北京市北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期数学期中考试复习试卷一

北理工附中2026届高二数学（上）期中复习一 1．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知直线平分圆：的周长，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（    ）（用坐标表示） A． B． C． D． 5．已知直线：和直线：，下列说法错误的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或-3 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 6．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（   ） （1）四边形PAMB的面积最小值为               （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为   （4）直线AB过定点 8．在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．在正三棱锥中，是的中心，，则 . 10．已知直线：，：，若，则实数 . 11．设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值 ． 12．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 . 13．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)若点满足，求动点的轨迹方程. 14．已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点. (1)求直线BD与直线PC所成角的大小； (2)求点B到平面ADE的距离． 15．已知圆过点三个点． (1)求圆的标准方程； (2)已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值． 16．已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.    (1)证明：平面； (2)若是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 1．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【详解】因为该直线的斜率为， 所以它的倾斜角为． 故选：A． 2．已知直线平分圆：的周长，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得圆心为， 因为直线平分圆：的周长， 所以直线过圆的圆心，则，解得. 故选：B. 3．如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知：， 即. 故选：B. 4．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（    ）（用坐标表示） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，解得， ， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 5．已知直线：和直线：，下列说法错误的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或-3 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】B 【详解】：,令且，解得，故直线过点，A正确； 当时，：和直线：，故，重合，故B错误； 由，得或2，故C正确； ：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：B 6．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点P到直线EF的距离为． 故选：A 7．已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（   ） （1）四边形PAMB的面积最小值为                （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为    （4）直线AB过定点 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即， 最短时，面积最小，故当时，最短， 即， ，故（1）错误； 对于（2），由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为， 所以，故（2）正确； 对于（3），当短时，则，又，所以， 可设AB的直线方程为圆心到直线AB的距离， 解得或， 由于直线AB在圆心的右侧，且在直线l的左侧， 所以，所以，即直线AB的方程为，故（3）错误； 对于（4），设圆上一点， ， 易知，由于， 所以，同理， ，， ，即， 令， 解得，所以直线AB过定点为，故（4）错误； 故选：A． 8．在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，作于，于.    在中，，， 在中，， ， 同理可得，，， 因为， 所以 ， 又因为， 所以. 因为与的夹角即为二面角的大小， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 9．在正三棱锥中，是的中心，，则 . 【答案】/ 【详解】∵在正三棱锥中，是的中心， ∴平面，平面ABC，∴，即， ∵，， ∴， ∴. 故答案为：    10．已知直线：，：，若，则实数 . 【答案】3 【详解】解： 故答案为：3. 11．设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】 【详解】由题意可知：动直线过定点， 动直线，即过定点， 则， 且，则， 可知点的轨迹是以为直径的圆，则， 且，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值. 故答案为：. 12．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】连接， ， 故； ， 故 ， 故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：； 13．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)若点满足，求动点的轨迹方程. 【详解】（1） 由点在，设， 则的中点在直线上， 所以，解得，所以， 设点关于直线对称的点， 则有，解得，即， 显然在上，直线的斜率为， 由点斜式，整理得，即为直线的方程. （2）点到直线的距离的距离为， 因为点满足， 所以点到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为与直线平行，且距离等于点到直线的距离的直线， 设轨迹方程为为， 则有,解得或4， 所以动点的轨迹方程为或. 14．已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点. (1)求直线BD与直线PC所成角的大小； (2)求点B到平面ADE的距离． 【详解】（1）以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系. 由题意，，，，，， 设直线BD与直线PC所成的角为， 因为，， ， 所以直线BD与直线PC所成角为； （2）因为，，， 所以， ， 则为平面的一个法向量， 设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值， 由，得， 所以点到平面的距离为. 15．已知圆过点三个点． (1)求圆的标准方程； (2)已知，直线与圆相交于A，B两点，求的最小值． 【详解】（1）设圆的方程为， 代入各点得：， 所求圆的一般方程为：标准方程为：. （2）把代入直线方程得：， 即，令，可得， 所以直线过定点． 又，所以定点在圆内， 当时，最小，此时，， 则. 16．已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.    (1)证明：平面； (2)若是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因，，故, 又，且，故 在直角梯形中，， 由可得； 因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面， 则，又，因平面， 故平面. （2）    ①如图，连接,设，连接, 因平面，且平面,平面平面， 则，故， 在四边形中，由,可得, 故，即，即点是线段上靠近点的三等分点， 故 ②   如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以，,, 设平面的法向量为， 则，可取， 因， 故,, 设平面的法向量为，则由， 可取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$