培优(2)—第十二章 全等三角形-【宝典训练】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂(人教版)

宝典练数学·八年级上册() ●● 培优(2)—第十二章 全等三角形 一、模型一：手拉手模型 2.(1)如图1，已知△CAB和△CDE均为等边 1.【问题提出】(1)如图1，△ABC,△ADE均 三角形（三边相等，且三个角均为60度）， 为等边三角形（三边相等，且三个角均为60 点D在AC上，点E在CB上，易得线段 度)，点D,E分别在边AB,AC上.将 AD和BE的数量关系是 ,并 △ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连接 说明理由； BD,CE.在图2中证明：△ADB≌△AEC. (2)将图1中的△CDE绕点C旋转到图2 的位置，直线AD和直线BE交于点F. ①判断线段AD和BE的数量关系，并 证明你的结论； 图1 图2 ②求图2中∠AFB的度数. 【学以致用】(2)在(1)的条件下，当点D, E,C在同一条直线上时，求∠EDB的度数 图2 6 数学·一章一优 ● 二模型二半角模型 三、模型三三垂直模型 3.已知四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥ 4.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE. CD,AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN= BE⊥CE,垂足分别是点D,E,AD=3, 60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别 BE=1,则DE的长是 交AD,DC(或它们的延长线)于点E,F. A.1.5 (1)当∠MBV绕B点旋转到AE=CF时（如 B.2 图1)，试猜想AE,CF,EF之间存在怎样 C.2√2 的数量关系？请将三条线段分别填入后 D.10 面横线中： 5.如图，AB=BC,AB⊥BC,AE⊥BD于点F, (不需证明) BC⊥CD,求证：EC=AB-CD. (2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如 图2)时，上述(1)中结论是否成立？请 说明理由。 (3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如 图3)时，上述(1)中结论是否成立？若 不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的 数量关系？请直接写出你的猜想，不 需证明。 图2 图3 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.DE= 6cm,AD=9cm,求BE的长， 宝典例练|数学·八年级上册() ●●· 四、模型四一线三等角模型 9.(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°， 7.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD,DEI AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直 BD,AC⊥CE,BC=DE,求证：AB=CD. 线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D, E.求证：DE=BD十CE; (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= α，其中a为任意锐角或钝角.请问结论 DE=BD十CE是否成立？如成立，请 给出证明：若不成立，请说明理由。 8.如图，在ABC中，AB=AC=2,∠B=40°， 点D在线段BC上运动（点D不与点B,C 图2 重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线 段AC于点E. (1)当∠BDA=115°时， 求∠EDC和∠AED 的度数： 40409 (2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌ △DCE,请说明理由； 数学·一章一优 0●● 五、模型五雨伞模型 13.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 10.如图，△ABC的面积为9cm2,BP平分 分别交x轴、y轴于A(a,0),B(0,b)两 ∠ABC,AP⊥BP于点P, 点，且a,b满足(a-b)2+|a-4t|=0,且 连接PC,则△PBC的面 t>0,t是常数，直线BD平分∠OBA,交 积为 x轴于点D A.3 cm2 B.4 cm2 C.4.5 cm2 D.5 cm 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°， O D ∠ACB的平分线CD交AB于点E, 图1 图2 ∠BDC=90°，求证：CE=2BD. (1)若AB的中点为M,连接OM交BD 于点N,求证：ON=OD: (2)如图2，过点A作AE⊥BD,垂足为 E,猜想AE与BD间的数量关系，并 证明你的猜想. 12.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线. AD⊥BE,垂足为D,求证：∠2=∠1+∠C 9 宝典练数学·八年级上册() ●-● 六、模型六胖瘦模型 15.如图，在四边形ABCD中，BD平分 14.如图，在四边形ABCD中，BC>BA,AD ∠ABC,∠BAD+∠C=180°，求证： CD,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180° AD=CD. 10富效课堂宝典训练数学八年级上册(R) · EAD+ECD=APC; '. EDB-ADB-ADE-120*-60*-6 0 " ②当点E在线段CD的延长线上时,如答图2 .△ADE是等边三角形, ' EAD+ECD-2 APC #_ (2)解:'AD//BC.AB//CD. ' ADE- AED-60”. '$ EAD= $B=70*$ECD= $E- 0$$ '.ADC=180'- ADE=120°. 由(D知/EAD+/FCD-2/APC. 由(1)可知,△ADB△AEC. '. ADB- AEC=60*. 1(70*+60*)-65”; .APC- 答图2 '. EDB-ADB+ADE-60+60$-120 (3)解:如答图,过点F作FH/AB,则 综上所述,/EDB的度数为60{或120{。 EAD-乙AFH. .AB//CD...FH//CD..ECD= 2.解:(1)AD-BE (2)①AD=BE: _CFH. 证明:·'△ABC和△CDE是等边三角形, '.EAD十 ECD-AFH+CFH= '.CA=CB.CD=CE. ACB=DCE=60° AFC- EFD. '.ACD一 BCE,在△ACD和△BCE中 由(1)知 EAD+ ECD-2APC...EFD-2APC (AC-BC. “APC-m, EFD=.m=” 乙ACD-BCE. 19.解:(1)25* CD-CE. (2).OC是MOB的平分线, '.△ACD△BCE(SAS)...AD-BE ②.△ACD△BCE. *.MOB-2 BOC-2$65-130* '.CAD-CBF. ### *.旋转角 $BON- MOB- MON-130*-90{-40$ (3)70) 设BC交AF干点O,如答图. 20.解:(1)①45 .AOC-BOF, ②不变化,理由如下: '.乙BFO-乙ACO-60*。 .乙AFB-60{。 答图 ·AD平分BAO.BC平分乙ABN, $._BAD-乙BAO,CBA-NBA. 3.解:(1)AE CF EF (2)如答图,(1)中结论成立;理由如下: :D+BAD-CBA. 如答图,延长FC到点H.使CH一AE,连 12BAO- 接BH, .'ABAD.BC1CD. '. A- BCH-90". #($ NBA-乙BAO)-之MON. ####V) ..△BCH△BAE(SAS). 答图 . MON-90..D-45*. ..BH-BE. CBH= ABE, '.D的度数不发生变化; · ABC-120*, MBN-60*. (2)由(1)②知:/D-/CBA-/BAD. ABC-ABN.BAD-BAO. '. ABE+CBF-120*-60*-60*。 . HBC+/CBF-60{. .- ABN-乙BAO-(乙ABN-乙BAO)- '. HBF- MBN-60$' HBF- EBF, '.△HBF△EBF(SAS)...HF-EF. MON. ·HF-HC+CF-AF+CF...EF-AE+CF: (3)AE-EF+CF. . MON-90.. D-30 4.C (3)。 5.证明:.AB BC.CD BC. .. /ABC- ACD-90. 培优(2)--第十二章 全等三角形 '.AEB+ A-90. 1.(1)证明:·'△ABC.△ADE均为等边三角形 .AF BD.. BFF-90*. ..AD-AE.AB-AC. '.AEB+FBE-90”... A- FBE, '. DAE- BAE- BAC- BAE. 又.AB-BC,..AABE△BCD. 即 BAD- CAE. .AB-BC.BE-CD. (AD-AF. *.FC-BC-BE-AB-CD. 在△ADB和△AEC中.BAD-CAE 6.解:' ACB-90”,BE1CE,AD1CE. AB-AC. '. BCE+ ACD-90.BCE+ CBE-90$E '△ABD△ACE(SAS): 乙ADC-90*. (2)解:当点D,E.C在同一条直线上时,分两种情况 .ACD=CBE,又AC-BC. ①当点E在线段CD上时,如答图1. '.