2025年中考数学一轮复习：二次函数中相似三角形问题

2025年中考数学一轮复习：二次函数中相似三角形问题 1．如图，抛物线y＝ax2+k（a＞0，k＜0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），其顶点为C，点P为线段OC上一点，且PC＝OC．过点P作DE∥AB，分别交抛物线于D，E两点（点E在点D的右侧），连接OD，DC． (1)直接写出A，B，C三点的坐标；（用含a，k的式子表示） (2)猜想线段DE与AB之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)若∠ODC＝90°，k＝﹣4，求a的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(－4，0)，B点坐标为(1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C． （1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式； （2）设M为（1）中抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论； （3）在第二象限中是否存在的一点Q，使得以A，O，Q为顶点的三角形与△OBC相似．若存在，请求出所有满足的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC； （3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，已知二次函数的图像与轴交于A、两点（点在点A的左侧），顶点为，点在此二次函数图像的对称轴直线上，过点作轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线点．    (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)当点的坐标为时，连接、．求证：平分； (3)点在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，求点的横坐标． 5．若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点． （1）当x1=c=2，a=时，求x2与b的值； （2）当x1=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论； （3）当x1=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2，求m的值． 6．如图，直线y=-x+3与x轴交于A点，与y轴交于B点，对称轴为x=1的抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，抛物线与对称轴交于D点，连接CE、CB、BD． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：BD∥CE； （3）在直线AB上是否存在点P，使以B、D、P为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)． (1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式； (2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE; (3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？ 请说明理由． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 9．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0． (1)如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO； (2)如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC． 10．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标． (3)如图2，若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 11．已知：如图，顶点为的抛物线经过原点，且与直线交于两点（点C在点B的右边）．    (1)求抛物线的解析式； (2)猜想以点为圆心，以为半径的圆与直线的位置关系，并加以证明； (3)若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，直线与交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求a，b的值； (2)将点A绕点C逆时针旋转至点D，试说明点D在抛物线上； (3)在（2）的条件下，平移直线交抛物线于点E，F（点E在F的左边），点G在线段上．（点E，F，G分别与点B，A，D对应），求点G的坐标． 13．如图，直线y＝x－3分别与y轴、x轴交于点A，B，抛物线y＝－x2＋2x＋2与y轴交于点C，此抛物线的对称轴分别与BC，x轴交于点P，Q． 1.求证：AB＝AC； 2.求证：AP垂直平分线段BC． 14．在平面直角坐标系中，点B从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C在第一象限，过C作轴，垂足为D，连接交于E，设运动时间为秒．    (1)证明：≌； (2)当与相似时，求t的值； (3)在（2）条件下，抛物线m经过A，B，D三点，请问在抛物线m上否存在点P，使得面积与的面积相等？若存在，请求出． 15．如图，抛物线交y轴于点C，点D与点O关于点C对称，过原点的直线交抛物线于E，F两点（点E在第三象限），直线DE交抛物线于另一点G，若，求直线DE的解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$