2024-2025学年人教版九年级上册数学试卷（10月份）

九年级（上）数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程的根是(    ) A. B. C. ， D. ， 2.用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的根的情况(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 4.已知的值为9，则代数式的值为(    ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 6.把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 7.在二次函数的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.点，在抛物线上，则(    ) A. B. C. D. 9.已知二次函数：，下列结论正确的是(    ) A. 其图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数有最小值为2 D. 当时，y随x的增大而减小 10.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若方程是一元二次方程，则______. 12.已知方程的一个根是1，则m的值是______. 13.二次函数与y轴的交点坐标______. 14.如果抛物线的对称轴是直线，则______. 15.将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，定义，上述记号叫做二阶行列式.那么表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题8分 解方程： ； 17.本小题8分 二次函数的顶点坐标是，求b与c的值. 18.本小题8分 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为 用含x的代数式表示第3年的可变成本为_________________________万元. 如果该养殖户第3年的养殖成本为万元，求可变成本平均每年增长的百分率 19.本小题9分 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、 求m的取值范围； 若，求m的值． 20.本小题9分 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米． 为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ 如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽是多少米？ 21.本小题9分 如图，已知二次函数的图象分别经过点， 求该函数的解析式； 在抛物线上是否存在一点P，使的面积等于4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 22.本小题12分 为解方程，我们可以将看成一个整体，然后设，则原方程可化为①，解得，当时，，， 当时，，，， 原方程的根为，，， 在由原方程得到方程①的解题过程中，利用______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想请利用以上方法解方程： ①； ② 23.本小题12分 如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，其顶点为C，对称轴为直线 求抛物线的函数解析式； 已知点M为y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：， ， 则或， 解得：或 故答案为： 整理成一般式后，利用因式分解法求解可得． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：A、 ；故该选项正确， B、 ；故该选项错误， C、 ；故该选项错误， D、， 故该选项错误． 故选： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把二次项系数化1，再在左右两边应加上一次项系数一半的平方． 本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3.【答案】C  【解析】解：由题意可知， 一元二次方程没有实数根． 故选： 由，，直接计算得到，利用方程的判别式来求解． 本题考查了一元二次方程为常数根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 4.【答案】D  【解析】解：根据题意得， 所以， 故选： 先求出的值，然后整体代入计算即可得解． 本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】【分析】 直接根据抛物线的顶点式进行解答即可． 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 【解答】 解：抛物线的解析式为：， 其顶点坐标为 故选 6.【答案】D  【解析】解：抛物线的顶点坐标为， 向下平移2个单位， 纵坐标变为， 向右平移1个单位， 横坐标变为， 平移后的抛物线顶点坐标为， 所得到的抛物线是 故选： 先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解． 7.【答案】A  【解析】解：， 二次函数图象开口向下， 对称轴是直线， 当时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大而增大． 故选： 抛物线中的对称轴是直线，开口向下，时，y随x的增大而增大． 本题考查了二次函数的性质：当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴左边，y随x的增大而增大． 8.【答案】C  【解析】解：由题意可知：对称轴为直线， ，点，在抛物线上， 点，关于对称轴对称， ， 故选： 根据题意可得：抛物线的对称轴为直线，由，可得点，关于对称轴对称，即可求解． 本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：中， ， 图象开口向上，故A错误； 对称轴为：，故B错误； 函数有最小值，为2，故C正确； 当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选： 利用二次函数的性质对用顶点式表示的二次函数进行分析后即可得到答案． 