精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学板桥学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

牛栏山一中板桥学校 高一数学月考卷10月 注意事项： 1．答卷前，考生务必自己将条形码贴在答题卡上. 2．答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，只上交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合M=且，则M等于（ ） A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {，2，3，4} 2. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 6. 已知，那么命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 已知是实数集，，，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 或3 10. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 求函数的定义域为____ 12. 集合，，若，则实数的取值范围是_____. 13. 希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为______.（用“≤”连接） 14. 二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为_____________________． 15. 下列结论正确的是__． ①当时， ②当时，的最小值是2； ③设，，且，则的最小值是． 三、解答题：本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数的定义域为A，的值域为 （1）求A、B； （2）求 17. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 18. 已知函数. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， （2）设，解关于的不等式. 19. 我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且．类似的，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此回答下列问题： （1）若，，求； （2）在下列各图中用阴影表示集合； （3）若集合，集合，有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牛栏山一中板桥学校 高一数学月考卷10月 注意事项： 1．答卷前，考生务必自己将条形码贴在答题卡上. 2．答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，只上交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合M=且，则M等于（ ） A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】由元素具有的性质，是6的正约数，由此可得的值． 【详解】因为集合M=且，，所以5-a可能为1，2，3，6， 即a可能为4，3，2，.所以M={，2，3，4}， 故选：D. 【点睛】本题考查集合的概念，确定集合的元素是解题关键．元素所具有的性质是解题的根据． 2. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程得集合A，再根据，结合包含关系求实数，即得结果. 【详解】, 因为， 当时，， 当时，即时，令，解得， 则或，则对应实数的值为， 则实数a组成的集合的元素有3个， 所以实数a组成的集合的真子集个数有， 故选：C. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于集合，分k是偶数和是奇数分别来研究可得答案. 【详解】集合， 当是偶数时，令，， 有， 当是奇数时，令，， 有， ， ，， 故A，B，D错误，C正确. 故选：C. 4. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，的定义域为，而定义域为R， 故二者不是同一函数； 对于B，的定义域为R，与的定义域为， 故二者不是同一函数； 对于C，与对应关系不同， 故二者不是同一函数； 对于D，与的定义域以及对应关系、值域都相同， 故二者为同一函数， 故选：D 5. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，都有”的否定是“，使得”. 故选：B. 6. 已知，那么命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要条件的定义对每个选择进行分析即可求解． 【详解】， 根据充分条件、必要条件的定义可知： 对于A，是的充要条件,A错误； 对于B，是的必要不充分条件，B正确； 对于C，是的充分不必要条件，C错误； 对于D，是的既不充分也不必要条件，D错误． 故选:B． 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当，，，时，，，故B错误； C选项，当，，，时，，故C错误； D选项，若，，则，即，故D正确． 故选：D. 8. 已知是实数集，，，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A,B,由图可知阴影部分表示集合为，根据交集、补集运算即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为, ，， 故选：A 9. 已知，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 故选：B. 10. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解. 【详解】由得 ， 若，则不等式无解． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则． 综上，满足条件的的取值范围是 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 求函数的定义域为____ 【答案】且 【解析】 【分析】根据函数解析式建立不等式求解即可. 【详解】, 函数要有意义则需， 解得且， 所以函数的定义域为且 故答案为：且 【点睛】本题主要考查了函数的定义域，考查了运算能力，属于中档题. 12. 集合，，若，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先化简集合或，，根据，列出不等式，即可得出结果. 【详解】因为或，， 又，所以，解得. 故答案为 【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，熟记集合间的基本关系，以及分式不等式的解法即可，属于常考题型. 13. 希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为______.（用“≤”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式相关知识并利用作差法逐个比较大小即可. 【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以； 综上所述，，当且仅当时等号成立. 故答案为： 14. 二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次不等式的解集得出，求出，采用消元的思想，将和消去，再将不等式转化为具体的一元二次不等式来求解即可. 【详解】由题意可知所以 所以不等式为，又， 所以，解得. 故答案为：. 15. 下列结论正确的是__． ①当时， ②当时，的最小值是2； ③设，，且，则的最小值是． 【答案】①③． 【解析】 【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用，可判断①③，根据函数的单调性可判断②. 【详解】对于①，，，当且仅当时取“ “，正确； 对于②，当时，，当且仅当时取等号，但是，故等号取不到，即的最小值不是2，错误； 对于③，，，且， ， 当且仅当，即时取““，正确， 故答案为：①③． 三、解答题：本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数的定义域为A，的值域为 （1）求A、B； （2）求 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由函数表达式有意义求得定义域A，根据二次函数性质可求得值域B； （2）根据集合运算的定义计算． 【小问1详解】 由得， 解得， ， 所以，， 【小问2详解】 因为， 所以， 17. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，可得，则或，然后求交集即可； 由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 当时，，或， 因为，所以； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，，此时，满足， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为 18. 已知函数. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， （2）设，解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立问题建立不等式组，解之即可求解； （2）将原不等式转化为，根据含参的一元二次不等式的解法计算即可求解. 【小问1详解】 对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立. ①当时，不等式可化为，符合题意； ②当时，则，即，整理得. 解得，综上可得， 故对一切实数恒成立时，实数的取值范围是； 【小问2详解】 不等式，等价于不等式， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 即 ①当时，，不等式可化为，无解； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且．类似的，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此回答下列问题： （1）若，，求； （2）在下列各图中用阴影表示集合； （3）若集合，集合，有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）将集合中的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示： （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据差集的概念直接写答案即可； （2）将集合中的部分去掉涂色即可； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【小问1详解】 ，， 根据差集概念，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $