精品解析：重庆市名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联合考试数学试题

重庆市名校联盟2024-2025学年度第一期第一次联合考试 数学试卷（高2025届） 【命题学校：万州中学 命题人：秦雪梅、张丹 审题人：石龙飞】 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B、C错误，再根据为无理数可得正确的选项. 【详解】因为表示元素，表示集合，故B、C错误. 因为不是自然数，所以，且不成立，故A也错误，D正确， 故选：D. 【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含， 2. 记为数列的前n项和，则“任意正整数，均有”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，利用作差法，可判断充分性，取特殊例子，可判断必要性，即得答案. 【详解】当时，则， ∴，即数列是递增数列， 所以“对任意正整数n，均有”是“为递增数列”的充分条件； 取数列为，显然数列是递增数列，但是不一定大于零， 所以“对任意正整数n，均有”不是“为递增数列”的必要条件， 因此“对任意正整数n，均有”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求与，使之共线并求出的值，即可得解． 【详解】因为， ． 假设三点共线，则，即． 所以只要，则三点即可构成三角形. 故选：C 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将代数式中的角用表示，利用诱导公式即可求出所求代数式的值. 【详解】. 故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式求三角函数值，解题时要将角利用已知角加以表示，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出切线方程，再对分和讨论即可. 【详解】由得， 所以切线方程是， ①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点， ②若，则， 即， 由，即， 得或， 综上:或或. 故选：B. 6. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题 只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种， 故不同的分配方案为：， 故选A. 7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，两边同时取自然对数并整理， 得，， 则，则给氧时间至少还需要小时 故选： B 8. 若的内角满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. A的最小值为 D. 的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理和基本不等式求解即可. 【详解】由题意结合正弦定理有：，结合余弦定理可得： ， ， 当且仅当时等号成立， 所以，的最小值是， 又余弦函数在上单调递减得，的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ） A. 2，n，10成等差数列 B. 各项系数之和为64 C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 D. 展开式中第5项为常数项 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据二项式系数之和求出n的值，再令可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项. 【详解】由的二项式系数之和为，得，得2，6，10成等差数列，A正确； 令，，则的各项系数之和为64，B正确； 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确； 的展开式中的第5项为为常数项，D正确. 故选:ABD 10. 甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为200，乙队体重的平均数为，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两队全部队员的平均体重是 B. 甲、乙两队全部队员的平均体重是 C. 甲、乙两队全部队员的方差是296 D. 甲、乙两队全部队员的方差是306 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意利用各样本平均数和方差与总体平均数和方差的关系式，代入公式计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知，甲、乙两队的队员在所有队员中所占权重分别为； 又甲队体重的平均数为，乙队体重的平均数为， 所以甲、乙两队全部队员的平均体重是，即可得A正确，B错误； 乙两队全部队员的方差是，可知C正确，D错误. 故选：AC 11. 设函数，则（ ） A. 的最大值为 B. C. 曲线存在对称轴 D. 曲线存在对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】函数， 对于A：分别求出分子分母的范围，即可求出的最大值； 对于B：借助于，判断出； 对于C：分析出和的对称轴即可 对于D：利用对称中心的定义进行验证. 【详解】 作出的图像，如图示： 对于A：∵分子，分母， ∴，故A正确； 对于B：考虑，故B正确； 对于C：∵是的对称轴，也是的对称轴， ∴是的对称轴，故C正确； 对于D：∵不可能为常数，故D错误. 故选：ABC 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证； （2）对于非基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质，利用定义法进行分析. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数，则复数z的实部与虚部之和是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简求得再计算实部和虚部的和即可. 【详解】，故实部和虚部之和为. 故答案为： 13. 若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】只需函数的极值点在区间内，再利用为定义域的真子集即可求出实数的取值范围. 【详解】解：函数的定义域是， 所以，即. 因为， 所以在上单调递增， 由，可得 若函数在区间内不单调， 则，解之可得， 又因为，所以. 故答案为：. 14. 已知平面向量，，满足，，，则______，若，则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1，利用向量的数量积的定义求解即可；空2，先建立平面直角坐标系，再设，则点在圆上运动，结合三角函数范围得出，即可求解. 【详解】空1，因为，，， 所以； 空2，以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨设，由题知，则， 故可设，，设， 则， 即点在圆上运动，令， 故 ， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于建立坐标系，求得点的轨迹方程，进而三角代换利用辅助角公式求得最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均为正数的等差数列的前三项和为12，等比数列的前三项和为，且，. （1）求和的通项公式； （2）设，其中，求数列的前20项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列、等比数列的基本量，根据题意得到关于基本量的方程组进行求解； （2）利用分组法和等差数列、等比数列的求和公式进行求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的首项为、公差为， 等差数列的首项为、公比为， 由题意，得， 解得，，，， 所以，； 【小问2详解】 解：由题知的前20项和 ， 即. 16. 已知 （1）求的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 【答案】（1） （2）①或② 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦函数单调性进行求解即可； （2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， 结合正弦函数的图象与性质可得：当， 即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 ①令，当时，，， 所以， 所以要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或； ②设是函数的两个零点（即）， 由正弦函数图象性质可知，即， 所以. 17. 随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止. （1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率； （2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式计算即可得； （2）求出一天内模拟考试的次数的所有可能取值，计算相应概率，代入数学期望公式求解的期望，借助期望的性质求得模拟考试花费时间X的期望即可. 【小问1详解】 设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为，则，， 所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为. 【小问2详解】 设表示一天内模拟考试的次数，则， 由题意知：，，，，， 所以， 因为，所以， 所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟. 18. 2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求，， （1）若，，求的值； （2）若，四边形ABCD面积为4，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）中求出BD，在中，由正弦定理求出，根据即可求； （2）在、中，分别由余弦定理求出，两式相减可得与的关系式；又由的与的关系式；两个关系式平方后相加即可求出﹒ 【小问1详解】 在中，∵，则 ∴． 在中，由正弦定理得，， ∴． 由，得， ∴， ∴． 【小问2详解】 在、中，由余弦定理得， ， ， 从而①， 由得， ②， 得，， 即， ∴． 19. 已知函数（其中，）. （1）当，，记的导函数为，证明：恒成立； （2）指出的对称中心，并说明理由； （3）已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值. 【答案】（1）证明：函数的定义域为，当时，， 所以恒成立. （2）的对称中心为，理由如下： 依题意， ， 所以的对称中心为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再判断导数值为正即可. （2）利用对称中心的定义，计算推理即得. （3）求出函数及其导数，再按分类讨论并求出函数的最小值，建立不等式，构造函数，利用导数求出最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数，定义域为， 求导得， 当时，，在R上单调递增， 当时，，的取值范围为， 因此当时，函数的取值范围为，不合题意； 当时，由，得，在上单调递增， 由，得，在上单调递减， 故函数在处取得最小值，， 由对任意的恒成立，得，即成立， 因此， 设 当时，； 当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 则，即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市名校联盟2024-2025学年度第一期第一次联合考试 数学试卷（高2025届） 【命题学校：万州中学 命题人：秦雪梅、张丹 审题人：石龙飞】 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 记为数列的前n项和，则“任意正整数，均有”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为 A. B. C. D. 7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 8. 若的内角满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. A的最小值为 D. 的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ） A. 2，n，10成等差数列 B. 各项系数之和为64 C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 D. 展开式中第5项为常数项 10. 甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为200，乙队体重的平均数为，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两队全部队员的平均体重是 B. 甲、乙两队全部队员的平均体重是 C. 甲、乙两队全部队员的方差是296 D. 甲、乙两队全部队员的方差是306 11. 设函数，则（ ） A. 的最大值为 B. C. 曲线存在对称轴 D. 曲线存在对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数，则复数z的实部与虚部之和是___________. 13. 若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是______. 14. 已知平面向量，，满足，，，则______，若，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均为正数的等差数列的前三项和为12，等比数列的前三项和为，且，. （1）求和的通项公式； （2）设，其中，求数列的前20项和. 16. 已知 （1）求的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 17. 随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止. （1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率； （2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望. 18. 2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求，， （1）若，，求的值； （2）若，四边形ABCD面积为4，求的值． 19. 已知函数（其中，）. （1）当，，记的导函数为，证明：恒成立； （2）指出的对称中心，并说明理由； （3）已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $