第05讲 椭圆与方程（十大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第05讲 椭圆与方程 一、椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 三、椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 四、必记结论 1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处． 2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为 重难点01椭圆的定义及其应用 【解题必备】平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 当时，动点的轨迹是椭圆； 当时，动点的轨迹是一条线段； 当时，动点的轨迹不存在. 例1．已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 例2．（多选）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【跟踪练习】 练习1．已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 练习2．“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 练习3．已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 练习4．已知分别是椭圆的左､右焦点，为上一点，与的顶点不重合，分别为的中点，为坐标原点，且，则的焦距为 ． 重难点02求椭圆的标准方程 【解题必备】（1）若椭圆的焦点位置确定，则用待定系数法求椭圆的标准方程： ①根据焦点位置设方程为或；②根据已知条件求出，③写出椭圆的标准方程 （2）若椭圆的焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，避免因焦点位置不确定而对方程形式进行分类讨论.若求出的参数值有两组，则满足条件的椭圆的标准方程有两个. 例3．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 例4．已知椭圆：，若矩形的四个顶点都在上，则称为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形的外接椭圆的短轴长为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的可能取值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 练习2．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 练习3．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 练习4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 重难点03椭圆的焦点三角形 【解题必备】在解椭圆中焦点三角形的有关问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 例5．经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 例6．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则 ． 练习2．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 练习3．已知椭圆分别为左右焦点，为椭圆上一点，满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 练习4．设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 重难点04椭圆中最值与范围 【解题必备】解决椭圆中最值问题的常见思路 设为椭圆上一点，为椭圆的焦点． （1）与有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件． （2）与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 例7．设实数满足的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 例8．已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 【跟踪练习】 练习1．已知点P为椭圆上一个动点，点A的坐标为，则的最小值为 . 练习2．已知椭圆的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，点坐标是，则的最大值是 . 练习3．椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的取值范围为 . 练习4．已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 . 重难点05椭圆的几何性质 例9．已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（    ） A． B． C． D． 例10．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为 . 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知椭圆与椭圆，则（    ） A．与的长轴长相等 B．的焦距是的焦距的2倍 C．与的离心率相等 D．与有公共点 练习2．（多选）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 练习3．（多选）已知曲线，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为 C．的右焦点坐标为 D．的离心率为 练习4．已知椭圆的周长，其中分别为椭圆的长半轴长与短半轴长.现有如图所示的椭圆形镜子，其外轮廓是椭圆，且该椭圆的离心率为，长轴长为，则这面镜子的外轮廓的周长约为 cm.（取3.14，结果精确到整数） 重难点06求椭圆的离心率 【解题必备】 求椭圆离心率的值或取值范围，一般先将已知条件转化为关于的方程或不等式，再求解 （1）若已知可直接代入求得. （2）若已知则使用.求解. （3）若已知，则先求，再利用（1）求解. （4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程(不等式)求值 例11．设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为 ； 例12．已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与相交于，两点，若且，则椭圆的离心率为 ． 练习3．某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框虚线进行镶嵌，上部分是两个半径都为r的半圆，AC、BD分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．