精品解析：上海市新中初级中学2024-2025学年九年级上学期月考数学卷

2024学年第一学期初三年级数学阶段练习一2024.9 （时间：100分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填入括号内】 1. 如果线段a是线段b、c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；根据题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由线段a是线段b、c的比例中项，可知：， ∵， ∴，即， ∴； 故选B． 2. 对一个图形进行相似放缩时，下列说法中正确的是（ ） A. 图形中对应线段的比与对应角的大小都保持不变； B. 图形中对应线段的比与对应角的大小都会改变； C. 图形中对应线段的比保持不变、对应角的大小会改变； D. 图形中对应线段的比会改变、对应角的大小保持不变． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题可直接根据相似三角形的性质进行排除选项即可． 【详解】解：如果对一个图形进行相似放缩，那么这前后这两个图形肯定是相似的，所以图形中对应线段的比与对应角的大小都保持不变； 故选A． 3. 在四边形中，与相交于O，下列条件中能够判断的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定．熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 根据相似三角形的判定与性质，平行线的判定对各选项判断作答即可． 【详解】解：如图， 不能够判断，故A不符合要求； 不能够判断，故B不符合要求； ∵，， ∴，但不能够判断，故C不符合要求； ∵，， ∴， ∴， ∴，故D符合要求； 故选：D． 4. 已知的三边长为1、2、，在下列给定条件的中，与一定相似的是（ ） A. ，，； B. ，，； C. ，，； D. ，，． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意可知是一个含30度的直角三角形，然后可进行排除选项． 【详解】解：∵的三边长为1、2、，且， ∴是一个直角三角形， 由选项可知：，所以只需满足即可； 故选D． 5. 在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（ ） A. ，； B. ，，，； C. ，，，； D. ，，，． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法和勾股定理，对各个选项进行分析即可． 【详解】A．相似：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，不符合题意； B．有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意； C．相似：∵，，，， ∴． 又∵， ∴，不符合题意； D．相似：∵，，，，， ∴，， ∴． ∵， ∴，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，已知在中，D、F分别是边上的点，，，那么________（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键．由于，那么，根据，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出、四边形、四边形的面积比． 【详解】解：， ， ， ， ， 设的面积是，则和的面积分别是，， 则和分别是，， ． 故选：D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入空格】 7. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 8. 如图，已知， （1）若，，则______； （2）若，，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例是解题的关键． （1）证明，则，同理，，则，即，计算求解即可； （2）由，可得，，两式相加得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴，即， 解得，； 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， 两式相加得，，即， 解得，， 故答案为：． 9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）；（4）AB2＝BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（填序号）_____． 【答案】（2）（3）（4） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中两个锐角互余，即可判定∠BAD＝∠CAD，继而可得△ABC是等腰三角形，不能判定△ABC是直角三角形； （2）利用直角三角形中两个锐角互余的知识，可得∠BAC＝90°，则可得△ABC是直角三角形； （3）由，可得，推出sin∠ACD＝sin∠B，即∠ACD＝∠B，由此即可判定． （4）由AB2＝BD•BC与∠B是公共角，可判定△CBA∽△ABD，△ABD是直角三角形，则可得△ABC是直角三角形． 【详解】解：（1）不能， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵∠B+∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴无法证明△ABC是直角三角形； （2）能， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵∠B＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAD+∠B＝90°； （3）能， ∵， ∴， ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中 sin∠CAD＝， 在Rt△ABD中，sin∠B＝， ∴sin∠ACD＝sin∠B， ∴∠ACD＝∠B， ∵∠B+∠BAD＝90°， ∴∠CAD+∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形． （4）能， ∵能说明△CBA∽△ABD， 又∵△ABD是直角三角形， ∴△ABC一定是直角三角形． ∴一定能够判定△ABC是直角三角形的有（2）（4）（3）． 故答案为：（2）（3）（4）． 【点睛】本题结合直角三角形的性质考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解答关键. 10. 如图，点E、F分别在线段、上，，，，，那么________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；连接，延长交于点H，然后由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故答案为3． 