△ACD△CBE. .△ADE是等边三角形, ## '.FC-AD.BE-DC. . ADE- AFD-60*. ·DE-6cm.AD-9cm,则BE的长是3cm * AEC-180*- AED-120{。 7.证明:'AB BD.DE BD.AC CE. 由(1)可知.△ADB2△AEC. *. ABC= CDE- ACB-90”, '. ADB-乙AEC-120*。 答图1 '. ACB+ECD=90”.ECD+CED-90..ACB= 58 参考答案 乙CED. 13.(1)证明:·(-b)+a-4-0. [乙ACB-CED. '.-4..AO-B0..OBA-OAB 在△ABC和△CDE中.BC-DE. ·直线BD平分/OBA...ABD/OBD ABC-CDE .M为AB的中点,v.OM-AB-BM-AM. '.△ABC△CDE,故AB-CD. 8.解:(1)' B-40.ADB-115*$ . BOM- OBA. 'BAD-180$-B- ADB-180$-115$-40$- $ .OBA-OAB.BOM-OAB. .AB-AC..C- B-40。 :OND= OBD+BOM. ODN= OAB十 ABD :EDC-180$- ADB- ADE-25 . '.OND- ODN...ON-OD: ' DEC-180*- EDC- C-115*, (2)解:BD-2AE. '. AED-180*-DEC=180*-115{-65°; 证明:如答图,延长AE交y轴于点C. (2)当DC-2时,△ABD2△DCE,理由: ·直线BD平分乙OBA,AE1BD. · /C-40..DFC+/FDC=140 . ABD= OBD. AEB- CEB 又.ADE-40.ADB+ EDC=140, 又.BE-BE. ..△BCE△BAE(ASA). 0D '.ADB-/DEC. #C# (乙ADB- DEC. $.AF-CF-AC. 答图 又·AB=DC=2,在ABD和DCE中. 3乙B-C. AB-DC. .AO BC.../DOB=/COA .△ABD△DCE(AAS) 即OAC+OCA-OCA+CBE-90. 9.(1)证明:.BD1直线m.CE1直线m. . OAC-OBD. '. BDA- CEA-90*. 又:OB-OA...△DOBS△COA(ASA). ·BAC-90{BAD+ CAE-90{ $.BD-AC-2AE,即BD-2AE. :BAD+ ABD-90* CAE- ABD. 14.证明:在线段BC上截取BE-BA,连接DE,如答图所示 在△ADB和△CEA中. :BD平分ABC, .ABD-/EBD. [乙ABD-乙CAE. #7# BDA-CEA. 在△ABD和△EBD中, AB-AC. AB-EB, .ADBCEA(AAS). 乙ABD- EBD. BD-BD. 答图 'AF-BD.AD-CE. '$DE=AE+AD=BD+CE: .△ABD2△EBD(SAS). (2)成立,证明:乙BDA-乙BAC-。 .AD-ED. A- BED '. DBA+ BAD- BAD+CAE=180*- ·AD-CD...ED-CD..DEC= C. '.CAE-ABD. “'BED+ DEC-180{, (乙ABD-CAE. .A+C-180。 在△ADB和△CEA中,BDA=CEA 15.证明:如答图,在边BC上截取BE一BA,连接DE. AB-AC. ·BD平分乙ABC. '△ADB△CEA(AAS). .ABD- CBD. '$AE-BD,AD=CE..$DE=AE+AD=BD+CE BA-BE. 在△ABD和△EBD中. 10.C {ABD- EBD BD-BD. 答图 11.证明:如答图,延长BD交CA的延长 线于点F. '.△ABD△EBD(SAS). “'BAC-90”.. BAF- BAC- '.AD-ED. A-/BED. 90".ACE+AEC-90”. :A+C-180{,BED+CED=180° . BDC-90{.BDC=FDC .C=CED...CD=ED. 答图 90”...ABF+BED-90”。 .AD-CD. :AEC- BED.'ACE- ABF. 培优(3)--第十三章 辅对称 ·AB-AC...△ACE△ABF(ASA)..$CE-BF. 1.52* 2.A 3.C 4.5 .CD平分ACB...ACD=BCD. 5.解:(1)如答图所示; :CD-CD.'.△CBD2△CFD(ASA). $.BD-FD-BF.BD-CE.\.CE-2BD. 12.证明:.BE是ABC的平分线, .. /ABE-/CBE: 由三角形的外角性质得,乙AED一CBE十C. 'AD1BE.ABE+ 2-90”. ' 1+AED- 1+CBE+C=90 “.1+C-90*-CBE. “ ABE-CBE,2=90*- ABE .2-乙1+C. 答图 59