第17讲 反比例函数（1个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第17讲 反比例函数（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 题型强化 题型一．反比例函数的定义 1．（2024秋•绥化月考）下列函数中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•京口区月考）已知函数是关于的反比例函数，则的值是 　　． 3．（2024•天河区校级一模）已知：． （1）化简； （2）若函数为反比例函数，求的值． 题型二、用反比例函数描述数量关系 4．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25·全国·单元测试）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 题型三、根据定义判断是否是反比例函数 7．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）在下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列函数中，是的反比例函数的有 （填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． 9．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）关系式 中，是的反比例函数吗？若是，比例系数等于多少？若不是，请说明理由． 题型四、求反比例函数值 10．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 12．（23-24九年级上·甘肃张掖·期中）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b． (1)写出所有情况（用列表法或树状图）； (2)求点在函数图象上的概率． 分层练习 一、单选题 1．下列函数中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若点在反比例函数的图象上则的值是（    ） A． B． C．1. 5 D．6 3．下列四个点中，在反比例函数y＝﹣图象上的是（　　） A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，﹣2） D．（4，2） 4．若y与x成正比，y与z的倒数成反比，则z是x的（   ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．z随x增大而增大 5．反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则它还经过点（　　） A．（6，﹣1） B．（﹣1，﹣6） C．（3，2） D．（﹣2，3.1） 6．已知函数y=k(x+1)和y=，那么它们在同一坐标系中的图象大致位置是（    ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 7．下列说法正确的是（   ） A．函数是正比例函数， 比例系数是3 B．函数是反比例函数，比例系数是 C．函数是反比例函数，比例系数是5 D．函数是反比例函数，比例系数是 8．下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 9．若是反比例函数，则必须满足（ ） A．k≠3 B．k≠0 C．k≠3或k≠0 D．k≠3且k≠0 10．函数的自变量满足≤≤2时，函数值y满足≤≤1，则这个函数肯定不是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 12．若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于 ． 13．已知反比例函数的图像经过点P（2，－3）,k的值为 . 14．已知关于x的反比例函数经过点，则 ． 15．点A（a，b）是函数y=x﹣1与y=的交点，则a2b﹣ab2= ． 16．如图，已知矩形ABCO的面积为8，反比例函数y=的图象经过矩形ABCO对角线的交点E，则k= ． 17．如果反比例函数的图象过点，那么这个反比例函数的解析式为 ，随的减小而 ． 18．两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2019在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2019，纵坐标分别是1，3，5，…，共2019个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2019分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2019（x2019，y2019），则y2019= ． 三、解答题 19．某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 20．若函数是反比例函数，求的值． 21．已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 22．某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价(元/双) 150 200 250 300 销售量(双) 40 30 24 20 (1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式； (2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？ 23．已知． (1)化简； (2)已知反比例函数的图象经过点，求的值． 24．若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积． x 1 8 y 4 2 (1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式； (2)根据函数关系式完成上表． 25．已知是关于的函数，若存在时，函数值，则称函数是关于的倩影函数，此时点叫该倩影函数的影像点． （1）判断函数是否为倩影函数．如果是，请求出影像点．如果不是，请说明理由； （2）已知函数（）． ①求证：该函数总有两个不同的影像点； ②是否存在一个值，使得函数（）的影像点的横坐标，都为整数，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 26．类比学习反比例函数的过程与方法，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下： x … ―3 ―2 ―1 1 2 3 … y … m 2 4 4 2 1 … (1)①列表：其中，m的值为______； ②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点．已画出部分图像，请补全函数图像： ③根据函数图象，写出该函数的一条性质______． (2)利用图像直接写出当时，x的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 反比例函数（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 题型强化 题型一．反比例函数的定义 1．（2024秋•绥化月考）下列函数中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义：进行判断可得答案． 【解答】解：选项：不是反比例函数，故不符合题意； 选项：即为，它是反比例函数，故符合题意； 选项：不是的反比例函数，故不符合题意； 选项：不是反比例函数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将转化为一般式的形式． 2．（2024春•京口区月考）已知函数是关于的反比例函数，则的值是 　　． 【分析】根据反比例函数的定义：形如为常数，的函数称为反比例函数，即可求出的值． 【解答】解：函数是关于的反比例函数， ，， ． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式，注意，的次数为． 3．（2024•天河区校级一模）已知：． （1）化简； （2）若函数为反比例函数，求的值． 【分析】（1）先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再关键分式的乘法法则进行计算即可； （2）根据反比例函数的定义求出，再代入求出答案即可． 【解答】解：（1） ； （2）函数为反比例函数， ， ． 【点评】本题考查了分式的混合运算和反比例函数的定义，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 题型二、用反比例函数描述数量关系 4．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：． 5．（24-25·全国·单元测试）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 【答案】 反 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． 【详解】解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 【答案】 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】设，求出的值，化简即可． 【详解】解：由题意得：设 ∵当投入改造经费1万元时，年产量是2万只 ∴ 解得： ∴ 即： 【点睛】本题考查反比例关系．根据题意正确设出关系式即可． 题型三、根据定义判断是否是反比例函数 7．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）在下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，理解反比例函数的定义：“如果两个变量、之间的关系可以表示为为常数，且，那么是的反比例函数”是解题的关键． 根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的解析式的形式为：为常数，且，因而可知选项C是反比例函数，其余选项均不是反比例函数． 故选：C． 8．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列函数中，是的反比例函数的有 （填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． 【答案】（2）（3）（4）（6）（9） 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】由题意可得（2）（3）（4）（6）（9）是反比例函数． 故答案为：（2）（3）（4）（6）（9）． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，）或（k为常数，）．也考查了一次函数的定义． 9．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）关系式 中，是的反比例函数吗？若是，比例系数等于多少？若不是，请说明理由． 【答案】是； 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】直接利用反比例函数的定义，即形如(k为常数且)的函数，叫做反比例函数，即可判定． 【详解】解：是的反比例函数， 由得，，比例系数等于， 故是的反比例函数，比例系数等于． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握反比例函数的定义是解题的关键． 题型四、求反比例函数值 10．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：C． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【知识点】求反比例函数值 【详解】函数的图象经过点和，，， 12．（23-24九年级上·甘肃张掖·期中）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b． (1)写出所有情况（用列表法或树状图）； (2)求点在函数图象上的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求反比例函数值、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征； （1）根据题意画出树状图即可； （2）由树状图求得所有等可能的结果，判断出点在函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图得： （2）由树状图得：共有12种等可能的结果，点在函数图象上的有，； ∴点在函数图象上的概率是：． 分层练习 一、单选题 1．下列函数中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：A．不是关于x的正比例函数，故A错误； B．是关于x的反比例函数，故B正确； C．不是关于x的反比例函数，故C错误； D．不是关于x的反比例函数，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义,熟练掌握形如 (k为常数且)的函数是反比例函数是解题的关键． 2．若点在反比例函数的图象上则的值是（    ） A． B． C．1. 5 D．6 【答案】A 【分析】将A的坐标代入反比例函数进行计算，可得答案． 【详解】将A（﹣2，3）代入反比例函数，得k＝﹣2×3＝﹣6，故选A． 【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是将点A代入反比例函数． 3．下列四个点中，在反比例函数y＝﹣图象上的是（　　） A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，﹣2） D．（4，2） 【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵2×4＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上； B、∵2×（﹣4）＝﹣8，∴此点在反比例函数的图象上； C、∵﹣4×（﹣2）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上； D、∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键． 4．若y与x成正比，y与z的倒数成反比，则z是x的（   ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．z随x增大而增大 【答案】A 【详解】试题分析：根据正比例与反比例函数的定义确定z与x的函数关系． 由于y与x成正比，则y=k1x， y与z的倒数成反比，则y=k2z， 所以k1x=k2z，变形得, 所以z是x的正比例函数． 故选A． 考点：本题考查了正比例函数及反比例函数的定义 点评：解答本题的关键是熟练掌握正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式 5．反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则它还经过点（　　） A．（6，﹣1） B．（﹣1，﹣6） C．（3，2） D．（﹣2，3.1） 【答案】A 【详解】利用代入法，可得k=-6，然后把各点代入k=xy，可知：A、k=-6，经过点（6，-1）；B、k=（-1）×（-6）=6，不经过（-1，-6）；同理不经过（3，2）和（-2，3.1）. 故选A. 6．已知函数y=k(x+1)和y=，那么它们在同一坐标系中的图象大致位置是（    ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 【答案】B 【分析】把第一个一次函数化为y=kx+k；根据一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限，再根据反比例函数的比例系数可得函数图象所在的象限. 【详解】A.错误，一次函数k＞0应过一，二，三象限； B.正确，一次函数k＞0过一，二，三象限，反比例函数在一，三象限内； C.错误，一次函数k＜0应过二，三，四象限； D错误，反比例函数k＜0图像应在二，四象限内. 故选B. 【点睛】当一次函数为y=kx+k，反比例函数为y=时， 若k＞0，一次函数图象经过一二三象限，反比例函数图象在一三象限内； 如k＜0，一次函数图象经过二三四象限，反比例函数图象在二四象限内. 7．下列说法正确的是（   ） A．函数是正比例函数， 比例系数是3 B．函数是反比例函数，比例系数是 C．函数是反比例函数，比例系数是5 D．函数是反比例函数，比例系数是 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、正比例函数的定义 【分析】利用正比函数、反比例函数的定义逐项判断即可得解． 【详解】A．函数是反比例函数，故A项错误； B．函数是一次函数，故B项错误； C．函数是反比例函数，比例系数是，故C项错误； C．函数是反比例函数，比例系数是，故D项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的知识．熟悉正比函数、反比例函数的定义是解答本题的关键． 8．下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、是二次函数，不符合题意； D、是一次函数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】不题考查了反比例函数的定义，解题关键是掌握反比例函数的定义并能和其他函数进行区分． 9．若是反比例函数，则必须满足（ ） A．k≠3 B．k≠0 C．k≠3或k≠0 D．k≠3且k≠0 【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】让比例系数k（k-3）≠0列式求值即可． 【详解】∵y＝是反比例函数， ∴k（k-3）≠0， ∴k≠0且k-3≠0， 解得k≠3且k≠0， 故选D． 【点睛】此题考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0）；用到的知识点为：两数相乘的结果不为0，两数均不为0． 10．函数的自变量满足≤≤2时，函数值y满足≤≤1，则这个函数肯定不是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把x=代入四个选项中的解析式可得y的值，再把x=2代入解析式可得y的值，然后可得答案． 【详解】：A、把x=代入可得y=4，把x=2代入可得y=1，故A正确； B、把x=代入可得y=，把x=2代入可得y=1，故B错误； C、把x=代入可得y=，把x=2代入可得y=1，故C错误； D、把x=代入可得y=16，把x=2代入可得y=1，故D错误． 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象的性质，关键是正确理解题意，根据自变量的值求出对应的函数值． 二、填空题 11．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数称为反比例函数，即可求出的值． 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 12．若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于 ． 【答案】﹣1 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【详解】试题分析：根据反比例函数的定义先求出m的值，再根据系数不为0进行取舍． 解：∵y=（m﹣1）是反比例函数， ∴m2﹣2=﹣1，m﹣1≠0， ∴m=﹣1． 故答案为﹣1． 考点：反比例函数的定义． 13．已知反比例函数的图像经过点P（2，－3）,k的值为 . 【答案】-6 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】将点P的坐标代入反比例函数解析式中即可求得k的值. 【详解】∵反比例函数的图像经过点P（2，－3）, ∴k=. 故答案是：-6. 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 14．已知关于x的反比例函数经过点，则 ． 【答案】2 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、求反比例函数值 【分析】根据反比例函数的定义即可求出a的值，即得出该反比例函数的解析式．再将点(1，b)代入该反比例函数的解析式即可求出b的值． 【详解】∵是关于x的反比例函数， ∴， ∴， ∵该反比例函数经过点(1，b)， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数的定义与反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的定义求出a的值是解答本题的关键． 15．点A（a，b）是函数y=x﹣1与y=的交点，则a2b﹣ab2= ． 【答案】2 【详解】试题解析：由，解得或 ∴ 或 当时，， 当时，   故答案为2． 16．如图，已知矩形ABCO的面积为8，反比例函数y=的图象经过矩形ABCO对角线的交点E，则k= ． 【答案】2 【分析】过E点作ED⊥x轴于D，EF⊥y轴于F，根据矩形的性质得S矩形ODEFS矩形OABC＝2，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解． 【详解】过E点作ED⊥x轴于D，EF⊥y轴于F，如图，∵四边形OABC为矩形，点E为对角线的交点，∴S矩形ODEFS矩形OABC＝2，∴k＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 17．如果反比例函数的图象过点，那么这个反比例函数的解析式为 ，随的减小而 ． 【答案】 , 减小 【分析】设反比例函数的解析式是y=（k≠0），然后将点（1，-2）代入该函数解析式列出关于系数k的方程，通过解方程求得k的值．根据k的符号判定该函数的增减性． 【详解】设反比例函数的解析式是y=（k≠0），则 -2=， 解得，k=-2． 则该函数解析式是：y=-． ∵k=-2＜0， ∴该函数的图象经过第二、四象限，且在每一象限内y随x的减小而减小． 故答案分别是：y=-；减小． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上． 18．两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2019在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2019，纵坐标分别是1，3，5，…，共2019个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2019分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2019（x2019，y2019），则y2019= ． 【答案】2018.5. 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据点Pn的纵坐标可求出其横坐标，根据xn的变化找出变化规律“xn= （n为正整数）”，再结合Qn（xn，yn）在反比例函数y=的图象上，即可得出yn=，由此即可得出结论． 【详解】解：观察，发现规律：x1==6，x2==2，x3=，x4=，…， ∴xn=（n为正整数）， ∵点Qn（xn，yn）在反比例函数y=的图象上， ∴yn===， 当n=2019时，y2018==2018.5， 故答案为2018.5． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的变化规律，解题的关键是找出规律yn=．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在反比例函数图象上，找出点的坐标的变化规律是关键． 三、解答题 19．某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 【答案】 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】设，求出的值，化简即可． 【详解】解：由题意得：设 ∵当投入改造经费1万元时，年产量是2万只 ∴ 解得： ∴ 即： 【点睛】本题考查反比例关系．根据题意正确设出关系式即可． 20．若函数是反比例函数，求的值． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意，知解得，故的值是． 21．已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用反比例函数描述数量关系、正比例函数的性质、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 22．某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价(元/双) 150 200 250 300 销售量(双) 40 30 24 20 (1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式； (2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？ 【答案】(1)， (2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元 【知识点】用反比例函数描述数量关系、分式方程的实际应用 【分析】（1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式； （2）根据“售价进价销售量利润”列出式子，整理即可求解． 【详解】（1）（1）由表中数据得：， ， 是的反比例函数， 故所求函数关系式为； （2）由题意得：， 把代入得：， 解得：； 经检验，是原方程的根，符合题意. 答：若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验． 23．已知． (1)化简； (2)已知反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由反比例函数值求自变量、分母有理化、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，反比例函图象点的坐标特征，因式分解等知识点，熟练运用运算法则运算是解题的关键． （1）利用因式分解对分式进行通分，再运算化简即可； （2）把点代入得到关于的式子后，代入运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵在反比例函数上， ∴把，代入可得：， 整理得：， ∴． 24．若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积． x 1 8 y 4 2 (1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式； (2)根据函数关系式完成上表． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】求自变量的值或函数值、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值， （1）根据矩形的面积公式设出关系式，再把点代入求解析式即可； （2）利用函数解析式求自变量或函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得，， ∴； （2）解：把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 完成表格如下： 25．已知是关于的函数，若存在时，函数值，则称函数是关于的倩影函数，此时点叫该倩影函数的影像点． （1）判断函数是否为倩影函数．如果是，请求出影像点．如果不是，请说明理由； （2）已知函数（）． ①求证：该函数总有两个不同的影像点； ②是否存在一个值，使得函数（）的影像点的横坐标，都为整数，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）函数是倩影函数，影像点为（2，−2），（−2，2），理由见详解；（2）①见详解；②不存在k的值，使得影像点的横坐标x1，x2都为整数，理由见详解． 【知识点】用反比例函数描述数量关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）把点（p，−p）代入，有解则是倩影函数，求出影像点； （2）①把点（p，−p）代入，得到关于p的二次方程，用根式判别式证明；②在①的条件下，求出x的值，结合x为整数求出k的值． 【详解】（1）解：由题意得：把点（p，−p）代入得：−p＝−4p， 解得：p1＝2，p2＝−2， ∴函数是倩影函数，影像点为（2，−2），（−2，2）． （2）①证明：把点（p，−p）代入（k≠0）得：， 化简得：3p2＋（−6−k）p＋k＝0， ∴Δ＝（−6−k）2−4×3×k＝k2＋36＞0， ∴该函数总有两个不同的影像点． ②解：由①得，方程3p2＋（−6−k）p＋k＝0的解为：p＝， ∵影像点的横坐标x1，x2都为整数， ∴是6的整数倍，且k为整数， 设＝6n（n为整数）， 化简得：3n2−nk−3＝0，解得：k＝3n−， ∴n＝1或3， 当n＝1时，k＝0（舍）， 当n＝3时，k＝8， 此时，x1＝4，x2＝，不符合题意， 综上所述：不存在k的值，使得影像点的横坐标x1，x2都为整数． 【点睛】本题以新定义为背景，考查了反比例函数和一元二次方程的解相关知识点，解题的关键是把（p，−p）代入函数解析式后，结合根式判别式Δ判断一元二次方程的根情况． 26．类比学习反比例函数的过程与方法，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下： x … ―3 ―2 ―1 1 2 3 … y … m 2 4 4 2 1 … (1)①列表：其中，m的值为______； ②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点．已画出部分图像，请补全函数图像： ③根据函数图象，写出该函数的一条性质______． (2)利用图像直接写出当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)①1；②见解析；③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(答案不唯一) (2)或 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、根据反比例函数的定义求参数、由反比例函数值求自变量 【分析】(1)①把x=-2代入，即可求得m的值；②首先描点，再连线即可画得；③根据函数图象即可写得； (2)根据函数图象及表格即可求得． 【详解】（1）解：①把x=-2代入， 得， 故答案为：1； ②画图如下： ③当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(答案不唯一)； （2）解：当时，即， 得， 或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了画函数图象的方法，求函数的解析式，根据函数图象写出函数的性质，求自变量的取值范围，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$