2025届高考物理一轮复习讲义：“追及相遇问题”的题型技法

第一章 运动的描述　匀变速直线运动 第4讲　“追及相遇问题”的题型技法 1. 高考真题考点分布 题型 考点考查 考题统计（近三年） 计算题 追及相遇 2022重庆卷 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】 追及相遇问题在考查过程中一般较少出现单独考查，多为多过程综合考查为主 【备考策略】 (1)掌握追及相遇问题的分析方法。 (2)熟练掌握利用匀变速直线运动解决实际问题。 (3)掌握较为复杂的追及相遇问题中的情景分析 【命题预测】 重点关注与实际物理过程和情境有关的多过程综合运动问题。 1．分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”． (1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口． 2．能否追上的判断方法(临界条件法) 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上． 3．特别提醒 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动． 4．常用分析方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图． (2)二次函数法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况． ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，说明追不上或不能相遇． (3)极值法 设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间的二次函数，再利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值． (4)图像法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图像中画出，然后利用图像分析、求解相关问题． (一)　情境分析法 情境分析法的基本思路 1.汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2。从此刻开始计时。求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少； (2)经过多长时间A恰好追上B。 2.（2023·全国·模拟预测）若小汽车以的速度在平直公路上行驶，刹车后行驶900m的距离停下来。在平直公路上，小汽车正以的速度行驶，司机突然发现前方处有一货车正以的速度同向匀速行驶。 （1）小汽车刹车过程的加速度大小是多少？ （2）小汽车司机发现大货车时立即刹车（不计司机的反应时间），是否会发生撞车事故？（要求有完整的判断过程） ①若不会发生撞车事故，经过多长时间两车相距最近？最近是多少？相距最近时两车的速度分别是多少？ ②若会发生撞车事故，经过多长时间相撞？若小汽车司机发现大货车时立即鸣笛，提示大货车加速，大货车立即加速，加速度至少为多大，可以避免撞车事故发生？ 3.（2022秋·湖北·高三校联考期中）强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以和的速度在限速的路面上匀速行驶，其中甲车车身长、货车车身长，某时刻货车在甲车前处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为，假定货车速度保持不变，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度，求： （1）甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间（结果保留2位小数）； （2）一般情况下，汽车时速超过限速不到的，仅给予警告，不予扣分和罚款。若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者车头相距，乙车速度为，甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车在不被扣分和罚款的前提下，能否安全超车？若甲车不能安全超车，则乙车至少以多大的加速度减速才能使甲车安全超车？ (二)　图像分析法 图像分析法的解题要领 图像分析法是指将两个物体的运动图像画在同一坐标系中，然后根据图像分析求解相关问题。 (1)若用位移图像求解，分别作出两个物体的位移图像，如果两个物体的位移图像相交，则说明两物体相遇。 (2)若用速度图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。 [注意]　x-t图像的交点表示两物体相遇，而v-t图像的交点只表示两物体此时速度相等。实际解题过程中，常选择v-t图像求解。 1.中国高铁向世界展示了中国速度和谐号和复兴号高铁相继从沈阳站点由静止出发，沿同一方向做匀加速直线运动。两车运动的速度一时间图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．