期中押题预测卷01（范围：立体+直线+圆+椭圆）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期中押题预测卷01 （范围：立体+直线+圆+椭圆 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 2．设，向量，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 3．“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量，，则以下说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．1或 B．1 C．3 D．或3 6．已知点在圆上运动，且的中点为，若点的坐标为，则的最大值为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 7．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，则（    ） A． B．点的坐标为 C．，，，四点共面 D．直线与直线所成角的余弦值为 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为 B．焦距为 C．若，则的面积为 D．的周长为 10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 11．下列说法不正确的是（    ） A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D．设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于A、B两点，若，则该椭圆的离心率为 ． 14．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 16．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，是上一点，平面.    (1)求证：平面； (2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线与所成角的正切值为；②直线与平面所成角的正弦值为；③点到平面的距离为； 若___________，求平面与平面夹角的余弦值. 17.已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值． 18．如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点. (1)求证：平面； (2)若，且平面平面，求二面角的余弦值大小. 19．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期中押题预测卷01 （范围：立体+直线+圆+椭圆 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【答案】C 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 2．设，向量，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，解得，所以， 又，所以，解得，所以， 故，则， 故选：C. 3．“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示的曲线是椭圆，则，，且， 所以且．故“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 故选：C 4．已知向量，，则以下说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，， 所以，故，所以选项A正确； ，， 所以，故选项B正确； ，所以，， 所以，故选项C错误； ，所以，， 又，故，所以选项D正确. 故选：C 5．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．1或 B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【详解】因为是圆的方程， 所以，解得或， 又因为圆的圆心为， 且圆关于直线对称，所以， 即，解得，（舍）或， 故选：C. 6．已知点在圆上运动，且的中点为，若点的坐标为，则的最大值为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【详解】因为在圆上，设， 又因为为的中点，， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 所以当即时， 取最大值,为. 故选：C. 7．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，则（    ） A． B．点的坐标为 C．，，，四点共面 D．直线与直线所成角的余弦值为 【答案】C 【详解】依题意，正方形的对角线，则， ，，， 对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，， 于是，又为三个向量的公共起点，因此四点共面，C正确； 对于D，，， 直线与直线所成角的余弦值为，D错误. 故选：C 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，，在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为 B．焦距为 C．若，则的面积为 D．的周长为 【答案】BD 【详解】根据椭圆方程可知，，则； 点到右焦点的距离的最大值为，可知A正确； 焦距为，即B错误； 由椭圆定义可知， 若，则， 所以，可得， 可得的面积为，即C正确； 易知的周长为，即D错误； 故选：BD 10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BC 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B正确； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D错误. 故选：BC 11．下列说法不正确的是（    ） A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D．设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 【答案】AD 【详解】A.由两直线垂直得，，解得或， “或”是“”的必要不充分条件，选项A错误. B.由得，，直线斜率， ∵，∴，即， ∵，∴倾斜角的取值范围是.选项B正确. C.到点距离为的点在圆上， 由题意得，，圆与圆有两个公共点，两圆相交， ∵圆心距， ∴， ∴,即的取值范围是，选项C正确. D.由 得，曲线表示圆心为原点，半径为的半圆，如图所示， 当直线过点时，， 当直线过点和点时，， 当直线与半圆相切于点时， 由圆心到直线的距离为得，解得或（舍）， 所以当直线与曲线恰有一个公共点时，或. 选项D错误. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 【答案】或． 【详解】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即． 当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得， 故直线的方程为， 故答案为：或． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于A、B两点，若，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】 如图，设，因为，所以． 由椭圆定义可知，， 由，可得，所以． 在中，由，可得， 即得，故得． 故答案为：. 14．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图（1）所示，过点作平行于轴的直线交直线于点， 过点作于点，表示的长度， 因为直线的方程为，即直线的斜率，则， 又因为，所以， 所以，可得，即， 所以， 当固定点时，且平行轴时，此时点与点重合， 此时为定值，此时为0时，最小，如图（2）所示， 过点作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 可得， 又由直线的斜率，可得， 在直角中，可得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用直线斜率，结合新定义将所求转化为点到直线的距离问题求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，整理得， 所以不管取何值时，直线恒过定点的坐标满足方程组， 解得，即. （2）设直线方程为，则， 由直线恒过定点，得， 由整理得：，解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意，则直线方程为. 16．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，是上一点，平面.    (1)求证：平面； (2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线与所成角的正切值为；②直线与平面所成角的正弦值为；③点到平面的距离为； 若___________，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接，    平面平面， 平面平面， ， 是的中点，是的中点， 又， 平面，平面， ，又，，平面， 平面平面， 又，平面. 平面. （2）如图， 选①：异面直线与所成角为或其补角， 由（1）， ； 选②：平面直线与平面所成角为，，， ； 选③：设，由是的中点，得， ， 所以，解得，所以； 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则所以 令，则， 设平面的一个法向量为，则 所以令，则， 记平面与平面的夹角为， 则.    17.已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)7 【详解】（1）由已知得， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为：； （2）法一：设，得， 代入轨迹的方程消去并整理得， ∴，即， 解得，故的最小值为； 法二：设，即， 由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆， 由题意可知，直线和圆有公共点， 所以圆心到直线的距离不大于半径，即， 解得，故的最小值为； 法三：由（1）可设，， 则， 因为，所以当时，的最小值为； （3）i）若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆． 到直线AB的距离，所以， 同理，， 所以． ， ⅱ）若AB、CD两直线中有一条没有斜率，则另一条的斜率为0， 此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、），所以． 综上所述，当且仅当，即时，四边形ACBD的面积取得最大值，最大值为7． 18．如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点. (1)求证：平面； (2)若，且平面平面，求二面角的余弦值大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 如图，取的中点，连接，， 在中，因是的中点，故，且. 在三棱柱中，且， 又为棱的中点，故得，且， 故得， 则有， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 由题意，三棱柱中所有棱长都相等，则与都是等边三角形， 如图，取上的四等分点，满足, 取的中点,连接, 则,易知,且，故可得， 则有，故有则四点共面. 因平面平面，平面平面， 且平面平面可得平面，又. 故可建立以为原点，，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系. 不妨取，则，由可解得 则有，，， 则, 设平面法向量为， 则， 取，可得，， 故为平面的一个法向量， 因平面，故为底面的一个法向量， 则， 设二面角的平面角为，由图知二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为. 19．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点；② 【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为， 所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆过点， ∴， ∴，， ∴椭圆的标准方程为. （2）设直线：（）， 由，得， 设，，所以，， 所以 ， 因为直线和的斜率互为相反数， 所以，所以， 所以， 所以. 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点 ②由①知，， 且，即， 又 令，则， ∴ （当且仅当时取“＝”） ∴. 【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令换元得出再结合基本不等式计算即可得出最值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$