第十三章 轴对称 核心素养-【宝典训练】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂(人教版)

数学·八年级·上册(R) 本章数学核心素养 1.【材料阅读】“对称补缺”是解决与轴对称图形 2.【探究活动】【RJ八上P84】我们都知道，在等腰 有关问题的一种添加辅助线的常用策略.例如 三角形中，有等边对等角（或等角对等边），那 图1，△ABC中，BM是△ABC的平分线，AN 么在不等腰三角形中边与角的大小关系又是 BM交BM的延长线于点N,如图2，延长AN, 怎样的呢？让我们来探究一下. BC交于点D,即可构造出轴对称图形△ABD, 进而得到边、角之间特殊的数量关系，为解决问 题提供思路， 图2 如图1，在△ABC中，已知AB>AC,猜想∠B 与∠C的大小关系，并证明你的结论： 图 图2 证明：猜想∠C>∠B,对于这个猜想我们可以这 迁移应用：如图3，△ABC中，若∠ACB=90°， 样来证明：在AB上截取AD=AC,连接CD, AC=BC,AM是∠CAB的平分线交AC于点M, AB>AC,点D必在∠BCA的内部， BN⊥AM垂足为点N.若BN=7,求AM的长. .∠BCA>∠ACD, AD=AC,∴∠ACD=∠ADC,'∠ADC>∠B, ∴·∠BCA>∠ACD>∠B,即∠C>∠B. 上面的探究过程是研究图形中不等量关系证 明的一种方法，将不等的线段转化为相等的线 段，由此解决问题，体现了数学的转化的思想 方法.请你仿照类比上述方法，解决下面问题： (1)如图2，在△ABC中，已知AC>BC,猜想 ∠B与∠A的大小关系，并证明你的结论： (2)如图3，在△ABC中，已知∠C>∠B,猜想 AB与AC大小关系，并证明你的结论： (3)根据前面得到的结果，请你总结出三角形 中边、角不等关系的一般性结论 ●p84● 第十三章轴对称 3.【数学文化】如图1，已知△ABC的三个顶点均4.【数学文化】设计图案，常常可以用简单的图形 在单位长度为1的正方形网格中的格点上，请 作为基本图形，然后通过轴对称和平移进行扩 你按照要求完成以下问题： 展.例如，如图所示的两个图案就是这样得到 图图图图图 的.试用同样的方法设计两个图案 图1 图2 (1)请直接写出图1中△ABC的面积为 (2)动手操作与画图：请你根据所学全等与轴 对称知识，在图2的四个网格内完成以下 设计轴对称图形的任务，要求如下： ①画出的三角形要与△ABC全等，且它们 的顶点都在格点上： ②画出的三角形与△ABC关于某条直线 成轴对称图形. 5.【探究活动】 综合探究：探索等腰三角形中相等的线段 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同 学们就这个问题展开探究. 问题初探：(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1，在△ABC中，AB=AC,D 是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,经过合作，该小组的同学得出的结论是 DE=DF,并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1， ,DE⊥AB,DF⊥AC,.∠DEB=∠DFC=90°， ,AB=AC,∠B=∠C(依据1). ,D是BC的中点，.BD=CD. ∴.△BDE≌△CDF(依据2)，∴.DE=DF. 请写出依据1和依据2的内容：依据1： .依据2： 问题再探：(2)未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰三角形ABC中，作腰AB上 的高CG.如图3，则CG与DE有确定的数量关系，请猜想这个数量关系？并且给予证明. e85高效课堂定典训练数学入年皴上册(R) .AD=DE,∠BED=∠A, (2=6÷2=3=4+号-号0=4+=6( 4 .∠BAC=2∠C,∠BED=∠C+∠CDE, .∠C=∠CDE,.CE=DE=BC-AB=2, 本章数学核心素养 ∴，AD=DE=2. 新课学习 7.解：如答图，过点P作PE∥BQ交AB的延 1.解：延长BN,AC交于点D,如答图 长线于点E, BNLAM,.∠ANB=90°..∠MAC+∠D=90°， 易证EB=BP,∠QBC=∠C=40', ∠ACB=90°，∴.∠DBC+∠D=90°， ·BQ=QC,.BQ+AQ=AC, ∴.∠DBC=∠MAC 易证∠E=40°=∠C, ∠BCD=90°， △APE≌△APC, 在△BIDC和△AMC中， .AE=AC,即AB+BP=BQ+AQ I∠BCD=∠ACM, 第3】课时章末复习 AC=BC. 核心讲练 ∠DBC=∠MAC, 答图 1.A2.A3.134.4 ∴.△BDC2△AMC(ASA),.BD■AM, 5.解：，∠ABC=50°，∠ACB=80°， AM是∠CAB的平分线，.∠BAN=∠DAN, ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-80°=50°， ∠ANB=∠AND=90°，AN=AN, DB=BA.∠D=∠DAB= 2∠ABC=25. .△ABN≌△ADN(ASA), ∴.BN=DN,即BD=2BN,.AM=BD=2BV=14. :CE=CA.∠E=∠CAE=支∠ACB=40, 2.解：(1)∠B>∠A.证明：如答图1，在AC上截取CD=BC,连 接BD, ·.∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=25+50°+40°=115. ,BC=CD,.∠CBD■ 6.证明：BE=CF,BF=CE, ∠CDB, (BF=CE. '∠CBA>∠CBD,∠CDB> 在△ABF和△DCE中，AB=DC, ∠A, IAF-=DE. ∴.∠AB>∠BAC,即∠B> 答图1 答图2 .△ABF≌△DCE(SSS),.∠AFB=∠DEC, ∠A. ∴OE=OF,.△OEF是等腰三角形. (2)AB>AC,证明：如答图2，在∠ACB的内部作∠BCD= 7.解：(1)(2,2)(-3,6) ∠B,连接CD交AB于D, (2)如容图，点P即为所求. 则BD=CD.在△ADC中，AD+CD>AC 14 .AD+BD>AC,即AB>AC. (3)在一个三角形中，大边对大角，大角对大边 3,解：(1)1 (2)如答图所示： ☒☒图 答图 答因 4.解：图案如答图所示： 8.解：如答图，先作N关于a的对称点A,再连接MA交a于点 O,点O即为所求， 个齐节 唤%唤 0 答图 5.解：(1)等边对等角AAS 答图 9,解：(1)，△ABC是等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=∠C=60 (2)猜想：CG=2DE:证明：如答图，连接AD, 在△ABE与△CAD中， AB=AC,D是BC的中点，.AD是∠BAC AB=AC,∠BAC=∠C,AE=CD 的平分线， ∴.△ABE≌△CAD(SAS).'.∠ABE=∠DAC ,DE⊥AB,DF⊥AC..DE=DF, .∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠DAC+∠BAP=∠BAC=60, :SAe=SAAb十Saxm,且AB=AC, BQ⊥AD,∠BQP=90. ∴AB:GG=AB·DE+7AC·DF- ∴.∠PBQ=180°-90°-60°=30. (2)由(1D知，△ABE≌△CAD,则BE=AD. zAB·2DE.CG=2DE. 又由(2)知.BP=2PQ=6, 第十四章整式的乘法与因式分解 ∴.AD=BE=BP+PE=6+1=7,即AD=7. 10.解：1)把1=1得出CP=2m,所以△ACP的面积=2× 第32课时同底数幂的乘法 新课学习 2×6=6(cm): (1)2(2)10(3)a(4)不变相加m+n 18