若当时图中阴影区域的面积为，则该“心形” 的离心率为 ． 练习4．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于A、B两点，若，则该椭圆的离心率为 ． 重难点07求椭圆离心率的取值范围 例13．已知过原点的直线交椭圆于两点，椭圆的右焦点为，且，若椭圆的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，椭圆右准线上存在一点P满足，则椭圆的离心率的取值范围为 . 练习2．椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习3．设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 重难点08与椭圆有关的轨迹方程问题 例15．已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例16．已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切.求动圆圆心的轨迹的方程. 【跟踪练习】 练习1．已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 练习2．射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 . 练习3．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 练习4．长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 重难点09椭圆的实际问题 【解题必备】利用椭圆解决实际问题的基本步骤： （1）建立适当的坐标系；（2）求出椭圆的标准方程(待定系数法)；（3）根据椭圆的方程及几何性质解决实际问题． 例17．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（    ） A． B． C． D． 例18．船上两根高7.5m的桅杆相距15m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离（精确到0.01m）． 【跟踪练习】 练习1．在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为 ． 练习2．在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 练习3．圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点．如图甲，椭圆为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为．由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆的离心率为 ． （2）点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为 ． 练习4．开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 重难点10椭圆的综合问题 例19．（多选）已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为，直线与C交于A，B两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（　　） A．四边形为平行四边形 B．可能为直角 C．四边形面积最大为4 D．直线的斜率为 例20．已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知为椭圆上的一点，过作直线交圆于两点，则的取值范围为 . 练习2．（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 练习3．（多选）已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为 D．曲线上的点到直线的距离的最大值为 练习4．已知焦距为的椭圆的右焦点为，右顶点为，过F作直线与椭圆交于、两点（异于点），当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：是钝角． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第05讲 椭圆与方程 一、椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 三、椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 四、必记结论 1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处． 2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为 重难点01椭圆的定义及其应用 【解题必备】平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 当时，动点的轨迹是椭圆； 当时，动点的轨迹是一条线段； 当时，动点的轨迹不存在. 例1．已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 例2．（多选）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【答案】BD 【详解】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误； 对于B，点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误； 对于D，到定点的距离的和为， 所以点的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：BD. 【跟踪练习】 练习1．已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由已知得：， 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接和（如图所示）， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以 又为的中点，为的中点，所以 由椭圆的定义知：， 故选：B. 练习2．“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆” “为常数”； 反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆． 因此“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件． 故选：D． 练习3．已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为，则， 由椭圆的定义可知：， 又因为，解得：. 故选：B. 练习4．已知分别是椭圆的左､右焦点，为上一点，与的顶点不重合，分别为的中点，为坐标原点，且，则的焦距为 ． 【答案】 【详解】    如图，因点 ,分别为 ,的中点,故，得， 则的焦距为． 故答案为：. 