精品解析：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

会泽县茚旺高级中学 2024年春季学期高一年级3月月考考试试题数学 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22个小题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题（本题共8小题， 每题 5 分， 共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若幂函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则的零点为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 6. 如图所示，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 4 小题， 每题 5 分， 共 20 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5分， 有选错的得0分， 部分选对的得2分.） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列判断正确的是（ ） A. B. 命题“”的否定是“” C. 若，则 D. “”是“是第一象限角”的充要条件 11. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象的一条对称轴方程是 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象 12. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数．如，，．令，以下结论正确的有（ ） A. B. C. D. 函数的值域为 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题（本题共 4 小题， 每题 5 分， 共 20 分.） 13. 计算：_________． 14. 已知向量，满足，，且，的夹角为45°，则______ 15. 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________. 16. 已知函数，记，若有6个零点，则实数的取值范围是___________. 四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）求值：； （2）求值：． 18. 设，计算下列各式的值： （1）； （2）. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调递增区间； （2）当，且时，的值域是，求，的值. 20. 已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． （1）求函数的解析式： （2）解关于x的不等式． 21. 某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； （2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，） 22. 已知且，函数在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个. ①函数为奇函数；②；③. （1）从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得____，____； （2）利用单调性定义证明函数在上单调递减； （3）在（1）的情况下，若方程在上有且只有一个实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会泽县茚旺高级中学 2024年春季学期高一年级3月月考考试试题数学 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22个小题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题（本题共8小题， 每题 5 分， 共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数单调性求得集合A，解不等式求得集合B，根据集合的交集运算可得答案. 【详解】由题意，可得，故集合，而， 所以， 故选：D. 另解：取，而，排除A，B； 取，而，且，所以，排除C， 故选：D. 2. 若幂函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，代入点求得解析式，进而求值即可． 【详解】设幂函数， 由题意得，解得，所以． 所以． 故选：C． 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，可得，故充分性成立， 当时，， 则由不能得出，故必要性不成立， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知函数，则的零点为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】令，求出方程的解，即可得到函数的零点. 【详解】解：对于函数，令，即， 解得或， 所以的零点为和. 故选：B 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用展开结合均值不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B 6. 如图所示，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以，即. 故选：C. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义证明为奇函数，再求函数的零点，通过取特殊值确定正确选项. 【详解】函数的定义域为， 又可化为， 所以， 所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，C，D错误； 令，可得，解得或（舍去）， 所以函数的零点为，， 取可得，B错误， 故选：A. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 二、多项选择题（本题共 4 小题， 每题 5 分， 共 20 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5分， 有选错的得0分， 部分选对的得2分.） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量平行与垂直的坐标表示公式，可得答案. 【详解】由，得，即，解得或，则A错误，B正确；由，得，解得，则C，D正确． 故选：BCD. 10. 下列判断正确的是（ ） A. B. 命题“”的否定是“” C. 若，则 D. “”是“是第一象限角”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A分类讨论即可，选项B写出全称量词命题的否定，选项C作差法即可，选项D充要条件的判断. 【详解】选项A，当时，，当时，， 故，所以选项A正确； 对于B：命题“”的否定是“， 故B错误； 选项C，由， 因为，所以， 所以，故选项C正确， 对于D：由， 则在第一象限角或第四象限角， 故充分性不成立， 反之是第一象限角， 则， 故必要性成立， 故“”是“是第一象限角”的必要不充分条件， 故选项D错误. 故选：. 11. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象的一条对称轴方程是 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】由周期求出，由图像的对称性求出的值，可得的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论. 【详解】已知函数（，）， 其图像相邻对称中轴间的距离为，故最小正周期, ， 点是其中一个对称中心， 有， ,，由，∴， 可以求得.最小正周期，故选项正确； 由于，所以是函数图象的一条对称轴方程，故选项正确； 时，正弦曲线的先增后减，故选项错误； 将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到，选项D错误. 故选：. 12. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数．如，，．令，以下结论正确的有（ ） A. B. C. D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】本题为函数新定义问题，关键是要读懂高斯函数的定义，代入具体值即可判断A,B选项，对于C选项字母的代入需要进行拆分化解，得到其周期性，对于D选项在一个周期的范围内分析出其值域即可. 【详解】，故A正确； ， , 即,故选项B错误; ，故C错误； 由取整函数的定义知， 对于D，由C的判断可知,为周期函数,且周期为1, 当时,则 当时,, 当时, ,此时值域为 当时, , 故当时,则有, 故函数的值域为,故D正确； 故选：AD. 【点睛】本题为非常经典的高斯取整函数，在书本的课后习题中出现过，而且非常受出题人的青睐，对于其含义应该做一定程度的了解，这样在做题时会事半功倍，尤其是C,D选项需要逐步分析，得到其周期性，再分析其值域. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题（本题共 4 小题， 每题 5 分， 共 20 分.） 13. 计算：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合特殊角三角函数，可得答案. 【详解】， 故答案为：. 14. 已知向量，满足，，且，的夹角为45°，则______ 【答案】 【解析】 【分析】，结合数量积的公式代入数据计算即可. 【详解】因为向量，满足，，且，的夹角为45°， 所以. 故答案为： 15. 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 判断的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解. 【详解】由f(x)＝ln(1＋|x|)－， 且其定义域为，故f(x)为上的偶函数， 于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|). 当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－， 在均是单调增函数， 所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数， 则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|， 两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1. 故答案为： 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及利用函数性质解不等式，属综合基础题. 16. 已知函数，记，若有6个零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，或，结合的图像可得或或，求解即可. 【详解】 令， 可得， 可得或， 由的图像如上图所示， 若要有6个零点，可得： 或或，解得或， 故的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）求值：； （2）求值：． 【答案】（1）12 ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质计算即可; （2）利用对数的运算性质及对数恒等式计算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 18. 设，计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先由题设条件利用差角公式求出，再将所求式化弦为切，代值计算即得； （2）利用“1”的妙用将所求式化成齐次分式，再化弦为切，代值计算即得. 【小问1详解】 由， 则； 【小问2详解】 由. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调递增区间； （2）当，且时，的值域是，求，的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用降幂公式，和辅助角公式化简函数，再求函数的单调递增区间； （2）类似于（1）的化简，先求的范围，再求的范围，再用表示函数的最值，列方程组求解. 【详解】（1）当时，. 由得：， 所以的单调递增区间为； （2）因为， ， 所以，，又的值域是， 所以，. 【点睛】本题考查三角函数恒等变形和三角函数性质的综合应用，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握降幂公式和辅助角公式. 20. 已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． （1）求函数的解析式： （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象过点得的关系，根据图象无限接近直线但又不与该直线相交求出，从而得解； （2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可． 【小问1详解】 由图象过点，得， ∵函数无限接近直线，但又不与该直线相交， ∴，从而， ∴． 【小问2详解】 由得，即，则， 所以或，解得或． 所以不等式的解集为． 21. 某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； （2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，） 【答案】（1）选择模型符合要求；该函数模型的解析式为，，； （2）六月份. 【解析】 【分析】（1）根据两函数特征选择模型，并用待定系数法求解出解析式； （2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合，解出，得到答案. 【小问1详解】 函数与在上都是增函数， 随着的增加，函数的值增加的越来越快， 而函数的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大， 因此选择模型符合要求． 根据题意可知时，；时，， ∴，解得． 故该函数模型的解析式为，，； 【小问2详解】 当时，，元旦治愈效果的普姆克系数是， 由，得， ∴， ∵，∴， 即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份． 22. 已知且，函数在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个. ①函数为奇函数；②；③. （1）从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得____，____； （2）利用单调性定义证明函数在上单调递减； （3）在（1）的情况下，若方程在上有且只有一个实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）①②；； （2） 任取，且， 则， 由于，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）通过分析可知一定满足①②，从而列出方程组，求出，； （2）定义法判断函数的单调性步骤：取值，作差，变形，判号； （3）参变分离得到，，换元后转化为在上有唯一解，结合（2）中函数单调性，求出的值域，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为函数在R上是单调减函数， 故②；③不会同时成立，两者选一个， 故函数一定满足①函数为奇函数， 由于函数定义域为R，所以有，则，， 故一定满足②， 选择①②；， ， 解得：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可得， 所以方程为，即， 令，由于，所以， 则问题转化为在上有唯一解. 由（2）知，函数在上单调递减， 所以， 所以，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $