13.28 有一个锐角为30°的直角三角形的性质-【宝典训练】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂(人教版)

数学·八年级·上册(R) 第28课时 有一个锐角为30°的直角三角形的性质 新课标“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半， 新课学司 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明。 已知：如图，在△ABC中，∠C=90,∠A=30.求证：BC=2AB, 方法一：证明：如图1，延长BC到点D,使得CD= 方法二：证明：如图2，在线段AB上取一点D,使 BC,连接AD. 得BD=BC,连接CD. 图2 核心讲练 核心考点定理：在直角三角形中，如果一个锐角 等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 1.如图，一棵树在离地面5.5米处被折断.落在地 几何语言： 上刚好与地面形成30的角， 在Rt△ABC中， 求这棵树原来的高度 :∠C=90°，∠A=30°， ..BC= 过关检测 下基础训练 2.如图，在直角三角形ACB中，∠C 3.【易错题】如图，在△ACB中，∠C=90°，∠A=15, 90°，∠A=30°，BC=2,则AB 点D为AC边上一点，连接 等于 BD,∠DBC=60°，若BC= A.2 B.3 C.4 D.25 2,则AD= ●p724● 第十三章轴对称 能力训练 4.【RJ八上P83改编】上午8时，一条船从海岛A5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°， 出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到 AD⊥BC于D,点F在BC的垂直平分线上. 达海岛B处，从A,B望灯塔C,测得∠NAC (1)求证：△AEF是等边三角形： 30°，∠NBC=60°. (2)若BD=1,求DC的长. (1)求从海岛B到灯塔C的距离： (2)这条船继续向正北航行，问在上午或下午 的什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 69 30 拓展训练 6.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm,点D从点A出发以1cms的速度向点C运 动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为1秒，解决以下问题： (1)当t为何值时，△DEC为等边三角形： (2)当t为何值时，△DEC为直角三角形. ●p73∠DPB=∠EPC, 证明：：∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=90°-∠A=60°， DP-PE. 又：BD=BC,∴.△BCD是等边三角形， ∠BDP=∠CEP .BC=BD=DC,∠BCD=60°， ∴.△DPB≌△EPCASA),.DB=EC, .∠DCA=∠ACB-∠BCD=30,.∴.∠DCA=∠A=30°， ∴.AD+DB=AE+EC,∴.AB=AC.∴△ABC是等腰三角形. 第27课时等边三角形 DC=DA∴BC=BD=DA=号AB,即BC=ZAB. 新课学习 核心讲练 1.(1)ACBC6060602.3条 核心讲练 吉AB 1.解：∠C=90°，AC=5.5米，∠B=30° 1.(1)560°(2)230° AB=2AC=11米， 2.证明：∠A=∠B,∴BC=AC, ∴AC+BA=11+5.5=16.5(米)， 又∠A=∠C.∴.BC=AB, 即这探树原来的高度是16.5米. ,AB=BC=AC,·△ABC是等边三角形. 过关检测 证明：：AB=AC,∠B=60,∴∠C=∠B=60. 2.C3.4 ∴.∠A=180°-（∠B+∠C)=60°， 4.解：(1)，∠NBC=60°，∠VAC=30°， .∠A=∠B=∠C. .∠ACB=60°-30°=30°， △ABC是等边三角形 .AB=BC=2X15=30海里， 等腰 ∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里： 3.(1)B(2)10 (2)过C作CP⊥AB于P, 4,证明：：AB=BC,BD⊥AC于点D,.∠ABC=2∠ABD, 则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离， ,∠ABD=30°..∠ABC=60°. ,∠NBC=60°，∠BPC=90°，.∠PCB=90°-60°=30 又AB=BC,',△ABC为等边三角形. 过关检测 ∴PB=号BC=15海里心15÷15=1小时， 5,证明：：∠ACD=120°，∴∠ACB=180°-∠ACD=60, ∴这条船继续向正北航行，在上午的11时小船与灯塔C的 :∠A=60.∴.∠B=180°-∠A-∠ACB=60, 距离最短. ·∠A=∠B=∠ACB=60',.△ABC是等边三角形. 5.(1)证明：：点F在BC的垂直平分线上，∠C=30°， 6.解：△ADE是等边三角形， ,.FB=FC,.∠FC=∠C=30,.∠AFE=∠FBC+∠C=6o ,△ABC是等边三角形，∠A=60°，AB=AC, AD⊥BC于D,∠FBC=30°，.∠BED=90°-∠FBC=60°， BD=CE,.AB一BD=AC-CE,即AD=AE, ·∠AEF=∠BED=60,.△AEF为等边三角形： .△ADE是等边三角形 (2)在R1△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°， 7.证明：，△ABC是等边三角形 ∠ABC=60°， .∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC, AD⊥BC于D,.∠BAD=90°-∠ABC=30°， ,AD=BE=CF,∴，BD=CE=AF, 在Rt△ABD中，BD=1,∠BAD=30,.AB=2BD=2, (AD-BE. 在R1△ABC中.，AB=2,∠C=30°，.BC=2AB=4, 在△ADF和△BED中，∠A=∠B. .CD=BC-BD=4-1=3. AF-BD. 6.解：(1)根据题意可得AD=tcm,CD=(6一t)cm,CE .△ADF2△BED..DF=DE,同理DE=EF, 2t cm. ∴DE=DF=EF,△DEF是等边三角形. ,∠B=30,AC=6cm 8.证明：(1)，'△ABD与△AEC都是等边三角形， ∴.BC=2AC=12cm, ·AD=AB,AE=AC,∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB :∠C=90°-∠B=30°=60°，△DEC为等边三角形， ∠EAC=60°，.∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BMC, ∴.CD=CE,6-1=21,1=2: .∠DAC=∠BAE, ∴当t为2时，△DEC为等边三角形： AD-AB. (2)①当∠DEC为直角时，∠EIDC-30°， 在△DAC和△BAE中.∠DAC=∠BAE. AC-AE. E-c24=6-0=号 .△DAC2△BAE(SAS),,BE=DC: ②当∠EDC为直角时，∠DBC=30,CD=之CE. (2)由(1)可得出∠ADC=∠ABE, :∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=180°-∠ODB 6-1=2 ·21,1=3. 60°-∠ADC=120°-（∠ODB+∠ADC)=120°-60°=60°， .∠BOD=60°. 六当1为号或3时，△DEC为直角三角形. 第28课时有一个锐角为30的直角三角形的性质 第29课时等腰三角形习题课 新课学习 核心讲练 证明：，∠ACB=90°，∠BAC=30°..∠B=90°-∠BAC=60°， 1,解：根据题意，可得AB=20×2=40(海里)， ∠ACD=180°-∠ACB=90°，∴.∠ACD=∠ACB=90, ,∠NAC=40°，∠NBC=80°， 又'AC=AC,BC=DC,.△BCA2△DCA(SAS), ∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=80°-40=40°， .AD=AB,.△ABD是等边三角形，AB=BD, ∴.∠ACB=∠VAC, :BC-CD-7BD.:BC-7AB. .BC=BA=40海里 答：从B处到灯塔C的距离为40海里. 15