本题考查了二次函数的性质，牢记其用顶点式表示的二次函数的性质是解决本题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误． 故选： 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 11.【答案】  【解析】解：方程是一元二次方程， ，且， 解得， 故答案为： 根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件： 未知数的最高次数是2； 二次项系数不为0； 是整式方程； 含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 12.【答案】6  【解析】解：设方程的另一根为，又， ，解得 欲求m，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值． 此题也可将直接代入方程中求出m的值． 13.【答案】  【解析】解：，则， 与y轴的交点坐标为， 故答案为： 令，求出对应y值即可． 本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，正确进行计算是解题关键． 14.【答案】1  【解析】解：由题意，抛物线的对称轴是直线， 故答案为： 依据题意，根据对称轴公式，即可求解． 本题考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能掌握对称轴公式是关键． 15.【答案】  【解析】解：根据新定义可知可化为， 整理得：， 表示的方程是一元二次方程，它的一般形式为， 故答案为： 根据题意直接可列出方程，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可． 本题主要考查一元二次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 16.【答案】解：， ，即， ， ，； ， ， ， 或， ，  【解析】利用配方法求解即可； 利用因式分解法求解即可． 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 17.【答案】解：顶点坐标是， ， 解得  【解析】使用顶点坐标公式得到一方程组，可求出b、c的值． 本题考查了二次函数的性质，该题主要考查函数顶点坐标的公式求函数解析式． 18.【答案】解： 由题意，得 ， 解得：，不合题意，舍去 答：可变成本平均每年增长的百分率为  【解析】解：由题意，得 第3年的可变成本为：， 故答案为：； 见答案 【分析】根据增长率问题由第1年的可变成本为万元就可以表示出第二年的可变成本为，则第三年的可变成本为，故得出答案； 根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可 本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键． 19.【答案】解：方程的两个实数根， ， 解得： 方程的两个实数根分别为、， ， ，即，   【解析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；根据根与系数的关系结合，找出关于m的一元一次方程． 由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； 根据根与系数的关系可得出、，结合可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 20.【答案】解：设与墙垂直的一边为x米，另一边则为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，舍去 当时，，此时，另一边长为8米， 答：这个车棚的长为10米，宽为8米． 设小路的宽为a米， 根据题意得：， ， 解得：舍去，， 经检验符合题意. 答：小路的宽为1米．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 设与墙垂直的一边为x米，然后可得另一边为米，然后利用其面积为80平方米列出方程求解即可； 设小路的宽为a米，利用去掉小路的面积为54平方米列出方程求解即可得到答案． 21.【答案】解：分别将A、B点的坐标代入函数解析式， 得出二元一次方程组，解得， 所以，该二次函数的解析式为； 存在； 设， 的面积等于4， ， ， ， 当时，， 解得：或， 或； 当时，，即， ， 不存在这样的P点； 故或  【解析】分别将A、B的坐标代入二次函数解析式，构成二元一次方程组，解出b、c的值，进而得出二次函数的解析式； 设，根据的面积等于4可以计算出b的值，然后再利用二次函数解析式计算出a的值即可得到P点坐标． 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 22.【答案】换元  【解析】解：在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想， 故答案为：换元； ①， 设，则原方程可化为， 整理，得， 解得：，， 当时，， ， 当时，无意义，舍去； 故原方程的解为，； ②， 设， 则原方程可化为：， 整理，得， 解得：，， 当时，， ， ； 当时，， ， ； 原方程的根为，，， 根据题意可知利用了换元的方法解题； ①设，则原方程可化为，求出t的值，即可求解； ②设，则原方程可化为：，求出y的值，即可求解． 本题考查了解高次方程，解题关键在于利用换元法解题． 23.【答案】解：依题意知，抛物线解析式为 把，分别代入，得 ， 解得， 所以该抛物线解析式是或 由题意得：，； 由勾股定理得：， 当为等腰三角形时， ①若AB为底， ， 此时点O即为所求的点M， 故点M的坐标为； ②若AB为腰， 以点B为圆心，以长为半径画弧，交y轴于两点， 此时两点坐标为或， 以点A为圆心，以长为半径画弧，交y轴于点； 综上所述，当为等腰三角形时，点M的坐标分别为 、、、  【解析】直接根据题意列出关于a、k的方程组，解方程组即可解决问题． 运用分类讨论的数学思想，根据等腰三角形的定义，分类讨论，数形结合，即可解决问题． 主要考查了二次函数综合题，涉及抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式等知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用、大胆猜测、科学解答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$