11. 如果两个相似三角形面积比为，那么它们的周长比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据“如果两个三角形相似，那么这两个三角形的面积比是相似比的平方”进行求解即可． 【详解】解：由两个相似三角形面积比为，可知这两个相似三角形的相似比为，所以它们的周长比为； 故答案为． 12. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE＝∠C，AD＝1，AE＝2，AC＝3，那么AB＝_____． 【答案】6 【解析】 【分析】只要证明△ADE∽△ACB，推出=，求出AB即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ∵∠A=∠A，∠ADE=∠C， ∴△ADE∽△ACB， ∴=， ∴=， ∴AB=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 13. 如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 设上的高为，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：设上的高为， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 一个零件在一张比例尺为的图纸上的长为，那么它实际长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例尺，熟练掌握比例尺是解题的关键；根据比例尺可直接进行求解． 【详解】解：由题意可得该零件的实际长度为； 故答案为． 15. 如图，，，．则的长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为12． 16. 已知点G是的重心，，，那么________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查重心的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握重心的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：如图所示： ∵点G是的重心， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为12． 17. 已知一个三角形的三边为9、12、16，与它相似，其中，，那么________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的性质分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分： 当为的最长边，为最短边时，则有：，所以这种情况不符合题意； 当为最短边时，为最长边时，则有：，解得：； 当为最短边时，则有，解得：； 故答案为或． 18. 如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积比，涉及相似三角形判定与性质的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及性质定理，并能熟练应用．先证明，再设，得出，然后结合，得出，因为、高相等，它们的面积的比，然后列式计算，即可作答． 【详解】解：， ∴ ∴， 设， 则， ∴， ∵， 即， ∵、高相等，它们的面积的比， ∴， 即， ∴（负值已舍去） ， ∴， 故答案为： 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 已知，求代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质和代数式求值，设，可得，，，然后代入，即可求解．根据题意得到，，是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，，， ∴ ． 20. 如图，在中，点D、E分别在边、上，，点F在的延长线上，． （1）当，时，求的值及的长； （2）当，时，写出的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． （1）证明，得出，求出；证明，得出，即可求出结果即可； （2）证明，得出，求出；证明，得出，即可求出结果即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 一副三角尺有两块直角三角尺组成，其中一块含角，另一块含角．设这两块三角尺斜边上的高都是h．某数学学习小组经过探究，得到如下结果：用这样相同的两副三角尺可以拼成一个平行四边形（三角尺互不重叠，且都不在这个平行四边形外），并且内部留下的“空隙”是一个较小的平行四边形．如图是其中一种拼成的平行四边形的拼接示意图． （1）用含h的代数式直接表示．①这副三角尺中两块三角尺的直角边长；②图中内部的小平行四边形的底、高和面积； （2）请你画出一种符合该小组探究结果的平行四边形的拼接示意图．要求①形状与图不同，②画出三角尺的边． 【答案】（1）①等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；②小平行四边形的底为，高为，面积为； （2） 如图，即为所作图形． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，正确识图是解题的关键． （）①先画图，再利用特殊角的三角函数，解直角三角形即可求解； ②由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （）让直角三角形的斜边为中间小平行四边形的对边，再画出图形即可； 【小问1详解】 解：①如图，为等腰直角三角板，，， ∴，， ∴； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； ②如图， 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； 【小问2详解】 略 22. 已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G， ． （1）求证：△CAD∽△CBG； （2）连接DG，求证：． 【答案】 （1）∵， ∴． 又∵∠AFG=∠EFA， ∴△FAG∽△FEA． ∴∠FAG=∠E． ∵AE∥BC， ∴∠E=∠EBC． ∴∠EBC =∠FAG． 又∵∠ACD=∠BCG， ∴△CAD ∽△CBG． （2）∵△CAD ∽△CBG， ∴． 又∵∠DCG=∠ACB， ∴△CDG ∽△CAB， ∴． ∵AE∥BC， ∴． ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由及∠AFG=∠EFA，证得△FAG∽△FEA，结合AE∥BC，证得∠EBC =∠FAG，从证得结论； （2）由（1）的结论得到，证得△CDG ∽△CAB，结合AE∥BC，证得，继而证得结论. 【详解】略． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，灵活运用比例的性质以及中间比是解题的关键. 