复兴号高铁追上和谐号动车前，时两车相距最远 B．复兴号高铁经过95s加速达到最大速度 C．时，复兴号高铁追上和谐号动车 2.（2023·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）如图表示甲乙两个物体的速度时间图和位移时间图，其中甲物体做匀变速直线运动。已知甲乙在同一条直线上运动，且当t=2s时，甲的的位置坐标为x=-2m。求： （1）甲的初始位置坐标； （2）前6秒内甲的平均速度； （3）甲的位置坐标随时间的关系式； （4）判断甲乙是否会相遇，如果会，请求出相遇时间，不会相遇，请说明理由。 (三)　函数分析法 函数分析法的解题技巧 在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方，可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解。 设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0： (1)若f(t)＝0有正实数解，说明两物体能相遇。 (2)若f(t)＝0无正实数解，说明两物体不能相遇。 1.据统计，开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍。一辆汽车在平直公路上以的速度匀速行驶，正前方处有一只流浪狗卧在公路上，该司机因用手机微信抢红包后才发现危险，然后立即紧急刹车，以的加速度做匀减速运动，假设没有其他汽车，可知（　　） A．无论司机是否用手机微信抢红包，流浪狗若一直静卧，都将难逃厄运 B．即使流浪狗一直静卧着，也不会被汽车撞到 C．若汽车距流浪狗时，流浪狗开始以的速度与车同方向奔跑，则流浪狗将摆脱厄运 D．若汽车距流浪狗时，流浪狗开始以的速度与车同方向奔跑，则流浪狗仍难逃厄运 2.一汽车在直线公路上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则： (1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ (2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ 1．（2024·河北保定·一模）如图甲所示，一辆小轿车从服务区匝道驶入平直高速行车道时速率为20m/s，想要加速驶入内车道，由于行车道前方匀速运动的大货车速度较小，影响超车。小轿车加速8s后放弃超车，立即减速，再经过3s，与大货车同速跟随，再伺机超车。该过程小轿车的速度与时间的关系如图乙所示，下列说法中正确的是（    ） A．该过程小轿车的平均加速度大小为1.25m/s2 B．该过程小轿车的平均加速度大小为m/s2 C．该过程小轿车与大货车之间的距离先减小后增大 D．该过程小轿车与大货车之间的距离先增大后减小 2．（2024·海南·一模）在2023年中国自行车巡回赛中，甲、乙两选手骑规格相同的自行车沿同一方向做直线运动，其图像如图所示，已知两人在时刻并排骑行，则（　　） A．在时，甲在乙后 B．在到时间内，两人相隔越来越近 C．在时刻后，两人相隔越来越远 D．在到时间内的某时刻，两人再次并排骑行 3．（23-24高三上·广东深圳·期末）如图1、2、3、4、5为某高架桥上五根竖直吊绳，间距相等。两辆小汽车车头在时刻分别对齐1、3绳，在两条车道上从相同初速度做匀加速直线运动，在时刻两车头都对齐5绳，下列分析正确的是（　　） A．车的加速度是车的两倍 B．车的末速度是车的两倍 C．车的平均速度是车的两倍 D．车在超车过程可把两车视为质点 4．（2024·辽宁·一模）清晨，一对父女沿平直公路晨跑，父女俩均以2m/s的速度匀速运动，女儿在父亲前面8m处，父亲带着的手机播放音乐，女儿用蓝牙耳机收听；某时刻女儿开始以的加速度匀加速奔跑，速度达到6m/s后继续匀速运动。若蓝牙耳机连接信号的最大距离为200m，则女儿开始加速运动多长时间后不能收听到音乐（　　） A．25s B．44s C．48s D．50s 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示为某地的转盘路，汽车要想直行，到转盘路时，需要先做半径为R=25m的圆周运动，运动半个圆周后再直行。若汽车甲到达转盘路时，汽车乙恰好通过转盘路进入直行车道，以匀速行驶。已知汽车通过转盘路过程的速度不能超过，通过后在直行车道上的速度不能超过，加速度不能超过则汽车甲追上汽车乙所用的最短时间约为（假设直行车道足够长，且没有通过红绿灯，另外不考虑汽车的变加速恒功率过程）（　　） A．15.7s B．17.6s C．19.5s D．21.4s 6．（2024·广东惠州·二模）甲、乙、丙三位同学，晚饭后在学校田径场100米赛道上散步，其位移-时间图像如图所示，图线丙为直线，下列说法正确的是（    ） A．三位同学同时从同一位置出发 B．在t₂时刻，三位同学相遇 C．在内，甲同学的平均速度最大 D．甲、乙两位同学在做曲线运动 7．（2024·山东青岛·三模）如图，多辆车在路口停止线后依次排列等候绿灯，第一辆车的前端刚好与路口停止线相齐，且每辆车的尾部与相邻后车的前端距离均为1m。为了安全，前车尾部与相邻后车前端距离至少为5m时后车才能开动。已知车长均为4m，开动后车都以2m/s2的加速度做匀加速直线运动直到离开路口。绿灯亮起瞬间，第一辆车立即开动，下列说法正确的是（　　） A．第二辆车刚开动时，第一辆车已行驶的时间至少为 B．第六辆车前端刚到达停止线时的速度大小为 C．从绿灯刚亮起到第六辆车刚开动所需时间至少为12s D．从绿灯刚亮起到第六辆车前端与停止线相齐所需最短时间为15s 二、多选题 8．（2024·四川泸州·三模）2023年4月17日，AITO问界M5华为高阶智能驾驶版首发，可以实现无人驾驶。如图所示，车道宽为2.7m，长为12m的货车以v1=10m/s的速度匀速直线行驶，距离斑马线20m时，一自行车以v3=2m/s的速度匀速直线行驶，恰好垂直越过货车右侧分界线，此时无人驾驶轿车车头恰好和货车车尾齐平，轿车以v2=15m/s速度匀速直线行驶，轿车紧急制动的加速度大小a=10m/s2。当货车在侧面遮挡轿车雷达波时，自行车需完全越过货车左侧分界线，轿车雷达才能准确探测到前方自行车。则下列判断正确的是（    ） A．货车不减速也不会与自行车相撞 B．轿车不减速也不会与自行车相撞 C．轿车探测到自行车立即制动不会与自行车相撞 D．轿车探测到自行车立即制动会与自行车相撞 9．（2024·广东·二模）甲、乙两车并排在同一平直公路上从同一起点同向运动，甲车由静止开始做匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动。甲，乙两车的位置x随时间t的变化关系如图所示。下列说法正确的是（　　） A．时间内，甲、乙两车行驶的路程相等 B．在时刻，甲图线的切线必定与乙图线相交于某一点 C．在时刻，甲、乙两车之间的距离为 D．在时刻，甲图线的切线必定经过坐标原点 三、解答题 10．（2024·福建漳州·三模）截至2023年8月，中国已累计开放智能网联无人驾驶汽车测试道路2万千米。如图所示，某次测试时，无人驾驶测试车甲、乙在两平行车道上做直线运动；当甲、乙两车并排时，甲车以的速度匀速运动，乙车开始同方向做初速度为零的匀加速运动，经两车恰好再次并排。求： （1）乙车的加速度大小a； （2）内，两车相距的最大距离。 11．（2021·河北·高考真题）如图，一滑雪道由和两段滑道组成，其中段倾角为，段水平，段和段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若后质量为的滑雪者从顶端以的初速度、的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为，重力加速度取，，，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求： （1）滑道段的长度； （2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。 12．（2022·河南郑州·一模）货车在装载货物的时候都要尽可能把货物固定在车厢内，否则遇到紧急情况容易出现危险。如图所示，货车的车厢长度为12m，车厢中间位置放着一个可以看作质点的货物，货物与货车相对静止。货车以v0=12m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，某时刻，司机看到前方有障碍物，立刻采取制动措施，使货车以最大加速度a=6m/s2的加速度匀减速刹车。若车厢内货物没有固定，货物与车厢底部之间的动摩擦因数=0.3，货车刹车停止后不再移动，重力加速度g取10m/s2。求： （1）货物运动到车厢前壁时，货车与货物的速度分别是多大； （2）要使货物不与车厢前壁发生碰撞，货物与车厢底部之间的动摩擦因数至少需要多大。 13．（2023·福建·一模）某学校的足球训练场地长L=120m、宽d=80m，在一次传球射门训练活动中，甲站在边线与中线的交点处，乙站在开球点（球场中心），如图所示。甲将足球以的速度踢出，足球在草地上沿偏离中线37°的方向做匀减速直线运动，球被踢出的同时乙同学沿图中虚线由静止开始向右做匀加速直线运动，5s末与足球相遇。已知足球的质量m=0.45kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）乙同学运动的加速度大小； （2）足球匀减速过程中受到的阻力大小； （3）乙同学与足球相遇时足球的动能。 14．（2023·河北石家庄·二模）智能驾驶辅助系统极大提高了汽车运行的安全性。如图所示，在某次安全性能测试中两辆汽车A、B沿同一条直线同向行驶，前车B的速度，后车A的速度，A车在时刻发射一超声波脉冲，脉冲波经 B车反射后在时被 A车刚好接收。A车接收到超声脉冲后立即以大小为的加速度刹车至两车速度大小相等，已知声波在空气中传播的速度，求： （1）A 车刹车时A、B两车间的距离； （2）A、B两车速度大小相等时两车间的距离。 15．（2022·四川德阳·一模）如图所示，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道宽的中心线（图中虚线所示）向前匀速行驶，。两车车长均为，车宽均为。当甲、乙两车车头到十字路口中心点O的距离分别为时，乙车意识到有撞车的危险立即刹车做匀减速直线运动，但甲车却仍保持原有运动状态向前行驶。为了避免两车相撞且让甲车先通过中心点O，则乙车的加速度应该满足什么条件？ 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 运动的描述　匀变速直线运动 第4讲　“追及相遇问题”的题型技法 1. 高考真题考点分布 题型 考点考查 考题统计（近三年） 计算题 追及相遇 2022重庆卷 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】 追及相遇问题在考查过程中一般较少出现单独考查，多为多过程综合考查为主 【备考策略】 (1)掌握追及相遇问题的分析方法。 (2)熟练掌握利用匀变速直线运动解决实际问题。 (3)掌握较为复杂的追及相遇问题中的情景分析 【命题预测】 重点关注与实际物理过程和情境有关的多过程综合运动问题。 1．分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”． (1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口． 2．能否追上的判断方法(临界条件法) 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上． 3．特别提醒 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动． 4．常用分析方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图． (2)二次函数法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况． ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，说明追不上或不能相遇． (3)极值法 设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间的二次函数，再利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值． (4)图像法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图像中画出，然后利用图像分析、求解相关问题． (一)　情境分析法 情境分析法的基本思路 1.汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2。从此刻开始计时。求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少； (2)经过多长时间A恰好追上B。 [解题指导]　汽车A和B的运动过程如图所示。 [解析]　(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s， 此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m， 汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m， 故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m。 (2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s，运动的位移xB′＝＝25 m， 汽车A在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20 m，此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m， 汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s， 故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s。 [答案]　(1)16 m　(2)8 s 2.（2023·全国·模拟预测）若小汽车以的速度在平直公路上行驶，刹车后行驶900m的距离停下来。在平直公路上，小汽车正以的速度行驶，司机突然发现前方处有一货车正以的速度同向匀速行驶。 （1）小汽车刹车过程的加速度大小是多少？ （2）小汽车司机发现大货车时立即刹车（不计司机的反应时间），是否会发生撞车事故？（要求有完整的判断过程） ①若不会发生撞车事故，经过多长时间两车相距最近？最近是多少？相距最近时两车的速度分别是多少？ ②若会发生撞车事故，经过多长时间相撞？若小汽车司机发现大货车时立即鸣笛，提示大货车加速，大货车立即加速，加速度至少为多大，可以避免撞车事故发生？ 【答案】（1）；（2）会发生撞车事故；②， 【解析】（1）由运动学公式 可得小汽车刹车过程的加速度大小 （2）设经过时间，两车的速度相等，有 这段时间内，小汽车的位移 货车的位移 由于 会发生撞车事故 ②设经过时间t，两车相撞，有 可得 不符合题意 设大货车的加速度至少为，设经过时间，两车的速度相等 有 此时位移关系 联立可得 即大货车的加速度至少为，可以避免撞车事故发生 3.（2022秋·湖北·高三校联考期中）强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以和的速度在限速的路面上匀速行驶，其中甲车车身长、货车车身长，某时刻货车在甲车前处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为，假定货车速度保持不变，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度，求： （1）甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间（结果保留2位小数）； （2）一般情况下，汽车时速超过限速不到的，仅给予警告，不予扣分和罚款。若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者车头相距，乙车速度为，甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车在不被扣分和罚款的前提下，能否安全超车？若甲车不能安全超车，则乙车至少以多大的加速度减速才能使甲车安全超车？ 【答案】（1）；（2）不能， 【解析】（1）甲车初速度为 货车速度为 公路限速为 甲车速度从v1加速至vm所用时间为 该段时间内甲车和货车的位移分别为 因为 所以甲车加速至vm后还需要匀速行驶一段时间才能完成超车，该时间为 则甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间为 （2）假设甲车在超车过程中一直加速，设超车时间为t3，根据位移关系有 解得 超车完毕时甲车速度为 乙车初速度为 t3时间内甲、乙两车行驶的路程之和为 所以甲车在不被扣分和罚款的前提下不能安全超车，若要甲车能够安全超车，乙车在t3时间内行驶的路程最大值为 此时对应乙车刹车的加速度最小，则 解得 (二)　图像分析法 图像分析法的解题要领 图像分析法是指将两个物体的运动图像画在同一坐标系中，然后根据图像分析求解相关问题。 (1)若用位移图像求解，分别作出两个物体的位移图像，如果两个物体的位移图像相交，则说明两物体相遇。 (2)若用速度图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。 [注意]　x-t图像的交点表示两物体相遇，而v-t图像的交点只表示两物体此时速度相等。实际解题过程中，常选择v-t图像求解。 1.中国高铁向世界展示了中国速度和谐号和复兴号高铁相继从沈阳站点由静止出发，沿同一方向做匀加速直线运动。两车运动的速度一时间图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．复兴号高铁追上和谐号动车前，时两车相距最远 B．复兴号高铁经过95s加速达到最大速度 C．时，复兴号高铁追上和谐号动车 D．复兴号高铁追上和谐号动车前，两车最远相距4900m 【答案】B 【详解】ACD．由图像可知，时，和谐号动车速度大于复兴号高铁，时，和谐号动车速度小于复兴号高铁，故复兴号高铁追上和谐号动车前，时两车相距最远，根据图像与坐标轴围成的面积表示位移，可知复兴号高铁追上和谐号动车前，两车最远相距故ACD错误； B．复兴号高铁的加速度为复兴号高铁加速达到最大速度所需的时间为故B正确。故选B。 2.（2023·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）如图表示甲乙两个物体的速度时间图和位移时间图，其中甲物体做匀变速直线运动。已知甲乙在同一条直线上运动，且当t=2s时，甲的的位置坐标为x=-2m。求： （1）甲的初始位置坐标； （2）前6秒内甲的平均速度； （3）甲的位置坐标随时间的关系式； （4）判断甲乙是否会相遇，如果会，请求出相遇时间，不会相遇，请说明理由。 【答案】（1）；（2）1.5m/s；（3）；（4）会相遇，相遇时刻为， 【解析】（1）v-t图线与横轴所围区域的面积表示物体发生的位移，由图可知，0~2s内的位移为 所以甲的初始位置坐标为 （2）由图可知 所以前6s内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，即 （3）甲的位置坐标随时间变化的关系式为 （4）由乙图可知，乙的初始位置坐标为-3m，乙做匀速直线运动，速度为 所以乙的位置随时间变化的关系为 若甲乙相遇，有 整理得 解得 ， 说明会相遇。 (三)　函数分析法 函数分析法的解题技巧 在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方，可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解。 设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0： (1)若f(t)＝0有正实数解，说明两物体能相遇。 (2)若f(t)＝0无正实数解，说明两物体不能相遇。 1.据统计，开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍。一辆汽车在平直公路上以的速度匀速行驶，正前方处有一只流浪狗卧在公路上，该司机因用手机微信抢红包后才发现危险，然后立即紧急刹车，以的加速度做匀减速运动，假设没有其他汽车，可知（　　） A．无论司机是否用手机微信抢红包，流浪狗若一直静卧，都将难逃厄运 B．即使流浪狗一直静卧着，也不会被汽车撞到 C．若汽车距流浪狗时，流浪狗开始以的速度与车同方向奔跑，则流浪狗将摆脱厄运 D．若汽车距流浪狗时，流浪狗开始以的速度与车同方向奔跑，则流浪狗仍难逃厄运 【答案】C 【详解】根据题意可知，汽车的行驶速度为AB．根据题意，若司机没抢红包，由公式可得，汽车刹车停止的距离为可知，若司机没抢红包，流浪狗若一直静卧，可以逃过厄运；若司机抢红包，则汽车刹车停止的距离为流浪狗一直静卧着，会被汽车撞到，故AB错误； CD．若司机抢红包，汽车刹车时与流浪狗的距离为即汽车开始刹车，流浪狗开始以的速度与车同方向奔跑，若流浪狗能逃脱厄运，即汽车与流浪狗速度相等时，汽车没有追上流浪狗，设速度相等的时间为，则有解得流浪狗的位移为汽车的位移为则有可知，汽车没有追上流浪狗，则流浪狗将摆脱厄运，故D错误，C正确。故选C。 2.一汽车在直线公路上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则： (1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ (2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ [解析]　(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m， 在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t′＝10 m， 从汽车刹车开始计时，自行车的位移为：x自＝v自t， 汽车的位移为：x汽＝v汽t－at2， 假设汽车能追上自行车，此时有：x汽＝x自＋d′， 代入数据整理得：at2－10t＋10＝0， 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得：Δ＝102－20a≤0， 解得：a≥5 m/s2，汽车的加速度至少为5 m/s2。 (2)设自行车加速度为a′，同理可得：x汽′＝x自′＋d′， 整理得：t2－10t＋10＝0， 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得：Δ＝102－20a′－80≤0， 解得：a′≥1 m/s2，自行车的加速度至少为1 m/s2。 [答案]　(1)5 m/s2　(2)1 m/s2 1．（2024·河北保定·一模）如图甲所示，一辆小轿车从服务区匝道驶入平直高速行车道时速率为20m/s，想要加速驶入内车道，由于行车道前方匀速运动的大货车速度较小，影响超车。小轿车加速8s后放弃超车，立即减速，再经过3s，与大货车同速跟随，再伺机超车。该过程小轿车的速度与时间的关系如图乙所示，下列说法中正确的是（    ） A．该过程小轿车的平均加速度大小为1.25m/s2 B．该过程小轿车的平均加速度大小为m/s2 C．该过程小轿车与大货车之间的距离先减小后增大 D．该过程小轿车与大货车之间的距离先增大后减小 【答案】B 【详解】AB．该过程小轿车的平均加速度大小为 故A错误，B正确； CD．该过程小轿车的速度一直大于大货车的速度，所以该过程小轿车与大货车之间的距离一直减小，故CD错误。 故选B。 2．（2024·海南·一模）在2023年中国自行车巡回赛中，甲、乙两选手骑规格相同的自行车沿同一方向做直线运动，其图像如图所示，已知两人在时刻并排骑行，则（　　） A．在时，甲在乙后 B．在到时间内，两人相隔越来越近 C．在时刻后，两人相隔越来越远 D．在到时间内的某时刻，两人再次并排骑行 【答案】D 【详解】A．两人在时刻并排骑行，根据v-t图线与坐标轴围成的面积表示位移知在0到时间内，乙的位移大于甲的位移，说明甲在乙前，故A错误； BCD．根据v-t图线与坐标轴围成的面积表示位移知在到时间内，两人的位移差越来越大，在时刻速度相等，相隔最远。此后，两人距离先减小为零而后又增大，所以在到时间内的某时刻，两人再次并排骑行，故BC错误，D正确。 故选D。 3．（23-24高三上·广东深圳·期末）如图1、2、3、4、5为某高架桥上五根竖直吊绳，间距相等。两辆小汽车车头在时刻分别对齐1、3绳，在两条车道上从相同初速度做匀加速直线运动，在时刻两车头都对齐5绳，下列分析正确的是（　　） A．车的加速度是车的两倍 B．车的末速度是车的两倍 C．车的平均速度是车的两倍 D．车在超车过程可把两车视为质点 【答案】C 【详解】C．设相邻竖直吊绳间距为L，由平均速度公式得 可得 即车的平均速度是车的两倍，故C正确； B．由上式得 可得 即车的末速度比车的两倍还要大，故B错误； A．由加速度得定义式可得，车的加速度为 车的加速度为 所以 故A错误； D．车在超车过程，两车的大小均不能忽略不计，即均不能把两车视为质点，故D错误。 故选C。 4．（2024·辽宁·一模）清晨，一对父女沿平直公路晨跑，父女俩均以2m/s的速度匀速运动，女儿在父亲前面8m处，父亲带着的手机播放音乐，女儿用蓝牙耳机收听；某时刻女儿开始以的加速度匀加速奔跑，速度达到6m/s后继续匀速运动。若蓝牙耳机连接信号的最大距离为200m，则女儿开始加速运动多长时间后不能收听到音乐（　　） A．25s B．44s C．48s D．50s 【答案】D 【详解】当两者间距达到200m后，不能收听到音乐，则 根据 解得 故选D。 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示为某地的转盘路，汽车要想直行，到转盘路时，需要先做半径为R=25m的圆周运动，运动半个圆周后再直行。若汽车甲到达转盘路时，汽车乙恰好通过转盘路进入直行车道，以匀速行驶。已知汽车通过转盘路过程的速度不能超过，通过后在直行车道上的速度不能超过，加速度不能超过则汽车甲追上汽车乙所用的最短时间约为（假设直行车道足够长，且没有通过红绿灯，另外不考虑汽车的变加速恒功率过程）（　　） A．15.7s B．17.6s C．19.5s D．21.4s 【答案】B 【详解】汽车甲到达转盘路时速度为，通过转盘的时间为 直线加速时间 假设甲匀速后追上乙，则路程关系 解得 有解，假设成立。则总时间为 故选B。 6．（2024·广东惠州·二模）甲、乙、丙三位同学，晚饭后在学校田径场100米赛道上散步，其位移-时间图像如图所示，图线丙为直线，下列说法正确的是（    ） A．三位同学同时从同一位置出发 B．在t₂时刻，三位同学相遇 C．在内，甲同学的平均速度最大 D．甲、乙两位同学在做曲线运动 【答案】B 【详解】A．甲同学和丙同学从坐标原点出发，乙同学从x轴正半轴某处出发，故A错误； B．在t₂时刻，三位同学位置坐标均在处，故三位同学相遇。故B正确； C．在内，由图像可知甲同学的位移小于乙和丙的位移，故甲同学的平均速度最小。故C错误； D．甲、乙两位同学在做直线运动。故D错误。 故选B。 7．（2024·山东青岛·三模）如图，多辆车在路口停止线后依次排列等候绿灯，第一辆车的前端刚好与路口停止线相齐，且每辆车的尾部与相邻后车的前端距离均为1m。为了安全，前车尾部与相邻后车前端距离至少为5m时后车才能开动。已知车长均为4m，开动后车都以2m/s2的加速度做匀加速直线运动直到离开路口。绿灯亮起瞬间，第一辆车立即开动，下列说法正确的是（　　） A．第二辆车刚开动时，第一辆车已行驶的时间至少为 B．第六辆车前端刚到达停止线时的速度大小为 C．从绿灯刚亮起到第六辆车刚开动所需时间至少为12s D．从绿灯刚亮起到第六辆车前端与停止线相齐所需最短时间为15s 【答案】D 【详解】A．当第一辆车向前行驶4m时，第二辆车开始启动，根据位移时间关系可得 代入数据解得 故A错误； B．第六辆车前端距离停止线25m，根据速度位移关系可得 解得 故B错误； C．前面一辆车开始启动2s后，后面一辆车开始启动，所以从绿灯刚亮起到第六辆车刚开动所需时间至少为 故C错误； D．由于第六辆车前端距离停止线25m，根据位移时间关系可得 解得 从绿灯刚亮起到第六辆车前端与停止线相齐所需最短时间为 故D正确。 故选D。 二、多选题 8．（2024·四川泸州·三模）2023年4月17日，AITO问界M5华为高阶智能驾驶版首发，可以实现无人驾驶。如图所示，车道宽为2.7m，长为12m的货车以v1=10m/s的速度匀速直线行驶，距离斑马线20m时，一自行车以v3=2m/s的速度匀速直线行驶，恰好垂直越过货车右侧分界线，此时无人驾驶轿车车头恰好和货车车尾齐平，轿车以v2=15m/s速度匀速直线行驶，轿车紧急制动的加速度大小a=10m/s2。当货车在侧面遮挡轿车雷达波时，自行车需完全越过货车左侧分界线，轿车雷达才能准确探测到前方自行车。则下列判断正确的是（    ） A．货车不减速也不会与自行车相撞 B．轿车不减速也不会与自行车相撞 C．轿车探测到自行车立即制动不会与自行车相撞 D．轿车探测到自行车立即制动会与自行车相撞 【答案】AC 【详解】AB．人过路口的时间 在这段时间内，货车的位移 轿车的位移 A正确，B错误； CD．自行车过路口时，轿车雷达可探测到障碍物的时间 此时轿车距路口的距离 轿车开始制动到停下来的时间 所需要的制动距离 二者不会相撞，C正确，D错误。 故选AC。 9．（2024·广东·二模）甲、乙两车并排在同一平直公路上从同一起点同向运动，甲车由静止开始做匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动。甲，乙两车的位置x随时间t的变化关系如图所示。下列说法正确的是（　　） A．时间内，甲、乙两车行驶的路程相等 B．在时刻，甲图线的切线必定与乙图线相交于某一点 C．在时刻，甲、乙两车之间的距离为 D．在时刻，甲图线的切线必定经过坐标原点 【答案】CD 【详解】A．做单向直线运动的物体的位移等于位置坐标之差，且位移大小等于路程，所以时间内，甲车行驶的路程较大，故A错误； B．图像某点切线的斜率表示速度，因此乙车匀速运动的速度 时刻，甲车的速度等于0~2t0的平均速度 则此时甲车运动图线的切线与乙图线平行，故B错误； C．在时刻，乙车的位移 甲车的位移 甲、乙两车的间距 故C正确； D．因为 所以甲车在时刻的速度 在时刻，甲图线的切线必定经过坐标原点，故D正确。 故选CD。 三、解答题 10．（2024·福建漳州·三模）截至2023年8月，中国已累计开放智能网联无人驾驶汽车测试道路2万千米。如图所示，某次测试时，无人驾驶测试车甲、乙在两平行车道上做直线运动；当甲、乙两车并排时，甲车以的速度匀速运动，乙车开始同方向做初速度为零的匀加速运动，经两车恰好再次并排。求： （1）乙车的加速度大小a； （2）内，两车相距的最大距离。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）依题意得 解得 （2）内，当两车速度相等时，两车的距离最大，设经时间两车速度相等，由运动学公式得 。 在时间内，甲车的位移 乙车的位移 而 联立解得 11．（2021·河北·高考真题）如图，一滑雪道由和两段滑道组成，其中段倾角为，段水平，段和段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若后质量为的滑雪者从顶端以的初速度、的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为，重力加速度取，，，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求： （1）滑道段的长度； （2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设斜面长度为，背包质量为，在斜面上滑行的加速度为，由牛顿第二定律有 解得 滑雪者质量为，初速度为，加速度为，在斜面上滑行时间为，落后时间，则背包的滑行时间为，由运动学公式得 联立解得 或 故可得 （2）背包和滑雪者到达水平轨道时的速度为、，有 滑雪者拎起背包的过程，系统在光滑水平面上外力为零，动量守恒，设共同速度为，有 解得 12．（2022·河南郑州·一模）货车在装载货物的时候都要尽可能把货物固定在车厢内，否则遇到紧急情况容易出现危险。如图所示，货车的车厢长度为12m，车厢中间位置放着一个可以看作质点的货物，货物与货车相对静止。货车以v0=12m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，某时刻，司机看到前方有障碍物，立刻采取制动措施，使货车以最大加速度a=6m/s2的加速度匀减速刹车。若车厢内货物没有固定，货物与车厢底部之间的动摩擦因数=0.3，货车刹车停止后不再移动，重力加速度g取10m/s2。求： （1）货物运动到车厢前壁时，货车与货物的速度分别是多大； （2）要使货物不与车厢前壁发生碰撞，货物与车厢底部之间的动摩擦因数至少需要多大。 【答案】（1）货车与货物的速度分别是0m/s和6m/s；（2）0.4 【详解】（1）设车厢长L，货物运动到车厢前壁时，货车与货物的速度分别为v1、v2，此段时间设为t 则 v1=v0-at     v2=v0-gt     联立可解得 v1=0m/s v2=6m/s （2）要使货物不与车厢前壁发生碰撞，则要求满足 带入可得 即货物与车厢底部之间的动摩擦因数至少为0.4。 13．（2023·福建·一模）某学校的足球训练场地长L=120m、宽d=80m，在一次传球射门训练活动中，甲站在边线与中线的交点处，乙站在开球点（球场中心），如图所示。甲将足球以的速度踢出，足球在草地上沿偏离中线37°的方向做匀减速直线运动，球被踢出的同时乙同学沿图中虚线由静止开始向右做匀加速直线运动，5s末与足球相遇。已知足球的质量m=0.45kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）乙同学运动的加速度大小； （2）足球匀减速过程中受到的阻力大小； （3）乙同学与足球相遇时足球的动能。 【答案】（1）；（2）0.9N；（3） 【详解】（1）乙追上足球过程，根据位移公式有 解得 （2）设足球受到的恒定阻力为f，从开始运动到追上过程，根据位移公式有 根据牛顿第二定律有 解得 f=0.9N （3）对足球运动过程由动能定理得 解得 14．（2023·河北石家庄·二模）智能驾驶辅助系统极大提高了汽车运行的安全性。如图所示，在某次安全性能测试中两辆汽车A、B沿同一条直线同向行驶，前车B的速度，后车A的速度，A车在时刻发射一超声波脉冲，脉冲波经 B车反射后在时被 A车刚好接收。A车接收到超声脉冲后立即以大小为的加速度刹车至两车速度大小相等，已知声波在空气中传播的速度，求： （1）A 车刹车时A、B两车间的距离； （2）A、B两车速度大小相等时两车间的距离。 【答案】（1）28m；（2）8m 【详解】（1）设A车发射声波到B车接收声波时间为t1，B反射后到A接收声波的时间为t2，声波由发射到接收的过程中，由图 则 刹车时两车的距离 解得 d=28m （2）设经时间t3，两车共速 此过程中A车的位移 B车的位移 两车的距离 解得 Δd=8m 15．（2022·四川德阳·一模）如图所示，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道宽的中心线（图中虚线所示）向前匀速行驶，。两车车长均为，车宽均为。当甲、乙两车车头到十字路口中心点O的距离分别为时，乙车意识到有撞车的危险立即刹车做匀减速直线运动，但甲车却仍保持原有运动状态向前行驶。为了避免两车相撞且让甲车先通过中心点O，则乙车的加速度应该满足什么条件？ 【答案】 【详解】若乙车加速度较大，乙车的车头刚好没撞上甲车的车尾，如图所示： 有 解得 乙车的加速度应该满足。 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$