第17讲 认识二元一次方程组（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第17讲 认识二元一次方程组（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 知识点2．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点3．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点4．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 知识点5．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 题型强化 题型一．二元一次方程的定义 1．（2024春•惠阳区期中）下列各式是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•滕州市期末）已知方程是关于，的二元一次方程，则　　． 3．（2021春•自贡期末）已知关于、的方程， 试问：①当为何值时此方程为一元一次方程？ ②当为何值时此方程为二元一次方程？ 题型二．二元一次方程的解 4．（2024春•荔湾区期末）若是关于、的方程的一个解，则的值是　　 A．5 B． C．8 D． 5．（2024•武威三模）若是方程的一个解，则的值为 　　． 6．（2023秋•吉州区期末）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：　 　． （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值． 题型三．解二元一次方程 7．（2024春•许昌期末）把方程改写成用含的式子表示的形式正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024春•朝阳区校级期末）已知，用含的代数式表示，则　　． 9．（2023秋•长宁区校级期中）解方程： （1）（配方法）； （2）． 题型四．二元一次方程组的定义 10．（2024•南岗区校级开学）在下列方程组中，是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 11．（1）若是关于，的二元一次方程，则的值是 　　； （2）若方程组是关于，的二元一次方程组，则的值是 　　． 12．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 题型五．二元一次方程组的解 13．（2024•凉州区二模）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是　　 A． B． C． D． 14．（2024秋•龙凤区校级月考）关于，的方程组的解的和为2，则的值为 　　． 15．（2024春•朝阳区校级月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若，求的值； （3）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （4）若关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 分层练习 一、单选题 1．在下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（          ） A． B． C． D． 3．下列是关于，的二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 6．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 7．下列方程组中不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 8．二元一次方程2x+3y=10的正整数解有（　　） A．0个 B．1个 C．3个 D．无数多个 9．下列属于二元一次方程的是(　　) A．x2+y=0 B．x﹣2y=0 C．x1 D．yx 10．以下方程中是二元一次方程的有（    ）个. ①    ②    ③   ④ ⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．已知方程x -3y=1，用含x的代数式表示y，则 y＝ ． 12．由得到用含的代数式表示的式子为 ． 13．若关于x、y的方程是二元一次方程，则= ． 14．若方程x2m－1＋5y3n－2＝7是关于x，y的二元一次方程，则(m－n)2019＝ ． 15．若是关于，的二元一次方程，则ab＝ ． 16．已知(均为大于1的整数)，为有理数，则 . 17．若是二元一次方程，则 ， ． 18．若关于x，y的二元一次方程组，求 ， ． 三、解答题 19．判断是否为方程组的解． 20．哪些是二元一次方程？为什么？ （1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1. 21．若方程是关于，的二元一次方程，求的平方根． 22．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 23．是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 24．（1）． （2）已知是关于x，y的二元一次方程，求a的值． 25．某校举办运动会，计划购买奖章颁发给获奖者．已知甲种奖章每个20元，乙种奖章每个35元，若购买甲种奖章x个，乙种奖章y个，需要花费380元． (1)试列出关于x，y的二元一次方程：__________________． (2)当甲种奖章有12个时，求乙种奖章的个数． (3)当乙种奖章有8个时，求甲种奖章的个数． 26．阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程的图象称为直线． 直线x－y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x－y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x－y＝0的上方区域内。特别地，x=k（k为常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y=m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题： （1）已知点A（2，1）、B（，）、C（，）、D（4，），其中在直线上的点有 （只填字母）；请再写出直线上一个点的坐标 ； （2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组，则所有的点P组成的图形的面积是 ； （3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 认识二元一次方程组（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 知识点2．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点3．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点4．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 知识点5．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 题型强化 题型一．二元一次方程的定义 1．（2024春•惠阳区期中）下列各式是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：、不是二元一次方程，不符合题意； 、中，所含未知数的项的次数最高为2，不是二元一次方程，不符合题意； 、，是二元一次方程，符合题意； 、中，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，熟记“含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”是解题关键． 2．（2023秋•滕州市期末）已知方程是关于，的二元一次方程，则　1　． 【分析】根据二元一次方程的定义得出且，求出即可． 【解答】解：方程是关于，的二元一次方程， 且， 解得：． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程． 3．（2021春•自贡期末）已知关于、的方程， 试问：①当为何值时此方程为一元一次方程？ ②当为何值时此方程为二元一次方程？ 【分析】（1）若方程为关于、的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后或的系数中有一个为0，另一个不为0即可． （2）若方程为关于、的二元一次方程，则二次项系数应为0且或的系数不为0． 【解答】解：（1）因为方程为关于、的一元一次方程，所以： ①，解得； ②，无解， 所以时，方程为一元一次方程． （2）根据二元一次方程的定义可知，解得， 所以时，方程为二元一次方程． 【点评】此题考查了一元一次方程与二元一次方程的定义，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义． 题型二．二元一次方程的解 4．（2024春•荔湾区期末）若是关于、的方程的一个解，则的值是　　 A．5 B． C．8 D． 【分析】把代入，再解关于的方程即可． 【解答】解：是关于、的方程的一个解， ， 解得：， 故选． 【点评】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“方程的解使方程的左右两边的值相等”是解本题的关键． 5．（2024•武威三模）若是方程的一个解，则的值为 　　． 【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题． 【解答】解：由题意得：． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 6．（2023秋•吉州区期末）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：　 　． （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值． 【分析】（1）理解“反对称二元一次方程”的概念即可解题； （2）根据概率得出的“反对称二元一次方程”，再将，代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【解答】解：（1）由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 故答案为：． （2）二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ， 解得， ，． 【点评】本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，解题的关键是掌握相关运算． 题型三．解二元一次方程 7．（2024春•许昌期末）把方程改写成用含的式子表示的形式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】把看作已知数求出即可． 【解答】解：方程， 移项得：． 故选：． 【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是把看作已知数求出． 8．（2024春•朝阳区校级期末）已知，用含的代数式表示，则　　． 【分析】将看作已知数求出． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出． 9．（2023秋•长宁区校级期中）解方程： （1）（配方法）； （2）． 【分析】（1）先将常数项移到等号的一边，再将二次项系数化为1，然后配方得，再利用平方根的意义即可得出该方程的解； （2）将方程整理为一般式得，然后利用一元二次方程的求根公式可得出该方程的解． 【解答】解：（1）移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 根据平方根的意义得：， 该方程的解为：，； （2）， 整理得：， 根的判别式为：， ， 该方程的解为：，． 【点评】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法、公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 题型四．二元一次方程组的定义 10．（2024•南岗区校级开学）在下列方程组中，是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：、该方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意； 、该方程组符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意； 、第一个方程是二次方程，故该选项不符合题意； 、第一个方程是分式方程，故该选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 11．（1）若是关于，的二元一次方程，则的值是 　　； （2）若方程组是关于，的二元一次方程组，则的值是 　　． 【分析】（1）是关于，的二元一次方程，则和的系数都不为0，且指数都为1； （2）单项式的次数是2，则要使原方程组是关于，的二元一次方程组，项的系数为0． 【解答】解：（1）由二元一次方程定义，得 ①，且②， 由①，得， 由②，得， 综上，． 故答案为：； （2）由二元一次方程组的定义，得 ①，②，③， 由①，得． 由②，得． 由③，得． 综上，，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的定义、二元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． 12．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：（2）、（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 题型五．二元一次方程组的解 13．（2024•凉州区二模）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 【解答】解：二元一次方程组的解是， ， ， ， ，，，； 故表示的方程可能是； 故选：． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组的解是本题的关键． 14．（2024秋•龙凤区校级月考）关于，的方程组的解的和为2，则的值为 　2　． 【分析】先由方程组，利用加减法由①②，解得，然后与，组成新方程组求解得出，，然后代入代入②，即可求出值． 【解答】解：， 由①②，得， 由题意知， 联立，得， 解得， 将代入②，得， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 15．（2024春•朝阳区校级月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若，求的值； （3）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （4）若关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 【分析】（1）利用新定义列出关于、方程组，解方程组求出、的值． （2）将、的值代入转化为的一元一次方程，解方程求出的值． （3）将、的值代入，得出关于、的方程组，消去，再与组成新的方程组，求出、的值，再求出即可． （4）将代入得出新的方程组，整体代入得出新方程组的解． 