专题5 手拉手模型-【宝典训练】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂(人教版)

数学·八年级·上册(B) 微考题5 手拉手模型 新课学 小明发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底 角顶点连接起来,则形成一组全等三角形,小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形。 (1)问题发现:在图1的“手拉手”图形中,若△ABC和△ADE均是顶角为40{的等腰三角形,BC DE分别是底边,求证:BD一CE; (2)拓展探究:如图2,若△ABC和△CDE均是等边三角形,点A,D,E在同一条直线上,连接BE. 则乙AEB一 *,线段BE与AD之间的数量关系是 图1 图2 核讲练 类型1:等腰“手拉手” 1.如图,在△ABD和△ACE都是等腰三角形, 2.如图,△ABC与△AED都是等腰直角三角 BAD= CAE-90*,求证:BE-CD 形,BAC- DAE-90{*},且点B.D.E在同 一直线上,AFBE于点F,连接CE,求 BEC的度数,并确定线段AF,BF,CE之间 的数量关系. 第十三章 轴对称 类型2:等边“手拉手” 3.如图,△ABD和△ACE都是等边三角形 4. 如图,在Rt△AOP中,以OA为边作等边 (1)求证:BE=CD; ##7# △OAB,以AP为边作等边△APQ,连QB并延 (2)求BFC的度数; 长交OP于点C. (3)求证:FA平分DFE (1)求证:OP-BQ (2)判断△COB的形状,并说明理由. 拓展训练 5.如图,八ABD,八ACE都是等边三角形 (1)求证:△ABE△ADC; (2)若ACD一20*,求AEB的度数; (3)如图2,当△ABD与△ACE的位置发生变化,使C,E,D三点在一条直线上,求证;AC/BE {7_1 图1高效课堂宝典训练数学入年级上册(R) 2.证明：，AB∥CD, 2.解：(1)5.5 ∴∠BAC=∠ACD, (2)如答图，△AB'C即为所求： CA平分∠BCD, (3)如答图，点P即为所求 ∴，∠BCA=∠ACD, ∴.∠BAC=∠BCA. ,.CB=BA,,△ABC是等腰三角形 3.解：(1)90 (2)结论：AF∥EC理由：，AB=AC,BF=CF,.AF⊥BC :△ABC是等边三角形，六∠ACB=60°，：AE=EC, ÷∠ACE=×180-∠AB0)=30, 答图 ∴，∠BCE=90,.ECL BC,∴.AF∥EC 过关检测 过关检测 3.C4.1000 4.50°5.2 5.解：(1)50° 6.(1)证明：，DE⊥AB,DF⊥AC, (2)①：MN垂直平分AB .∠BED=∠CFD=90', ∴.MB=MA, AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角)， 又，△MBC的周长是14em, :D是BC的中点，BD=CD. ∴，BC+CM+BM=BC+CM+AM=AC+BC-14cm, ∠BED=∠CFD. .AC=AB=8 em,.'.BC=6 cm. 在△BED和△CFD中，〈∠B=∠C ②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，△BPM周长 BD-CD. 的最小值是8+6=14cm. ∴.△BED≌△CFD(AAS).∴.DE=DF 6.解：(1)如答图，△A'B'C‘即为所求： (2)解：AB=AC,∠A=60°， (2)如答图，点P即为所求，P(一3,0). .△ABC为等边三角形，.∠B=60°， V奉 ”∠BED=90,∠BDE=30.BE=号BD, BE=1..BD=2...BC=2BD-4. .△ABC的周长为12. 7.(1)证明：△ABC和△ADE都是等边三角形，AB=AC, AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， .∠BAD=∠BAC-∠DAC.∠CAE=∠DAE-∠DAC. ∠BAD=∠CAE. :AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE 答图 .△ABa△ACE(SAS),∴.BD=CE: 7,(1)证明：，△ABC是等边三角形，·AB=BC,,点B在AC (2)解：，△ABD≌△ACE(已证)，.∠AEC=∠ADB. 的垂直平分线上， ∠ADE=60°， :AD=(CD,∴.点D在AC的垂直平分线上，∴.BD垂直平分AC: ∴.∠ADB=120,.∠AC=120,.∠DEC=120°-60°=60， (2)解：AB=BC,DB⊥AC..BE平分∠ABC, 在Rt△ECD中，∠CDE=90',∠DEC=60, ∠ABC=∠BAC=60°.∠ABD=30°， ∴∠DCE=30°，∴.EC=2DE=6. ,∠BAD=90°，∴.∠DAE=30°， 第30课时最短路径 AD=4,∴.BD=8.DE=2.∴.BE=BD-DE=6 新课学习 (3)6 1.②两点之间，线段最短 微专题5手拉手模型 2.解：①如答图①所示：②如答图②所示： 新课学习 1.(1)证明：，△ABC和△ADE均是顶角为40的等腹三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE, .∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, ∴.∠BAD=∠CAE..△BAD2△CAE(SAS),∴.BD=CE (2)60BE=AD 答图 核心讲练 相等异侧PA 1证明：，△ABD和△ACE是等腰直角三角形， 核心讲练 .∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD.AC=AE. 1,解：如答图所示，作出点B关于河边1的对称点B',连接 .∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC AB,交河边1于点P,连接BP,则AP+BP是最短路线， ∴∠DAC=∠BAE AB-AD. 在△AEB和△ACD中，〈∠BAE=∠DAC ●B AE=AC. ∴.△AEB≌△ACD(SAS),,BE=CD 2.解：BF=CE+AF,理由如下： 答图 ,△ACB和△DAE均为等腰直角三角形， 16 .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90, 又，∠ACD=60°，.∠AEB=60, ∠ADE=∠AED=45, :∠EAC=60,.∠AEB=∠EAC..AC∥BE. .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 微专题6特殊三角形常见辅助线的作法 即∠BAD=∠CAE, 核心讲练 AB-AC. L,证明：如答图，连接BE. 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE BA=BC,E为AC的中点， AD=AE. ∴.BE⊥AC,∠ABC=2∠EBC, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),.BD=CE,∠ADB=∠AEC, ∴.∠EBC+∠C=90°. :点B,D,E在同一直线上.∴∠ADB=180°-45°=135， ,ED⊥BC, .∠AEC=135°， ∴∠DEC+∠C=90, .∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°： .∠EBC=∠DEC, ∠DAE=90°，AD=AE,AF⊥DE, ∴.∠ABC=2∠DEC ∴.AF=DF=EF, 2.证明：连接(O,如答图， .BF=BD+DF=CE+AF. ,∠ACB=90',O为AB的中点 3.(1)证明：：△ABD和△ACE都是等边三角形， .AB=AD,AE=AC.∠BAD=∠CAE=60, 0A=OC-号AB,:CA=CB.0为AB的中点， ∴∠DAC=∠BAE, AB-AD. ∴∠BC0=∠AC0=号∠ACB=45 在△AEB和△ACD中 ∠DAC=∠BAE .∠AOC=90°.CO⊥AB. AE-=AC. ,OD⊥OE,.∠D)E=90°， ,.△AEB2△ACD(SAS): .∠AOC-∠DOC=∠DOE-∠DOC, .BE-DC: .∠AOD=∠COE, 答图 (2)解：：△AEB2△ACD,.∠ADC=∠ABE OA=0C,∴.∠A=∠ACO=45.∴.∠A=∠BC0 ∴∠BFC=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABE .△AD2△CEO(ASA),.AD=CE, ∠DBA+∠BDF+∠ADC=120°： CD十AD=AC,.CD+CE=AC, (3)证明：如答图，过点A分别作BE,CD的垂线段AM.AN, 3.证明：如答图，连接AD, 垂足分别为M,N, :AB=AC,∠BAC=90°，D为BC中点， :△AEB≌△ACD,.S△E#=SMD,CD=EB, ∴AD=专BC=BD=CD, .AM=AN,.FA平分∠DFE 且AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD=45°， 4.(1)证明：△OAB与△APQ都是等边三角形， 在△BDE和△ADF中， .OA=BA,PA=AQ.∠OAB=∠PAQ=60°， BD-AD. .∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB ∠B=∠DAF=45. .∠OAP=∠BAQ. BE=AF. (AO=AB. ∴.△BDE≌△ADF(SAS).∴.DE=DF 在△OAP和△BAQ中，∠OAP=∠BAQ, 4.证明：如答图，过点A作AM⊥BC于点M, AP-AQ. ,AB=AC,.∠BAC=2∠BAM, .△OAP≌△BAQ(SAS),.OP=BQ: :AD=AE,.∠D=∠AED, (2)解：△COB是等腰三角形，理由如下： ∴.∠BAC=∠D十∠AED=2∠D. :△OAP≌△BAQ,∠ABQ=∠AOP=90, ∠BAM=∠D,∴.DF∥AM, .∠ABC=180°-∠ABQ=90°. AMI BC. :∠AOB=∠ABO=60°， ∴.DF⊥BC .∠C0B=∠CB0=90°-60°=30 5.解：BD=AC.理由：如答图，连接AD .)=CB,△(C()B是等腰三角形 :∠CAE=25,∠ACB=65°， 5.(1)证明：：△ABD,△ACE都是等边三角形， ∴.∠AED=∠CAE+∠ACB=90° .AB=AD,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°，，.∠DAC= 即AE⊥DC, ∠BAE. 点E为CD中点..AD=AC, AB=AD. :AB的垂直平分线DM交BC于点D, 在△ABE和△ADC中， ∠B.AE=∠DAC,'.△ABE≌ 答图 .BD=AD..BD-AC. AE=AC. 6.解：如答图，在BC上截取BE=AB,连接DE,则CE=BC-BE △ADC(SAS): 5-3=2. (2)解：由(1)知△ABE≌△ADC,.∠AEB=∠ACD. ,BD为∠ABC的平分线， :∠ACD=20°，∴∠AEB=20°： ∴.∠ABD-∠CBD, (3)证明：，△ABD,△ACE都是等边三角形，.AB=AD, 在△ABD和△EBD中， AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°，.∠DAC=∠BAE (AB=BE. AB=AD. ∠ABD=∠CBD 在△ABE和△ADC中， ∠BAE=∠DAC,'.△ABE≌ BD-BD. AE=AC. .△ABD≌△EBD(SAS), 答图 △ADC(SAS),..∠AEB=∠ACD. 17