重难点02求椭圆的标准方程 【解题必备】（1）若椭圆的焦点位置确定，则用待定系数法求椭圆的标准方程： ①根据焦点位置设方程为或；②根据已知条件求出，③写出椭圆的标准方程 （2）若椭圆的焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，避免因焦点位置不确定而对方程形式进行分类讨论.若求出的参数值有两组，则满足条件的椭圆的标准方程有两个. 例3．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【详解】，解得， 故实数k的取值范围是. 故答案为： 例4．已知椭圆：，若矩形的四个顶点都在上，则称为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形的外接椭圆的短轴长为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆的短轴长为，则，即， 所以椭圆方程为， 又正方形的边长为4， 由椭圆与正方形的对称性可知，正方形的其中一个顶点坐标为， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的可能取值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】ABC 【详解】方程可化为，依题意，解得. 故选：ABC． 练习2．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 【答案】 【详解】设椭圆方程为，则， 解得，故椭圆方程为. 故答案为： 练习3．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 练习4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，， 则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为. 则，所以，，， 即椭圆方程为. 若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为. 重难点03椭圆的焦点三角形 【解题必备】在解椭圆中焦点三角形的有关问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 例5．经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（    ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【详解】 为椭圆的两个焦点， ， 的周长为． 故选：D． 例6．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图．因为点B关于l的对称点为M，则． 因为， 且，所以， 所以， 可得，则， 所以，故． 故选：B． 【跟踪练习】 练习1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则 ． 【答案】 【详解】在椭圆中，，，则， 由椭圆的定义可得， 在中，由余弦定理可得， 又因为，所以，. 故答案为：. 练习2．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【答案】C 【详解】设的中点为M，则， 于是，又， 则为等腰三角形， ． 故选：C． 练习3．已知椭圆分别为左右焦点，为椭圆上一点，满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆方程可知：， 可得， 在中，由余弦定理可得 ， 即，解得， 因为为线段的中点，则， 可得 ， 所以的长为. 故选：A. 练习4．设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【详解】由题设，，可得， ， 由，，则，即， 所以的面积. 故选：B 重难点04椭圆中最值与范围 【解题必备】解决椭圆中最值问题的常见思路 设为椭圆上一点，为椭圆的焦点． （1）与有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件． （2）与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 例7．设实数满足的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【详解】设，则在椭圆上， 又， 设，则为椭圆的右焦点， 如图，设椭圆的左焦点为，则： ， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 而，故的在最小值为， 故选：A.    例8．已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 【答案】C 【详解】依题意可知，对于椭圆，， 对于圆，圆心为，半径， 设椭圆的右焦点为， 根据椭圆的定义有， 根据圆的几何性质有， 当且仅当是线段与圆交点时等号成立， 所以， 其中，当且仅当三点共线，且是线段与椭圆的交点时等号成立， 所以， 此时四点共线，且分别是线段与圆、椭圆的交点. 故选：C 【跟踪练习】 练习1．已知点P为椭圆上一个动点，点A的坐标为，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】方法一，设点P的坐标为，则， 因为点P为椭圆上一点，所以，， 则， 因为，所以当时，. 故答案为：2. 方法二  将椭圆方程化为标准形式得，所以设点P的坐标为，， 则 ， 又，故当时，取得最小值，最小值为2. 故答案为：2. 练习2．已知椭圆的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，点坐标是，则的最大值是 . 【答案】13 【详解】由可知 ，， 设椭圆左焦点，则 ， 当且仅当，，共线时且当在的延长线上时等号成立． 的最大值为， 故答案为：. 练习3．椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】椭圆，所以，则. 如图所示， 点在椭圆内部， 因为点为椭圆上的点，则，所以， 则， 又，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，所以. 故答案为： 练习4．已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】依题设，则，， 因为， 所以，当且仅当取等号，即， 由，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故.    故答案为： 重难点05椭圆的几何性质 例9．已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆与椭圆有相同的焦点， 所以，则，解之得或（舍去）. 故选：C. 例10．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为 . 【答案】6 【详解】连接BD，根据题意可得，， 由可得点A，B，C，D在以BD为直径的圆上， 又原点O为圆上的弦AC的中点，所以圆心在AC的垂直平分线上，可得圆心在x轴上， 设，，则，又可得， 故圆心坐标为，所以圆的方程为， 将代入化简得即，又，所以， 所以，所以该椭圆的短轴长为6. 故答案为：6. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知椭圆与椭圆，则（    ） A．