23. 如图，在中，、分别为、边上的高，且，，求的值 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；设与交于点O，由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：设与交于点O，如图所示： ∵、分别为、边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，即， 解得：（负根舍去）． 24. 在梯形中，，E在边上且． （1）如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； （2）如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 【答案】（1） 证明：延长和交于点， ∵， ∴， ， ，， ，， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出； （2）首先将条件转化成线段和角度关系，由，很容易找到，再根据这个相似结论证出，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长，交于点，过点作，垂足为点． ∵， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ， ， ， ， 设，则， ∵， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ，解得， ， 由勾股定理可得：， ， 解得， ， ， 在中，由勾股定理可得，， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定即勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 25. 已知：如图，在中，，，，点D、E分别在边上，，与的延长线交于点F． （1）设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当时，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，自变量的取值范围等知识．熟练掌握三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，自变量的取值范围是解题的关键． （1）证明，则，即，整理作答即可； （2）由，，证明，则，即，可求，由（1）可知，，则，即，可求，然后求即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 由（1）可知，， ∴，即， 解得，，（舍） ∴； ∴线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期初三年级数学阶段练习一2024.9 （时间：100分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填入括号内】 1. 如果线段a是线段b、c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 对一个图形进行相似放缩时，下列说法中正确的是（ ） A. 图形中对应线段的比与对应角的大小都保持不变； B. 图形中对应线段的比与对应角的大小都会改变； C. 图形中对应线段的比保持不变、对应角的大小会改变； D. 图形中对应线段的比会改变、对应角的大小保持不变． 3. 在四边形中，与相交于O，下列条件中能够判断的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 已知的三边长为1、2、，在下列给定条件的中，与一定相似的是（ ） A. ，，； B. ，，； C. ，，； D. ，，． 5. 在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（ ） A. ，； B. ，，，； C. ，，，； D. ，，，． 6. 如图，已知在中，D、F分别是边上的点，，，那么________（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入空格】 7. 若，则_________． 8. 如图，已知， （1）若，，则______； （2）若，，，则______． 9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）；（4）AB2＝BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（填序号）_____． 10. 如图，点E、F分别在线段、上，，，，，那么________． 11. 如果两个相似三角形面积比为，那么它们的周长比为________． 12. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE＝∠C，AD＝1，AE＝2，AC＝3，那么AB＝_____． 13. 如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么________． 14. 一个零件在一张比例尺为的图纸上的长为，那么它实际长度是________． 15. 如图，，，．则的长为________． 16. 已知点G是的重心，，，那么________． 17. 已知一个三角形的三边为9、12、16，与它相似，其中，，那么________． 18. 如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，点D、E分别在边、上，，点F在的延长线上，． （1）当，时，求的值及的长； （2）当，时，写出的长． 21. 一副三角尺有两块直角三角尺组成，其中一块含角，另一块含角．设这两块三角尺斜边上的高都是h．某数学学习小组经过探究，得到如下结果：用这样相同的两副三角尺可以拼成一个平行四边形（三角尺互不重叠，且都不在这个平行四边形外），并且内部留下的“空隙”是一个较小的平行四边形．如图是其中一种拼成的平行四边形的拼接示意图． （1）用含h的代数式直接表示．①这副三角尺中两块三角尺的直角边长；②图中内部的小平行四边形的底、高和面积； （2）请你画出一种符合该小组探究结果的平行四边形的拼接示意图．要求①形状与图不同，②画出三角尺的边． 22. 已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G， ． （1）求证：△CAD∽△CBG； （2）连接DG，求证：． 23. 如图，在中，、分别为、边上的高，且，，求的值 24. 在梯形中，，E在边上且． （1）如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； （2）如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 25. 已知：如图，在中，，，，点D、E分别在边上，，与的延长线交于点F． （1）设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $