精品解析：北京市顺义区第九中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

顺义九中2024-2025学年第一学期月考高二年级数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填涂在答题卡相应的位置上） 1. 空间任意四个点，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡相应的位置上） 9. 已知，，则______；与夹角的余弦值为______． 10. 设，，则______；______． 11. 若直线与平行，则实数______. 12. 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体， ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是___________（填序号） 三、解答题（共4小题，共60分，在答题卡相应位置上写出详细的解答过程） 13. 已知的三个顶点为，，． （1）求边所在的直线方程． （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边上的中线所在直线的方程． 14. 已知是棱长为2的正方体，点为的中点，点为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）求点到直线的距离． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线平面夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 16. 如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，. （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义九中2024-2025学年第一学期月考高二年级数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填涂在答题卡相应的位置上） 1. 空间任意四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加减运算法则得到答案. 【详解】. 故选：D 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】， 故斜率为，倾斜角为. 故选：A 3. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，有，又，所以. 故选：C. 4. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义可得斜率. 【详解】∵直线的一个方向向量为， ∴直线的斜率为. 故选：B. 5. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果． 【详解】解：由题意可得直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为， 化为一般式为． 故选：A． 6. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由可知，直线的方向向量与平面的法向量平行，列方程组求解即可. 【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为，且， ∴直线的方向向量与平面的法向量平行， 则存在实数使， ∴，解得， 故选：D. 7. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 8. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】A由、即可判断；B若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断. 【详解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点， 所以，故不可能平行，错； B：若为中点，则，而，故， 又面，面，则，故， ，面，则面， 所以存在Q使得平面，对； C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行， 所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等， 故三棱锥的体积不是定值，错； D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且， 所以，，若它们夹角为， 则， 令，则， 当，则，； 当则； 当，则，； 所以不在上述范围内，错. 故选：B 二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡相应的位置上） 9. 已知，，则______；与夹角的余弦值为______． 【答案】 ①. 7 ②. ## 【解析】 【分析】利用空间向量数量积公式和夹角余弦公式进行求解. 【详解】， 与夹角的余弦值为. 故答案为：7， 10. 设，，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，并利用模长公式求出答案. 【详解】； . 故答案为： 11. 若直线与平行，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据两直线平行，列出有关m的等式，即可求出实数m的值，再验证直线的关系. 【详解】由于与平行， 则，则或， 当时，，，两直线重合， 当时，，，两直线平行. 故答案为：3. 12. 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体， ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是___________（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可. 【详解】设正方体的棱长为1. 因为，且，所以①正确； 因为，，所以②正确； 因为平面，，所以③正确； 因为正方体中平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直， 故不是平面的法向量，所以④错误. 故答案为：①②③. 三、解答题（共4小题，共60分，在答题卡相应位置上写出详细的解答过程） 13. 已知的三个顶点为，，． （1）求边所在的直线方程． （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边上的中线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）两点式求出直线的方程，化为一般式即可； （2）根据垂直关系，设出所在直线方程为，将代入，求出，得到答案； （3）求出，两点式求出直线方程，化为一般式即可. 【小问1详解】 边所在的直线方程为，即； 【小问2详解】 设边上的高所在直线方程为， 将代入得，解得， 故边上的高所在直线方程为； 【小问3详解】 线段的中点坐标为，即， 故边上的中线所在直线方程为， 即. 14. 已知是棱长为2的正方体，点为的中点，点为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）求点到直线的距离． 【答案】（1） 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为2，所以， 故，故， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到，求出垂直关系； （2）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式得到答案； （3）利用点到直线距离向量公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知，平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ，，， 点到直线的距离为 . 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线平面夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线平面夹角的正弦值； （3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 直线平面夹角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）知，平面的法向量为， 点到平面的距离为. 16. 如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，. （1）证明：； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：∵，∴，∴， ∵平面，平面，∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2） （3）不存在，理由：设，则， 设，则，得， ∴，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 由题意，， ∴，此方程无解， ∴在线段上是不存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，由平面得，从而平面，进而得出结论； （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解； （3）设，则，求得，设直线与平面所成角为，由题意，列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， , 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， ∴， ∴平面和平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $