专题6 特珠三角形常见辅助线的作法-【宝典训练】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂(人教版)

数学·八年级·上册(R) 微专题6特殊三角形常见辅助线的作法 新课学司 1.利用等腰三角形“三线合一”作辅助线： 2.构造等腰三角形 拉©讲练 类型1：知等腰，连中线 1.如图，在△ABC中，AB=BC,E是AC的中点，2.如图，△ABC中，CA=CB,∠ACB=90,O为AB的 ED⊥BC于点D.求证：∠ABC=2∠DEC 中点，D,E分别在AC,BC上，且OD⊥OE.求证： CD十CE=AC 类型2：知等腰，常作高 3.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为4.如图，在△ABC中，AB=AC,D点在BA的延 BC的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且 长线上，点E在AC上，且AD=AE,DE的延 BE=AF.求证：ED=DF. 长线交BC于点F,求证：DF⊥BC. ●p80● 第十三章轴对称 类型3：垂直平分线构等腰 类型4：利用2倍角构等腰（实质是截长补短法】 5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交6.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C,BD为△ABC BC于点D,交AB于点M,E为CD的中点， 的角平分线，BC=5,AB=3,求AD的长. ∠CAE=25°，∠ACB=65°，猜想BD与AC的 数量关系，并说明理由 类型5：角平分线遇平行线构等腰 7.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P,Q两点分别在BC,CA上，并且AP,BQ分别是 ∠BAC,∠ABC的平分线.求证：BQ+AQ=AB+BP. ep81●.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90, 又，∠ACD=60°，.∠AEB=60, ∠ADE=∠AED=45, :∠EAC=60,.∠AEB=∠EAC..AC∥BE. .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 微专题6特殊三角形常见辅助线的作法 即∠BAD=∠CAE, 核心讲练 AB-AC. L,证明：如答图，连接BE. 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE BA=BC,E为AC的中点， AD=AE. ∴.BE⊥AC,∠ABC=2∠EBC, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),.BD=CE,∠ADB=∠AEC, ∴.∠EBC+∠C=90°. :点B,D,E在同一直线上.∴∠ADB=180°-45°=135， ,ED⊥BC, .∠AEC=135°， ∴∠DEC+∠C=90, .∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°： .∠EBC=∠DEC, ∠DAE=90°，AD=AE,AF⊥DE, ∴.∠ABC=2∠DEC ∴.AF=DF=EF, 2.证明：连接(O,如答图， .BF=BD+DF=CE+AF. ,∠ACB=90',O为AB的中点 3.(1)证明：：△ABD和△ACE都是等边三角形， .AB=AD,AE=AC.∠BAD=∠CAE=60, 0A=OC-号AB,:CA=CB.0为AB的中点， ∴∠DAC=∠BAE, AB-AD. ∴∠BC0=∠AC0=号∠ACB=45 在△AEB和△ACD中 ∠DAC=∠BAE .∠AOC=90°.CO⊥AB. AE-=AC. ,OD⊥OE,.∠D)E=90°， ,.△AEB2△ACD(SAS): .∠AOC-∠DOC=∠DOE-∠DOC, .BE-DC: .∠AOD=∠COE, 答图 (2)解：：△AEB2△ACD,.∠ADC=∠ABE OA=0C,∴.∠A=∠ACO=45.∴.∠A=∠BC0 ∴∠BFC=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABE .△AD2△CEO(ASA),.AD=CE, ∠DBA+∠BDF+∠ADC=120°： CD十AD=AC,.CD+CE=AC, (3)证明：如答图，过点A分别作BE,CD的垂线段AM.AN, 3.证明：如答图，连接AD, 垂足分别为M,N, :AB=AC,∠BAC=90°，D为BC中点， :△AEB≌△ACD,.S△E#=SMD,CD=EB, ∴AD=专BC=BD=CD, .AM=AN,.FA平分∠DFE 且AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD=45°， 4.(1)证明：△OAB与△APQ都是等边三角形， 在△BDE和△ADF中， .OA=BA,PA=AQ.∠OAB=∠PAQ=60°， BD-AD. .∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB ∠B=∠DAF=45. .∠OAP=∠BAQ. BE=AF. (AO=AB. ∴.△BDE≌△ADF(SAS).∴.DE=DF 在△OAP和△BAQ中，∠OAP=∠BAQ, 4.证明：如答图，过点A作AM⊥BC于点M, AP-AQ. ,AB=AC,.∠BAC=2∠BAM, .△OAP≌△BAQ(SAS),.OP=BQ: :AD=AE,.∠D=∠AED, (2)解：△COB是等腰三角形，理由如下： ∴.∠BAC=∠D十∠AED=2∠D. :△OAP≌△BAQ,∠ABQ=∠AOP=90, ∠BAM=∠D,∴.DF∥AM, .∠ABC=180°-∠ABQ=90°. AMI BC. :∠AOB=∠ABO=60°， ∴.DF⊥BC .∠C0B=∠CB0=90°-60°=30 5.解：BD=AC.理由：如答图，连接AD .)=CB,△(C()B是等腰三角形 :∠CAE=25,∠ACB=65°， 5.(1)证明：：△ABD,△ACE都是等边三角形， ∴.∠AED=∠CAE+∠ACB=90° .AB=AD,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°，，.∠DAC= 即AE⊥DC, ∠BAE. 点E为CD中点..AD=AC, AB=AD. :AB的垂直平分线DM交BC于点D, 在△ABE和△ADC中， ∠B.AE=∠DAC,'.△ABE≌ 答图 .BD=AD..BD-AC. AE=AC. 6.解：如答图，在BC上截取BE=AB,连接DE,则CE=BC-BE △ADC(SAS): 5-3=2. (2)解：由(1)知△ABE≌△ADC,.∠AEB=∠ACD. ,BD为∠ABC的平分线， :∠ACD=20°，∴∠AEB=20°： ∴.∠ABD-∠CBD, (3)证明：，△ABD,△ACE都是等边三角形，.AB=AD, 在△ABD和△EBD中， AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°，.∠DAC=∠BAE (AB=BE. AB=AD. ∠ABD=∠CBD 在△ABE和△ADC中， ∠BAE=∠DAC,'.△ABE≌ BD-BD. AE=AC. .△ABD≌△EBD(SAS), 答图 △ADC(SAS),..∠AEB=∠ACD. 17 高效课堂定典训练数学入年皴上册(R) .AD=DE,∠BED=∠A, (2=6÷2=3=4+号-号0=4+=6( 4 .∠BAC=2∠C,∠BED=∠C+∠CDE, .∠C=∠CDE,.CE=DE=BC-AB=2, 本章数学核心素养 ∴，AD=DE=2. 新课学习 7.解：如答图，过点P作PE∥BQ交AB的延 1.解：延长BN,AC交于点D,如答图 长线于点E, BNLAM,.∠ANB=90°..∠MAC+∠D=90°， 易证EB=BP,∠QBC=∠C=40', ∠ACB=90°，∴.∠DBC+∠D=90°， ·BQ=QC,.BQ+AQ=AC, ∴.∠DBC=∠MAC 易证∠E=40°=∠C, ∠BCD=90°， △APE≌△APC, 在△BIDC和△AMC中， .AE=AC,即AB+BP=BQ+AQ I∠BCD=∠ACM, 第3】课时章末复习 AC=BC. 核心讲练 ∠DBC=∠MAC, 答图 1.A2.A3.134.4 ∴.△BDC2△AMC(ASA),.BD■AM, 5.解：，∠ABC=50°，∠ACB=80°， AM是∠CAB的平分线，.∠BAN=∠DAN, ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-80°=50°， ∠ANB=∠AND=90°，AN=AN, DB=BA.∠D=∠DAB= 2∠ABC=25. .△ABN≌△ADN(ASA), ∴.BN=DN,即BD=2BN,.AM=BD=2BV=14. :CE=CA.∠E=∠CAE=支∠ACB=40, 2.解：(1)∠B>∠A.证明：如答图1，在AC上截取CD=BC,连 接BD, ·.∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=25+50°+40°=115. ,BC=CD,.∠CBD■ 6.证明：BE=CF,BF=CE, ∠CDB, (BF=CE. '∠CBA>∠CBD,∠CDB> 在△ABF和△DCE中，AB=DC, ∠A, IAF-=DE. ∴.∠AB>∠BAC,即∠B> 答图1 答图2 .△ABF≌△DCE(SSS),.∠AFB=∠DEC, ∠A. ∴OE=OF,.△OEF是等腰三角形. (2)AB>AC,证明：如答图2，在∠ACB的内部作∠BCD= 7.解：(1)(2,2)(-3,6) ∠B,连接CD交AB于D, (2)如容图，点P即为所求. 则BD=CD.在△ADC中，AD+CD>AC 14 .AD+BD>AC,即AB>AC. (3)在一个三角形中，大边对大角，大角对大边 3,解：(1)1 (2)如答图所示： ☒☒图 答图 答因 4.解：图案如答图所示： 8.解：如答图，先作N关于a的对称点A,再连接MA交a于点 O,点O即为所求， 个齐节 唤%唤 0 答图 5.解：(1)等边对等角AAS 答图 9,解：(1)，△ABC是等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=∠C=60 (2)猜想：CG=2DE:证明：如答图，连接AD, 在△ABE与△CAD中， AB=AC,D是BC的中点，.AD是∠BAC AB=AC,∠BAC=∠C,AE=CD 的平分线， ∴.△ABE≌△CAD(SAS).'.∠ABE=∠DAC ,DE⊥AB,DF⊥AC..DE=DF, .∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠DAC+∠BAP=∠BAC=60, :SAe=SAAb十Saxm,且AB=AC, BQ⊥AD,∠BQP=90. ∴AB:GG=AB·DE+7AC·DF- ∴.∠PBQ=180°-90°-60°=30. (2)由(1D知，△ABE≌△CAD,则BE=AD. zAB·2DE.CG=2DE. 又由(2)知.BP=2PQ=6, 第十四章整式的乘法与因式分解 ∴.AD=BE=BP+PE=6+1=7,即AD=7. 10.解：1)把1=1得出CP=2m,所以△ACP的面积=2× 第32课时同底数幂的乘法 新课学习 2×6=6(cm): (1)2(2)10(3)a(4)不变相加m+n 18