【解答】解：（1）由题意，，， ． ． （2）由题意，， ． ． 又， ． （3）由题意，方程组可化为， ． 又， ． ． （4）由题意，方程组可化为，而方程组可化为， 即， 又方程组的解为， ． ． 方程组的解为． 【点评】本题二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解题时要熟练掌握新定义运算，并准确计算是关键． 分层练习 一、单选题 1．在下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、的次数是2，不满足定义，此项不符题意 B、只有x一个未知数，不满足定义，此项不符题意 C、的次数是3，不满足定义，此项不符题意 D、含有两个未知数，且未知数的次数都是1，满足定义，此项符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟记定义是解题关键． 2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（          ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：A.整理得：，是关于x的一元一次方程，故本选项错误； B. ，方程二次项系数可能为0，故本选项错误； C. ，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D.，方程含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程． 故选C． 考点：一元二次方程的定义． 3．下列是关于，的二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程组的定义：如果方程组中含有两个未知数，且含未知项的次数都是一次 ，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．据此逐项判定即可得出答案． 【详解】A．方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故A错误； B．方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故B错误； C．方程组中含有两个未知数，且含未知项的次数都是一次，是二元一次方程组，故C正确； D．方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义.熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键. 4．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一判断即可解答．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．原方程组为三元一次方程组，故A不符合题意； B．原方程组为分式方程组，故B不符合题意； C．原方程组为二元一次方程组，故C符合题意； D．原方程组为二元二次方程组，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组逐一判断即可． 【详解】解：A．此方程组属于三元一次方程组，不符合题意； B．此选项方程组是二元一次方程组，符合题意； C．此方程组属于二元二次方程组，不符合题意； D．此方程组属于分式方程组，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组要满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 6．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，即可得到答案． 【详解】A、的次数是2，不合题意； B、不是整式方程，不合题意； C、含有，，，3个未知数，不合题意； D、含有两个未知数，未知数次数为1，都是整式方程，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键． 7．下列方程组中不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握二元一次方程组满足的三个条件：①方程组中的方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．据此解答即可． 【详解】解：A．是二元一次方程组，故此选项不符合题意； B．不是二元一次方程组，故此选项符合题意； C．是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D．是二元一次方程组，故此选项不符合题意． 故选：B． 8．二元一次方程2x+3y=10的正整数解有（　　） A．0个 B．1个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】将x看做已知数求出y，即可确定出方程的正整数解． 【详解】2x+3y=10， 解得：y=， 当x=2时，y=2， 则方程的正整数解有1个． 故选B 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y． 9．下列属于二元一次方程的是(　　) A．x2+y=0 B．x﹣2y=0 C．x1 D．yx 【答案】B 【分析】根据“二元一次方程的定义是含有两个未知数且未知数的次数都为1”进行判断即可 ． 【详解】A．该方程中含有两个未知数，但是未知数的最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误． B．该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确． C．该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误． D．它不是方程，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件： （1）方程中只含有2个未知数； （2）含未知数项的最高次数为一次； （3）方程是整式方程． 10．以下方程中是二元一次方程的有（    ）个. ①    ②    ③   ④ ⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的概念依次判断． 【详解】对于①，分析可知，是分式方程，不是整式方程，所以①不符合题意， 同理④也是分式方程，根据二元一次方程的概念可知②③⑤是二元一次方程． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义即：含有2个未知数，且未知数的最高次是1的整式方程． 二、填空题 11．已知方程x -3y=1，用含x的代数式表示y，则 y＝ ． 【答案】y= 【分析】把x当作已知数，求出关于y的方程的解即可． 【详解】x-3y=1， 3y＝x-1， y＝， 故答案为：y＝． 【点睛】本题考查了解二元一次方程和解一元一次方程的应用，解题的关键是熟知方程的求解． 12．由得到用含的代数式表示的式子为 ． 【答案】 【分析】根据等式性质，移项，即可求解， 本题考查了二元一次方程变形，解题的关键是：熟练掌握等式的基本性质． 【详解】解：由得到用含的代数式表示的式子是， 故答案为：． 13．若关于x、y的方程是二元一次方程，则= ． 【答案】3 【分析】根据二元一次方程的定义得到m−2＝1，n+1＝1，然后解不等式和方程得到满足条件的m、n的值，然后把m、n的值代入m＋n中计算即可． 