与的长轴长相等 B．的焦距是的焦距的2倍 C．与的离心率相等 D．与有公共点 【答案】CD 【详解】由题意知，椭圆的长轴长为4，椭圆的长轴长为，故A错误； 椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，故B错误； 椭圆的离心率为，椭圆的焦距为，故C正确； 由和联立可得，交点为，故D正确. 故选：CD. 练习2．（多选）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【答案】ABD 【详解】由于，所以, 故， 因此，故， 所以椭圆， 对于A，焦距为，故A正确， 对于B，短轴长为，B正确， 对于C，离心率为，C错误， 对于D，的周长为，D正确， 故选：ABD 练习3．（多选）已知曲线，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为 C．的右焦点坐标为 D．的离心率为 【答案】BCD 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为. 由题意可得椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，故选项A错误. 由椭圆的标准方程为，得， 故其短半轴长为，右焦点坐标为，故选项B，C正确. 椭圆的离心率，故选项D正确． 故选：BCD． 练习4．已知椭圆的周长，其中分别为椭圆的长半轴长与短半轴长.现有如图所示的椭圆形镜子，其外轮廓是椭圆，且该椭圆的离心率为，长轴长为，则这面镜子的外轮廓的周长约为 cm.（取3.14，结果精确到整数） 【答案】211 【详解】因为，所以, 因为长轴长为，所以， 故. 故答案为：211. 重难点06求椭圆的离心率 【解题必备】 求椭圆离心率的值或取值范围，一般先将已知条件转化为关于的方程或不等式，再求解 （1）若已知可直接代入求得. （2）若已知则使用.求解. （3）若已知，则先求，再利用（1）求解. （4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程(不等式)求值 例11．设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为 ； 【答案】/ 【详解】 因为四边形OMNP为正方形，结合图形可知，可设， 则，则，的坐标为， 所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 例12．已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取的中点，连接,则易得，，    在中，，则,又， 在中，由余弦定理，， 即，整理得，， 解得或（舍去），则. 故选:B. 【跟踪练习】 练习1．设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆，可得， 不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知， 因为，可得，即， 可得，所以， 所以的面积为，可得，解得， 又因为，可得，即， 将点代入椭圆的方程，可得，整理得， 因为，可得，即， 解得和（舍去），即椭圆的离心率为. 故选：D. 练习2．已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与相交于，两点，若且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】因为过原点的直线与相交于，两点，,故四边形为矩形，故，又，， 所以，则， 又， 即，且， 解得，（由于，故舍去） 结合，故，即 又， 因此，故，解得， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由解方程得到，结合椭圆定义得到，联立可得. 练习3．某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框虚线进行镶嵌，上部分是两个半径都为r的半圆，AC、BD分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．若当时图中阴影区域的面积为，则该“心形” 的离心率为 ． 【答案】/0.5 【详解】因为阴影部分是不规则图形，可将其分割， 设两半圆的交点为E，连接，将阴影部分分成和弓形， ，、C分别是两圆圆心， 连接，，则， 则，， 由对称性可得：E到直线的距离为的一半，即， ， 故阴影部分的面积为， 所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为，所以半焦距， 则椭圆的离心率为，故该“心形”的离心率为， 故答案为： 练习4．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于A、B两点，若，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】 如图，设，因为，所以． 由椭圆定义可知，， 由，可得，所以． 在中，由，可得， 即得，故得． 故答案为：. 重难点07求椭圆离心率的取值范围 例13．已知过原点的直线交椭圆于两点，椭圆的右焦点为，且，若椭圆的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，令椭圆半焦距为， 由，得，即四边形为矩形，则， 设，于是， 由椭圆的定义，得，因此， 即，而，即， 于是，又，则， 而， 且，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 例14．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故在为直径的圆上，即， 圆在椭圆内部，故，，故. 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，椭圆右准线上存在一点P满足，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】取的中点Q，连接，如图所示，    则，所以， 所以，所以为等腰三角形，即，且， 所以， 又因为点在右准线上， 所以，即， 所以，即，解得或， 又，所以， 故答案为：. 练习2．椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的上顶点为,则令, 则,    且， , , 故选：B. 练习3．设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即FA⊥FB， 所以四边形为矩形，所以， 设，，在中，，，， 可得， 所以，令，得． 又，得，所以，所以， 结合，所以，所以，所以， 即椭圆C的离心率的取值范围为， 故选：B． 练习4．已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意， 在中，设左焦点为，，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， 由椭圆的定义得， ∴. ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 重难点08与椭圆有关的轨迹方程问题 例15．已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，，则， 由题意可知，即， 将点代入， 得，即 故选：D. 例16．已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切.求动圆圆心的轨迹的方程. 【答案】 【详解】设点的坐标为，圆的半径为. 由已知条件，，得. ①当动圆与圆外切，与圆内切时，， 从而. ②当动圆与圆内切，与圆外切时，， 从而. 综上可知，圆心的轨迹是以为焦点，6为长轴长的椭圆. 联立与， 两式作差得，， 所以圆与圆交于点与， 所以动圆圆心的轨迹的方程为. 【跟踪练习】 练习1．已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则有，设， 则，由，则有， 即，故有，即. 故选：B. 练习2．射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设，，则，， 由题意，， 又，则， 即，所以， 整理得. 故答案为： 练习3．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 故选：B 练习4．长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设、，， 则有，，即，， 由题意可得，即，即. 故选：D. 重难点09椭圆的实际问题 【解题必备】利用椭圆解决实际问题的基本步骤： （1）建立适当的坐标系；（2）求出椭圆的标准方程(待定系数法)；（3）根据椭圆的方程及几何性质解决实际问题． 例17．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且， 解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：A 例18．船上两根高7.5m的桅杆相距15m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离（精确到0.01m）． 【答案】4.75（） 【详解】由题意在以为焦点的椭圆上， ，，，即， 所以， 椭圆方程为，又，，（正的舍去）， 所以P到桅杆AB的距离为（）. 【跟踪练习】 练习1．在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为 ． 【答案】/1.5 【详解】，，离心率，故，， 不妨设椭圆方程为：， 设圆半径为，椭圆与圆相切于左顶点或者右顶点时有最大值， 圆方程为：，联立方程：， 消去得到，， 解得. 故答案为：. 练习2．在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系， 因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状， 所以椭圆的标准方程为， 因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段， 所以当时，，所以最短窗棂的长度为． 故选：B    练习3．圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点．如图甲，椭圆为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为．由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆的离心率为 ． （2）点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为 ． 【答案】 / 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，则由发出的光经椭圆两次反射后回到， 经过的路程为，从而； （2）如图，延长，交于点， 在中，，由反射角等于入射角，得， 则，且为中点， 在中，， 则，， 所以椭圆方程为． 故答案为： ； 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法： ①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为(A>0，B>0，A≠B)． 练习4．开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为， 则由已知可得， 两式相加可得，两式相减可得， 则，， 所以离心率. 故选：A. 重难点10椭圆的综合问题 例19．（多选）已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为，直线与C交于A，B两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（　　） A．四边形为平行四边形 B．可能为直角 C．四边形面积最大为4 D．直线的斜率为 【答案】AD 【详解】由椭圆方程得，，， 选项A，由椭圆的对称性得，又，所以四边形AF1BF2为平行四边形，A正确； 选项B，若为直角，则，所以是椭圆短轴顶点，即椭圆与的轴交点，此时，直线与轴重合，不存在，B错； 选项C，四边形面积为，，则是短轴顶点，此时直线直线与轴重合，不存在，C错； 选项D，设，则，，，，D正确． 故选：AD．    例20．已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线的斜率，其方程为， 由消去得，， 由AB的中点坐标为，得，整理得，而， 解得，此时，， 所以C的方程为. 故选：A 【跟踪练习】 练习1．已知为椭圆上的一点，过作直线交圆于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图，过作，垂足为，可知是中点， 可得， 中，， 在中，， 联立可得， 设，则（）， ， ，则， 即，故的取值范围为. 故答案为：. 练习2．（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又，则的最大、最小值分别为和， 当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确. 故选：BCD 练习3．（多选）已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为 D．曲线上的点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【详解】对A选项与B选项，由题意知圆与圆交于点， 则，，所以， 所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，， 所以，所以曲线的方程为，故A选项错误，B选项正确； 对C选项，通径的长度为，故C选项正确； 对D选项，设与直线平行的直线为，， 将与联立得， 令，解得，此时直线与椭圆相切， 当时，切点到直线的距离最大， 直线的方程为，此时两平行线的距离为， 故曲线上的点到直线的距离的最大值为，故D选项正确. 故选：BCD. 练习4．已知焦距为的椭圆的右焦点为，右顶点为，过F作直线与椭圆交于、两点（异于点），当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：是钝角． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意：， 所以椭圆的方程为：. （2）如图：    因为、两点异于点，故直线斜率不为. 设直线：， 由. 设，，则，. 所以 ， 所以为钝角或平角（舍去）. 故为钝角. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$