾桶m个，则购买B型垃圾桶个，根据购买费用不超过15000元列出不等式求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）①设A型垃圾桶、B型垃圾桶的单价分别为x元，y元， 由题意得， ， 解得， ∴A型垃圾桶、B型垃圾桶的单价分别为60元，100元， ②设购买A型垃圾桶m个，则购买B型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为125， ∴至少需要购买A型垃圾桶125个． 24．计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、整式的混合运算、实数的混合运算 【分析】（1）根据零指数幂、负指数幂和幂的运算公式计算即可； （2）根据整式乘除的运算性质计算即可； （3）先根据多项式乘以多项式展开，在合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、幂的运算性质、整式乘除运算，准确计算是解题的关键． 25．如图，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为a米的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了n千克． (1)“丰收1号”试验田的面积为______平方米；“丰收2号”试验田的面积为______平方米； (2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多多少？ 【答案】(1)； (2)高的单位面积产量比低的单位面积产量多千克/平方米 【知识点】分式加减的实际应用、用代数式表示式 【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积； （2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可． 【详解】（1）由题意得，“丰收1号”试验田的面积为：平方米， “丰收2号”试验田的面积为平方米； （2） ∴高的单位面积产量比低的单位面积产量多千克/平方米 26．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论． 【答案】数据计算：，，；实验结论：三；推广证明：见解析 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式的实际应用： 数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，由此可解； 实验结论：根据前一问结论，比较大小即可； 推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分子化为相同，比较分母的大小即可． 【详解】解：数据计算： 方案一，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案三，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，，； 实验结论： ， 方案三的漂洗效果最好， 故答案为：三； 推广证明： 依题意可得， 选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为； 选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同， 所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小， 因为，且，， 所以， 所以， 所以， 即方案二比方案一的漂洗效果好， 因为，且， 所以， 所以， 所以， 即方案三比方案二的漂洗效果好， 综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好. 学科网（北京）股份有限公司 $$