【详解】解：根据题意得：m−2＝1，n+1＝1， 解得：m＝3， n＝0， ∴＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 14．若方程x2m－1＋5y3n－2＝7是关于x，y的二元一次方程，则(m－n)2019＝ ． 【答案】0 【分析】根据含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得：，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则(m－n)2019=0， 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 15．若是关于，的二元一次方程，则ab＝ ． 【答案】0 【分析】根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”可得a-2=1，b+1=1 ，再解即可． 【详解】∵方程是关于x,y的二元一次方程， ∴a−2=1，b+1=1， ∴a=3，b=0， 则ab=3×0=0 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 16．已知(均为大于1的整数)，为有理数，则 . 【答案】3或2. 【分析】根据题意分别求出a和b的值即可得解. 【详解】∵a+b=11 (a，b均为大于1的整数)， ∴或；或；或；或， ∵为有理数， ∴或 ∴当a=2，b=9时，=3， 当a=3，b=8时，2. 故答案为3或2. 【点睛】本题主要考查了二次一次方程的解，根据条件列出二元一次方程的所有解是解决本题的关键. 17．若是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面计算即可． 【详解】解：是二元一次方程， ， ， 解得：， ，， 解得：， ，． 故答案为：3，-2 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的概念，熟练掌握二元一次方程中含有个未知数，含未知数项的最高次数为的整式方程是解答本题的关键． 18．若关于x，y的二元一次方程组，求 ， ． 【答案】 2 【分析】本题本题考查了二元一次方程的定义，代入法解二元一次方程组，掌握含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程是解题的关键，注意未知项的次数都为1次．根据二元一次方程的定义列出二元一次方程组进行解答即可． 【详解】解：由题意得，且， ∴且， ∴， 故答案为：2，． 三、解答题 19．判断是否为方程组的解． 【答案】是 【分析】把代入原方程组的两个方程，从而可得答案． 【详解】解：把代入①， 把代入②， 所以同时满足方程①与②， 所以是二元一次方程组的解， 【点睛】本题考查的是判断二元一次方程组的解，掌握代入检验的方法判断二元一次方程组的解是解题的关键． 20．哪些是二元一次方程？为什么？ （1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1. 【答案】（3），见解析 【详解】解：(3)是二元一次方程，理由是含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 21．若方程是关于，的二元一次方程，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，根据只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程，列出方程，即可求出、的值，再代入即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得： ，， 解得：，， ， 的平方根为． 22．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 23．是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【详解】解：存在． ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，，解得． 故当时，方程是关于x，y的二元一次方程． 24．（1）． （2）已知是关于x，y的二元一次方程，求a的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程的定义，关键是熟练掌握二元一次方程的定义和二次根式的运算法则． （1）先进行二次根式的乘法运算和二次根式化简，再合并即可； （2）按照二元一次方程定义，可得且，求a的值即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：由题意可知， 且， ∴或2， ∴． 25．某校举办运动会，计划购买奖章颁发给获奖者．已知甲种奖章每个20元，乙种奖章每个35元，若购买甲种奖章x个，乙种奖章y个，需要花费380元． (1)试列出关于x，y的二元一次方程：__________________． (2)当甲种奖章有12个时，求乙种奖章的个数． (3)当乙种奖章有8个时，求甲种奖章的个数． 【答案】(1) (2)4个 (3)5个 【分析】本题考查了列二元一次方程以及解一元一次方程的知识， （1）依据题意直接列式即可； （2）令，代入（1）的方程，解出即可作答； （3）令，代入（1）的方程，解出即可作答； 【详解】（1）根据题意有：， 故答案为：； （2）令，则有， 解得：， 即乙种奖章的个数为4个； （3）令，则有， 解得：， 即甲种奖章的个数为5个． 26．阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程的图象称为直线． 直线x－y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x－y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x－y＝0的上方区域内。特别地，x=k（k为常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y=m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题： （1）已知点A（2，1）、B（，）、C（，）、D（4，），其中在直线上的点有 （只填字母）；请再写出直线上一个点的坐标 ； （2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组，则所有的点P组成的图形的面积是 ； （3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积． 【答案】（1）A、C；（0，-2）；（2）12；（3）见解析，面积为． 【分析】（1）将四点的坐标分别代入，如果等式左右两边相等，那么点在直线上，否则点不在直线上；将x=0代入，求出y的值即可得到直线上一个点的坐标； （2）首先画出图形，再根据矩形面积公式计算即可； （3）首先画出图形，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）， ， 当时，，即点A（2，1）在直线上； 当时，，即点B（，）不在直线上； 当时，，即点C（，）在直线上； 当时，，即点D（4，）不在直线上； 在直线上的点有A、C； 将x=0代入，得y=-2， 直线上一个点的坐标可以是（0，-2） 故答案为：A、C，（0，-2）； （2）图形如图所示， 面积为：4×3=12； （3）图形如图所示： 和相交于A， ， 阴影部分面积， ． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数的图像和性质，一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是明确题意，正确画出图形． 学科网（北京）股份有限公司 $$